nonstationarity, covariance estimation and state-space ... - EPFL

Kurzfassung
Als geostatistische Daten bezeichnet man alle Arten von Messungen, die an einem bestimmten Orten
in einem festgelegten raumlichen Gebiet vorgenommen wurden. Diese Gebiete sind gewohnlich stetig,
wie zum Beispiel in der Geologie, der Hydrologie, den Erdwisssenschaften und im Bergwesen. Model-
le für geostatistische Daten basieren auf raumlichen oder hum-Zeitprozessen, welche die innewohnende
Abhanigkeitsstruktur zu beschreiben versuchen, zum Beispiel wird die raumliche Variabilitat (Kovarianz)
durch eine Funktion der Stichprobenorte beschrieben. Diese Funktion wird üblicherweise Variogramm oder
Kovariogramm genannt, ihre Verwendung zur Schatzung undIoder Vorhersage ist ein grundlegendes Ele-
ment der Geostatistik. Die meisten Techniken zur Schatzung der Raum-Zeitabhanigkeitsstruktur basieren
auf der Annahme, dass der zugrundeliegende Prozess stationar ist, diese Annahme entspricht jedoch nur
selten der Realitat. Nichtstationaritat und Kovarianzschatzung bilden den roten Faden dieser Dissertation,
die in die im Folgenden kurz zusammengefassten vier Kapitel aufgeteilt ist.
Das erste Kapitel gibt einen kurzen Überblick über geostatistische Definitionen und Schreibweisen,
welche spater gebraucht werden. Es wird mit raumlichen Prozessen begonnen und sukzessive zu mehrdi-
mensionalen und Raum-Zeitprozessen verallgemeinert.
Es existieren viele verschiedene Formen von Nichtstationaritat, von denen zwei im zweiten Kapitel
genauer betrachtet werden. Im ersten Fall, Trend gennant, hiingt der Mittelwert des Prozesses vom Ort
im Raum ab. Die Identifizierung eines Trends ist ein nichttriviales Problem und es wird versucht auf-
zuzeigen, dass es keine optimale Trendschatzung gibt, wenn die zugrundeliegende Abhangigkeitsstruktur
nicht bekannt ist. Wir zeigen einige explorative Datenanalysemethoden für empirische Variogramme und
beobachtete Prozesse. Im Weiteren werden standardmassige parametrische und nichtparametrische Trend-
anpassungsmethoden erlautert. Von diesen Methoden ausgehend wird eine neue, einfache Denkweise zur
Variogrammschatzung beschrieben, 'Lokale Trendschatzung' genannt. Diese teilt das Gebiet in mehrere
Untergebiete ein, auf welchen der Trend geschatzt wird. Die Residuen werden zusammengefasst und er-
lauben eine globale Schatzung undIoder statistische Schlussfolgerungen. Simulationen zeigen, dass eine
einfache und heuristische Aufteilung zu Verbesserung der Variogrammschatzung führt. Wenn der wahre
(unbekannte) Trend nicht linear ist oder wenn die heuristische Aufteilung nicht der wahren (unbekannten)
Aufteilung entspricht, ist die Methode besser als parametrische und nichtparametrische Trendschatzung,
wie in Simulationen und in einer Anwendung gezeigt wird. Eine zweite Art der Nichtstationaritat ist die
Abhangigkeit der Form der Kovarianzstruktur vom Messort oder von der Messzeit, unter diesen Umstanden
ist die klassische Variogrammschatzung nicht moglich. Im Zusammenhang mit Untersuchungen der At-
mosphare kann zum Beispiel die Grosse der Variabilitat der Daten von der Zeit abhangen, für solche
Phanomene werden neue Modelle gebraucht. Im letzten Teil des zweiten Kapitels wird eine neue Methode
zur Konstruktion von gültigen, nichtseparierbaren Kovariogrammen für nichtstationare Raum-Zeitprozesse
hergeleitet. Diese neuen Kovariogramme werden mit Simulationen und einer Anwendung illustriert.
Viele statistische Anwendungen basieren auf der Kovarianzmatrix des modellierten Prozesses. Ein
klassisches Beispiel einer solchen Methode ist (funktionale) Hauptkomponentenanalyse, welche eine Menge