LES ANALYSES CANONIQUES SIMPLE ET GÉNÉRALISÉE ...

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82 v. nzobounsana, s. gaymard démonstration 3. Pour avoir les résultats de la proposition précédente, on dérive l’égalité (30) par rapport aux p vecteurs P (s) 1 , P (s) 2 , · · · , P (s) p . En dérivant (30) par rapport à P (s) 1 , P (s) 2 , · · · , et P (s) p et en égalant à zéro le résultat, on trouve : p j=1,j=i Σ x i x j P (s) j (s) − λiP i − (s−1) Ce qui implique, en multipliant cette dernière équation par t P (k) i p j=1,j=i k=1 En remplaçant β k i dans l’équation (31), on montre que : p j=1,j=i β k i P (k) i = 0 ∀i (31) t P (k) i Σ x i x j P (s) j = β k i ∀i et k (32) [Imi − (s−1) k=1 P k i t P (k) i ]Σ x i x j P (s) j c’est-à-dire que les vecteurs P (s) 1 , P (s) 2 , · · · , P (s) p S (s) (puisque M (s) j 3.4.2. Méthode Ssqcor (s) (s) P j = P j ). (s) = λiP i : (33) vérifient bien le système d’équation Cette généralisation de l’analyse canonique est due à [Kettering, 1971]. Elle consiste à trouver p combinaisons linéaires normées, Z1, Z2, · · · , Zp, appelées variables canoniques qui maximisent la fonction f2(P1, P2, · · · , Pp) = p p i=1 j=i Cor 2 (X i Pi, X j Pj). (34) Les solutions de ce problème d’optimisation sont obtenues de la manière suivante. • Solutions d’ordre un du problème. Au premier pas, il s’agit de trouver p vecteurs canoniques, P1, P2, · · · , Pp, normés (puisque l’on a supposé que dans les groupes, les variables sont deux à deux orthogonales et normées) associés aux p variables canoniques, Z1, Z2, · · · , Zp, qui maximisent la fonction f2(P1, P2, · · · , Pp). Pour ce faire, on utilise la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Soient λ1, λ2, · · · , λp p multiplicateurs de Lagrange, cela conduit, pour tout i, à résoudre le système d’équations: ∂L(P1, · · · , Pp) = 0 où L(P1, · · · , Pp) = ∂Pi p Cor 2 (Zi, Zj) − i=1 j=i p λi( t PiPi − 1) (35) Un raisonnement analogue à celui utilisé avec la méthode Sumcor permet de voir que sous la contrainte t PiPi = 1, les vecteurs canoniques qui maximisent la fonction f2(P1, P2, · · · , Pp) vérifient l’équation matricielle : i=1
⎛ ⎜ ⎝ analyse canonique et données psychosociales 83 Im1 r12Σx1x2 · · · r1pΣx1xp r21Σx2x1 Im2 · · · r2pΣx2xp . . . .. rp1Σ x p x 1 rp2Σ x p x 2 · · · Imp . ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ où pour tout i et j, rij = Cor(Zi, Zj) et λ ∗ i = λi + 1. P1 P2 . Pp ⎞ ⎛ λ∗ 1 0 · · · 0 0 λ∗ 2 · · · 0 ⎞ ⎛ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ . . . .. . 0 0 · · · λ∗ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ p De manière explicite, l’égalité matricielle précédente est équivalente aux p systèmes d’équations suivantes : S2 = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ p j=1,j=1 r1jΣ x 1 x jPj = λ ∗ 1P1 p j=1,j=2 r2jΣ x 2 x jPj = λ ∗ 2P2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · p j=1,j=p rjpΣ x 3 x pPj = λ ∗ pPp On montre aussi que si P1, P2, · · · , Pp sont solutions de S2 alors les variables canoniques associées, Z1, Z2, · · · , Zp, vérifient les égalités suivantes. proposition 10. Soient P1, P2, · · · , Pp les solutions du système S2, alors les p variables canoniques Z1, Z2, · · · , Zp associées et les constantes de normalisation notées, λ1, λ2, · · · , λp, vérifient les égalités suivantes: ⎛ a11Im1 ⎜ r21Σx2x1 ⎜ ⎝ . r12Σx1x2 a22Im2 . · · · · · · . .. ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ r1pΣ1p P1 P1 r2pΣ2p ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ P2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ P2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ où aii = rp1Σ x p x 1 rp2Σ x p x 2 · · · appImp p p k=1,k=i j=1,j=k V ar(Zi) = 1, λiZi = { Pp Cor 2 (Zk, Zj), λ = λ1 + λ2 + · · · + λp = aii + λi pour tout i p j=1,j=i rj,iΠ x iZj}, λi = p j=1,j=i Pp P1 P2 . Pp ⎞ ⎟ ⎠ Cor 2 (Zj, Zi) (36) c’est-à-dire ∀i, la variable canonique Zi associée à X i est une combinaison linéaire normée des rj,iΠ x iZj. Π x i est la matrice de projection orthogonale associée à Im(X i ). • Calcul des variables canoniques d’ordre s. Soient P (1) i , P (2) i , · · · , P (s−1) (s − 1) premières variables canoniques de X i les i qui maximisent la fonction f2(P (s) 1 , P (s) 2 , · · · , P (s) p ) à l’ordre 1, 2, · · · , (s − 1). À l’ordre s, on cherche p combinaisons linéaires Z (s) 1 , Z (s) 2 , · · · , Z (s) p , où ∀i le vecteur Z (s) i est défini par Z (s) i sous la contrainte t P (s) i P (s) i tout k ∈ {1, 2, · · · , (s − 1)}. = Y i P (s) i , qui maximisent la fonction f2(P (s) 1 , · · · , P (s) p ) = 1 et une contrainte additionnelle t P (s) i (k) P i = 0 pour
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