LES ANALYSES CANONIQUES SIMPLE ET GÉNÉRALISÉE ...

74 v. nzobounsana, s. gaymard
Cor 2 (Z, X 1 ) + Cor 2 (Z, X 2 ) (6)
où ∀i ∈ {1, 2}, Cor(Z, X i ) désigne la corrélation multiple entre le vecteur Z et les
variables de X i .
démonstration 1. La déduction des solutions (le vecteur normé Z1 = X 1 P1 ∈
Im(X 1 ) et le vecteur normé Z2 = X 2 P2 ∈ Im(X 2 )) de l’analyse canonique au sens
de Hotelling de X 1 et X 2 à partir du critère (6) se démontre comme suit :
Pour tout i, la valeur maximale du carré de la corrélation multiple entre le vecteur
Z et les variables de X i est donnée par :
Cor 2 (Z, X i ) =
t ZX i ( t X i X i ) −1t X i Z
V ar(Z)
, i ∈ {1, 2} (7)
sous la contrainte que l’inverse de ( t X i X i ) existe. En reportant l’égalité (7) dans
(6) on obtient :
Cor 2 (Z, X 1 ) + Cor 2 (Z, X 2 ) =
où Q est une matrice définie par :
t ZX 1 ( t X 1 X 1 ) −1t X 1 Z + t ZX 2 ( t X 2 X 2 ) −1t X 2 Z
V ar(Z)
=
t ZQZ
V ar(Z)
Q = X 1 ( t X 1 X 1 ) −1t X 1 + X 2 ( t X 2 X 2 ) −1t X 2 = XM t X (9)
et M est une matrice (m1 + m2) × (m1 + m2) définie par :
−1
Σ
M = x1 0
0 Σ −1
x 2
En d’autres termes, le vecteur Z = XP normé qui maximise (6), est un vecteur
propre de Q associé à sa plus grande valeur propre notée λ. De (8), il s’ensuit que le
vecteur P ∈ R m1+m2 est un vecteur propre de MΣx = M( t XX) associé à la même
valeur propre puisque :
XM t XZ = λZ ⇐⇒ XM t XXP = λXP ⇐⇒ M t XXP = λP ⇐⇒ ΣxP = λM −1 P (10)
De l’égalité (10), il découle, après transformation, que les sous-vecteurs P1 et P2
de P = t ( t P 1, t P 2) avec P1 ∈ R m1 et P2 ∈ R m2 vérifient les deux égalités ci-dessous :
Σ x 1 x 2P2 = (λ − 1)Σ x 1P1 et Σ x 2 x 1P1 = (λ − 1)Σ x 2P2 ⇐⇒ (11)
Σ −1
x 1 Σ x 1 x 2P2 = (λ − 1)P1 et Σ −1
x 2 Σ x 2 x 1P1 = (λ − 1)P2 ⇐⇒ (12)
Σ −1
x 2 Σ x 2 x 1Σ −1
x 1 Σ x 1 x 2P2 = (λ − 1) 2 P2 et Σ −1
x 1 Σ x 1 x 2Σ −1
x 2 Σ x 2 x 1P1 = (λ − 1) 2 P1
(8)
(13)