LES ANALYSES CANONIQUES SIMPLE ET GÉNÉRALISÉE ...

analyse canonique et données psychosociales 77
Avec ces contraintes, on arrête la recherche des variables canoniques dès qu’on a
obtenu une base orthonormée de chacun des Im(X i ).
• Des contraintes flexibles. Elles sont définies :
Cor(Z (s+1)
i , Z (k)
i ) = 0, i ∈ F l
où F l est un sous ensemble de {1, 2, · · · , p}.
et k ∈ {1, 2, · · · , s} (18)
Pour cette famille de contraintes, le nombre de pas à effectuer pour extraire
l’ensemble des variables canoniques est égal à :
pi ou i = min{k, k ∈ F l }
• Des contraintes rigides. Lorsqu’on impose l’orthogonalité entre toutes les variables
canoniques de Im(X i ) et celles de Im(X j ) pour tout i = j et i, j ∈ {1, 2, · · · , p},
on utilise les contraintes suivantes :
Cor((Z (s+1)
1
, · · · , Z (s+1)
p
), (Z (k)
1
, Z(k) 2 , · · · , Z(k) p )) = 0, k ∈ {1, 2, · · · , s} (19)
• Les contraintes particulières. Si l’on veut avoir une base orthonormée des vecteurs
canoniques associés aux variables canoniques cherchées, on utilise les contraintes
d’orthogonalités suivantes :
t (k) (s)
Pi P i = 0, k ∈ {1, 2, · · · , s} et i ∈ {1, 2, · · · , p} (20)
3.4. solutions des différentes méthodes d’ACG
Sans perdre de généralité (puisque toutes les fonctions optimisées en analyse canonique
généralisée et qui sont décrites dans la sous-section 3.2., sont invariantes par
rapport aux changements d’échelles et aux transformations régulières des variables
dans les groupes), nous supposons dans les développements théoriques qui suivent
que les variables dans les groupes sont orthogonales deux à deux et ont une norme
égale à 1. De cette restriction, il en résulte que la matrice de corrélation de X = (X1 |
X2 |, · · · , |Xp ) est de la forme :
⎛
⎞
⎜
Σ = ⎜
⎝
Idm1 Σx1x2 · · · Σx1xp Σx2x1 Idm2 · · · Σx2xp .
.
. ..
Σ x p x 1 Σ x p x 2 · · · Idmp
et celle des variables canoniques est donnée par
⎛
tP 1
⎜ 0
Φ = ⎜
⎝ .
0
tP 2
.
· · ·
· · ·
. ..
0
0
.
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 0 · · · tP p
.
⎟
⎠
Idm1 Σx1x2 · · · Σx1xp Σx2x1 Idm2 · · · Σx2xp .
.
. ..
Σ x p x 1 Σ x p x 2 · · · Idmp
.
⎞ ⎛
P1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0
⎟ ⎜
⎠ ⎝ .
0
P2
.
· · ·
· · ·
. ..
0
0
.
⎞
⎟
⎠
0 0 · · · Pp