LES ANALYSES CANONIQUES SIMPLE ET GÉNÉRALISÉE ...

analyse canonique et données psychosociales 81
lesquelles après simplification et quelques transformations algébriques, conduisent à
où Π p (1)
i
λiPi =
p
j=1
[Imi − Π p (1)
i
]Σxixj[Imj − Πp (1) ]Pj pour tout i = j
j
désigne la matrice de projection orthogonale associée au sous-espace Im(P (1)
i ).
Comme pour les solutions d’ordre 1, les vecteurs canoniques P (2
1 , P (2)
2 , · · · , P (2)
p ,
solutions du problème (14) sont obtenues par un processus itératif similaire à S1.
Il suffit de remplacer les matrice Σ x i x j du système S1 par les nouvelles matrices
[Imi − Π p (1)
i
]Σ x i x j.
• Calcul des variables canoniques d’ordre s (s > 2). Soient P (s−1)
1
, P (s−1)
2
, · · · , P (s−1)
p ,
p vecteurs normés de R m1 , R m2 , · · · , R mp qui maximisent la fonction f1(P1, P2, · · · , Pp)
à l’ordre (s − 1).
À l’ordre s (s ≥ 3), on cherche p nouveaux vecteurs canoniques notés
P (s)
1 , P (s)
2 , · · · , P (s)
p normés qui maximisent la fonction f1 sous la contrainte additionnelle
:
t (s)
P i P (k)
i = 0 pour tout k ∈ {1, 2, · · · , (s − 1)} (29)
En prenant le Lagrangien associé à ce problème de maximisation, on est amené à
maximiser la fonction
L (λ,β)(P ) =
p p
{
i=1
j=1
Cor(Z (s)
i , Z (s)
j ) − λi( t P (s)
i P (s)
i
(s−1)
− 1) −
k=1
β k i t P (s)
i P (k)
i
} (30)
où λ = {λ1, λ2, · · · , λp} et β = {β k 1 , β k 2 , · · · , β k p } sont deux vecteurs formés de p
réels appelés multiplicateurs de Lagrange. Enfin le résultat suivant permet le calcul
numérique des solutions du problème.
proposition 9. À l’ordre s, sous la contrainte additionnelle 29, la fonction scalaire
f1(P1, P2, · · · , Pp) est maximisée si et seulement si les vecteurs canoniques cherchés
vérifient le système suivant :
où la matrice M (s)
i
S (s)
1 =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
p (s)
j=1,j=1 M 1 Σx1xjM (s) (s)
j P j
p (s)
j=1,j=2 M 2 Σx2xjM (s) (s)
j P j
(s)
= λ1P 1
(s)
= λ2P 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(s)
(s)
M = λpP
p
j=1,j=p
pour tout i est définie par :
p ΣxpxjM (s) (s)
j P j
M (s)
i = Imi − ΠA et A = Im{P (s−1)
1
, P (s−1)
2
p
, · · · , P (s−1)
p }
et ΠA désigne la matrice de projection orthogonale associée à A.