nonstationarity, covariance estimation and state-space ... - EPFL

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Version abrégée Les données géostatistiques sont constituées de mesures recueillies à des endroits déterminés dans le domaine spatial. Généralement elles sont continues spatialement ; des exemples typiques comprennent l'ingénierie minière, la géologie, la pédologie et l'hydrologie. Les modèles géostatistiques se basent sur le concept de processus spatial ou spatio-temporel et ont pour but de décrire la structure de dépendance sous- jacente. La variabilité spatiale est modélisée comme une fonction de la distance entre les sites échantillonnés. Cette fonction appelée 'variogramme' ou 'covariogramme' est utilisée afin d'appliquer des méthodes statistiques comme l'estimation et/ou la prédiction, dénommée 'krigeage' dans le contexte géostatistique. Pour quantifier les dépendances spatio-temporelles, des techniques d'estimation se basant sur certaines hypothèse de stationnarité (rarement vérifiées dans la réalité) sont appliquées. La non-stationnarité et l'estimation de la covariance sont les thèmes sous-jacents de cette thèse qui est constituée de quatre chapitres. Le premier chapitre présente un survol court et concis des définitions et notations géostatistiques utilisées dans cette thèse. Préalables à la généralisation des concepts aux processus multivariés et spatio- temporels, elles sont établies relativement aux processus spatiaux univariés. Il existe beaucoup de différentes sortes de non-stationnarité, deux d'entre elles sont discutées dans le deuxième chapitre. Dans un premier temps le cas où la moyenne du processus dépend du site est étudiée. L'identification d'une tendance n'est pas un problème simple et nous soulignons qu'il n'existe pas de procédure d'estimation de la tendance pour les processus ponctuels dont la structure de dépendance est inconnue. Des outils exploratoires pour le variogramme empirique ou pour le processus observé, tout comme les méthodes paramétriques et non-paramétriques communément utilisées pour l'estimation de la tendance sont illustrées. Une méthode simple déduite de l'analyse visuelle des données est développée, à savoir l'estimation du variogramme basée sur 'l'estimation locale de la tendance'. Cette dernière sépare le domaine en plusieurs sous-doniaines ou morceaux, sur lesquels une tendance propre est estimée; les résidus sont combinés sur le domaine entier pour permettre une estimation et une inférence globales. Des simulations montrent qu'une subdivision simple et presque arbitraire suffit déjà à améliorer les résultats de l'estimation du variogramme. De plus la méthode fonctionne même lorsque la décomposition (heuristique) ne coïncide pas avec la (vraie) séparation des populations. Même dans le cas où la tendance n'est pas linéaire, la méthode donne de meilleurs résultats que les méthodes connues d'estimation paramétriques et non-paramétriques de la tendance. Pour souligner ces affirmations la méthode est appliquée à des données réelles. Une seconde forme de non-stationnarité est constituée par la dépendance de la structure de covariance par rapport au site. Dans ces circonstances les techniques d'estimation classiques ne peuvent pas s'appliquer. Par exemple, dans les sciences de l'atmosphère, il est facilement imaginable de rencontrer des situations où la dépendance spatiale change au cours du temps ou encore où la magnitude de variabilité maximale se modifie dans le temps. Pour de tels phénomènes le développement de nouveaux modèles est nécessaire. Par conséquent la partie restante du premier chapitre présente une nouvelle méthode valable
X -- Version abrégée pour la construction du covariogramme pour des processus spatio-temporels non-stationnaires. Ces nouveaux modèles de covariogramme sont illustrés à l'aide de simulations et d'une application à un jeu de données. Plusieurs outils statistiques utilisent la matrice de covariance du processus sous-jacent. Un exemple d'une telle méthode est l'analyse en composantes principales (fonctionnelle) servant à représenter un en- semble de variables potentiellement corrélées par le biais de composantes orthogonales non corrélées. Ces composantes non corrélées peuvent être construites successivement, chacune extrayant une quantité maximale de la variance restante. Cela conduit souvent à une réduction appréciable de la dimension en rem- plaçant les variables par un nombre restreint de composantes. Pour calculer les composantes orthogonales la matrice de covariance d'un processus multivarié ou spatio-temporel est nécessaire. Cette dernière est rarement, connue et par conséquent doit être estimée. Comme précisé précédemment, une importante ca- ractéristique des données géostatistiques est leur dépendance à la fois spatiale et temporelle. Par conséquent cette caractéristique doit être prise en compte en estimant la matrice de covariance; un estimateur naturel de la covariance est présenté dans le troisième chapitre. Nous montrons qu'il est biaisé dans le cas d'une dépendance spatio-temporelle. Ce biais est étudié à l'aide de deux méthodes asymptotiques, à savoir en augmentant le nombre d'observations dans le domaine et en augmentant le domaine par le biais d'un ac- croissement du nombre de sites. En utilisant le premier modèle asymptotique nous obtenons une rapide et précise correction du biais, tandis que le second modèle asymptotique sert à quantifier la vitesse de conver- gence du biais et de la covariance des éléments de la matrice de covariance estimée. Nous démontrons que, sou:$ de légères hypothèses, la matrice de covariance estimée suit asymptotiquement une distribution normale. Cette propriété peut être utilisée pour tester si les vecteurs propres de la matrice de covariance estimée et ceux de la vraie matrice de covariance sont significativement différents. Ce résultat est montré à l'aide d'exemples soulignant la nécessité de corriger le biais. De plus les propriétés théoriques sont illustrées à l'aide de simulations Monte-Carlo et à nouveau avec une application à des données réelles. La décomposition la plus fréquente pour extraire les parties stationnaires d'un processus utilise la séparation selon différentes échelles : une variation (déterministe) à longue échelle, une variation lissée à petite échelle, une variation à micro-échelle et une erreur de mesure. Bien qu'une telle partition additive soit d'une utilité considérable, elle comporte également plusieurs inconvénients. C'est pourquoi une analyse alternative utilisant une décomposition en espace d'états est présentée dans le quatrième chapitre. L'équation d'espace est un processus régit par une équation d'état et une erreur d'observation addition- nelle, ou l'état en un point est une moyenne pondérée de ces états voisins décrite par une fonction de noyau plus un processus spatial. Le nouveau modèle prend en compte diverses formes de tendance et il n'est paf3 nécessaire de décider si le processus est stationnaire ou non. Comme d'autres décompositions existantes peuvent être reconstruites par la nouvelle représentation, elle peut être considérée comme une généralisation des méthodes existantes. La décomposition aboutit à une équation intégrale de Fredholm du second type. En imposant la séparabilité des noyaux cette équation intégrale possède une solution explicite et le modèle est défini par le covariogramme paramétrisé du processus spatial et les para.mètres définissant le noyau. Dans notre modèle libre de distribution nous explorons diverses méthodes basés sur les distances minimales et les équations des moments pour l'estimation des paramètres, et en généralisant le concept des M-estimateurs au concept de dépendance, la consistance de ces nouveaux estimateurs est prouvée. L'effi- cacité de la méthode proposée est discutée et les résultats sont comparés à d'autres modèles fréquemment utilisés pa.r le biais de simulations Monte Car10 étendues et d'applications à des jeux de données réelles. Malgré sa complexité le nouveau modèle fournit une approche efficace et compétitive dans toutes les simulations. Ce dernier montre également que pour la plupart des paramètres ce nouvel estimateur est plus précis que les estimateurs basés sur les moindres carrés ordinaires.
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