LES ANALYSES CANONIQUES SIMPLE ET GÉNÉRALISÉE ...

72 v. nzobounsana, s. gaymard
La matrice de variance covariance de X peut quant à elle être décomposée par
rapport à X1 et X2 de la façon suivante :
Σx1 Σx1x2 Σx =
Σx2x1 Σx2 où Σ x 2 x 1 (respectivement Σ x 1 x 2) désigne la matrice des covariances entre les variables
de X 2 et celles de X 1 (respectivement entre les variables de X 1 et celles de X 2 ).
définition 1. On appelle dès lors l’analyse canonique linéaire simple de X 1 et X 2 ,
la recherche d’une combinaison linéaire normée des variables de X 1 notée X 1 P1 ∈
Im(X 1 ) (variable canonique associée à X 1 ) avec P1 ∈ R m1 et une combinaison
linéaire normée des variables de X 2 (variable canonique de X 2 ) notée X 2 P2 ∈
Im(X 2 ) avec P2 ∈ R m2 telle que la corrélation linéaire entre ces deux variables soit
maximale. Mathématiquement cela est équivalent à trouver les deux combinaisons
linéaires telles que :
sous les contraintes
{P1, P2} = arg. max{Cor(X
P1,P2
1 P1, X 2 P2)} (1)
V ar(X 1 P1) = 1 et V ar(X 2 P2) = 1 (2)
Une fois déterminé la première corrélation canonique (le maximum du carré de
la corrélation linéaire entre X1P1 et X2P2 notée ρ1 ainsi que le premier couple,
(Z (1)
1 , Z (1)
2 ), des variables canoniques, les autres corrélations canoniques et variables
canoniques sont déterminées par récurrence en maximisant :
ρi = Cor(Z (i)
1
, Z(i) 2 ) (3)
sous les contraintes V ar(Z (i)
1 ) = V ar(Z (i)
2 ) = 1 et des contraintes additionnelles:
Cor(Z (s)
1
, Z(k)
1
) = Cor(Z(s)
2
, Z(k) 2 ) = 0 pour tout k ∈ {1, 2, · · · , (s − 1)}
proposition 1. Sous la contrainte (2), les vecteurs canoniques notés P1 et P2
solutions de (1) vérifient les deux équations suivantes :
Σ −1
x 1 Σ x 1 x 2Σ −1
x 2 Σ x 2 x 1P1 = ρ 2 P1 et Σ −1
x 2 Σ x 2 x 1Σ −1
x 1 Σ x 1 x 2P2 = ρ 2 P2
c’est-à-dire que P1 (respectivement P2) est un vecteur propre normé de
Σ −1
x 1 Σ x 1 x 2Σ −1
x 2 Σ x 2 x 1 (respectivement de Σ −1
x 2 Σ x 2 x 1Σ −1
x 1 Σ x 1 x 2) associé à la plus grande
valeur propre commune aux deux matrices et notée ρ 2 .
proposition 2. [Hotelling, 1936]. L’analyse canonique entre X 1 et X 2 vérifie les
propriétés suivantes:
(4)