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IUT Orsay Cours du<br />
Mesures Physiques 1 er semestre<br />
Rappels de trigonométrie circulaire<br />
A. Rappel sur les définitions et le vocabulaire<br />
A-I. Les notions angulaires<br />
La première notion angulaire rencontrée est celle de SECTEUR ANGULAIRE. Elle est définie<br />
à partir des demi plans :<br />
• un SECTEUR SAILLANT est l’intersection de deux demi plans de frontières sécantes<br />
• un SECTEUR RENTRANT est la réunion de deux demi plans de frontières sécantes<br />
Les secteurs angulaires sont mesurés en choisissant un secteur qui sert d’unité et en comptant<br />
combien d’unités sont contenues dans le secteur.<br />
Les choix classiques d’unité sont :<br />
• le plan entier (réunion de deux demi plans non confondus et de<br />
même frontière), la mesure est alors dite en « tours »<br />
• le demi plan (réunion ou intersection de deux demi plans<br />
confondus), la mesure est dite en « angle plats »<br />
• le quart de plan (intersection de deux demi plans de frontières perpendiculaires), la<br />
mesure est alors dite en « droits »<br />
• le 180 ème de demi plan, la mesure est alors dite en « degrés »<br />
La deuxième notion angulaire est abordée au collège c’est celle d’ANGLE GEOMETRIQUE.<br />
Elle est définie à partir des paires de demi droites de même origine :<br />
l’angle géométrique xOy est l’ensemble des paires de demi droites qui<br />
peuvent, par glissement dans le plan, être superposées à la paire<br />
{ [ ) , [ ) }<br />
Ox Oy . La mesure d’un angle géométrique xOy est celle du petit<br />
arc géométrique qu’il détermine sur un cercle de centre O… voir polycopié<br />
Aide Mémoire. A partir de cette notion, une unité apparaît comme plus<br />
naturelle que les autres : c’est le radian. Par définition un angle plat<br />
mesure π radians.<br />
La troisième notion angulaire est abordée au lycée, c’est celle d’ ANGLE ORIENTE. Elle est<br />
Ox, Oy est<br />
définie à partir des couples de demi droites de même origine : l’angle orienté ( )<br />
l’ensemble des couples de demi droites qui peuvent, par glissement dans le plan, être<br />
superposées au couple ( [ Ox) , [ Oy ) ) . Les mesures de ( Ox, Oy) sont les mesures de l’arc orienté<br />
intercepté sur un cercle de centre O par le couple [ Ox) , [ Oy) … voir polycopié Aide Mémoire.<br />
Page 1 sur 6<br />
( )<br />
B. Equations cos( x ) = ... où x est un réel inconnu<br />
B-I. Le cas cos( x) = cos( x0)<br />
Une solution évidente est x = x0<br />
… mais il en existe beaucoup d’autres comme, par exemple<br />
x = − x0<br />
ou x = x0 + 2π<br />
…<br />
En fait un dessin suffit pour comprendre (en se rappelant de la période<br />
2π et des symétries vues en 2 nde) qu’il y a deux familles de solutions qui<br />
sont x = x0 + k.2π d’une part et x = − x0 + k.2π d’autre part où k désigne<br />
un entier relatif quelconque.<br />
π<br />
Exemple 1 : Résolution de cos( x)<br />
= cos( )<br />
12<br />
1 tour = 2 plats<br />
1 plat = 2 droits<br />
1 droit = 90 degrés<br />
1 plat = 180 degrés<br />
1 tour = 2π radians<br />
1 plat = π radians<br />
π<br />
1 droit = radians<br />
2<br />
1 degré =<br />
π<br />
radians<br />
180
Les solutions sont :<br />
π<br />
π<br />
x = + k.2π<br />
ou x = − + k.2π<br />
12<br />
12<br />
π π<br />
Exemple 2 : Résolution de cos(6 x + ) = cos( )<br />
4 12<br />
π π<br />
π π<br />
Les solutions sont 6 x + = + k.2π<br />
ou 6 x + = − + k.2π<br />
c’est à dire :<br />
4 12<br />
4 12<br />
−π<br />
π −π<br />
π<br />
x = + k.<br />
ou x = + k.<br />
36 3 18 3<br />
π<br />
Exemple 3 : Résolution de cos(6 x + ) = cos( x)<br />
4<br />
π<br />
π<br />
Les solutions sont 6 x + = x + k.2π<br />
ou 6 x + = − x + k.2π<br />
c’est à dire :<br />
4<br />
4<br />
B-II. Le cas cos( x) = a<br />
−π<br />
2π<br />
−π<br />
2π<br />
x = + k.<br />
ou x = + k.<br />
20 5 28 7<br />
1 ère possibilité : Soit a ∈[ − 1; + 1] et dans ce cas on peut trouver (au pire à l’aide d’une<br />
calculette) une valeur particulière 0 x telle que a puisse être remplacé par cos( x 0)<br />
si bien que<br />
l’équation s’écrit cos( x) = cos( x0)<br />
et on sait la résoudre comme dans le cas précédent.<br />
2 ème possibilité : Soit a ∉[ − 1; + 1] et alors l’équation n’a pas de solution.<br />
π<br />
Exemple 1 : Résolution de cos( x)<br />
=<br />
3<br />
π<br />
Comme > 1,<br />
l’équation n’a pas de solution.<br />
3<br />
3<br />
Exemple 2 : Résolution de cos( x ) = .<br />
4<br />
Comme 3 [ 1; 1]<br />
4 ∈ − + , il existe 0 x tel que Remarque : Si un exercice de résolution est noté sur n points<br />
et si un étudiant trouve une solution alors qu’il y en a<br />
1000000, quelle doit être sa note ?<br />
1<br />
n× … ça ne fait pas beaucoup !<br />
1000000<br />
Et s’il y a une infinité de solutions et qu’il n’en trouve qu’une ?<br />
3<br />
cos( x 0)<br />
= et les solutions sont les deux familles<br />
4<br />
x = x + k.2π et x = − x0 + k.2π avec ici x 0 = 0,722734... (obtenu avec une calculette)<br />
0<br />
C. Equations sin( x ) = ... où x est un réel inconnu<br />
C-I. Le cas sin( x) = sin( x0)<br />
Une solution évidente est x = x0<br />
… mais il en existe beaucoup d’autres comme, par exemple<br />
x = π − x ou x = x0 + 2π<br />
…<br />
0<br />
Il suffit encore d’un dessin pour comprendre (en se rappelant de<br />
la période 2π et des symétries vues en 2 nde ) qu’il y a deux familles<br />
de solutions qui sont x = x0 + k.2π d’une part et x = π − x0 + k.2π<br />
d’autre part où k désigne un entier relatif quelconque.<br />
π<br />
Exemple 1 : Résolution de sin( x)<br />
= sin( )<br />
9<br />
Les solutions sont :<br />
Page 2<br />
Attention : ce n’est pas<br />
parce qu’on a traité l’un<br />
des deux cas qu’on peut<br />
se passer de traiter<br />
l’autre.
π<br />
8π<br />
x = + k.2π<br />
ou x = + k.2π<br />
9<br />
9<br />
π π<br />
Exemple 2 : Résolution de sin(2 x + ) = sin( )<br />
5 3<br />
π π<br />
π 2π<br />
Les solutions sont 2 x + = + k.2π<br />
ou 2 x + = + k.2π<br />
c’est à dire :<br />
5 3<br />
5 3<br />
π<br />
7π<br />
x = + k.<br />
π ou x = + k.<br />
π<br />
15<br />
30<br />
π π<br />
Exemple 3 : Résolution de sin(3 x + ) = sin(2 x − )<br />
4 3<br />
π π<br />
π π<br />
Les solutions sont 3x + = 2 x − + k.2π<br />
ou 3x + = π − 2 x + + k.2π<br />
4 3<br />
4 3<br />
c’est à dire :<br />
C-II. Le cas sin( x) = a<br />
−7π<br />
11π 2π<br />
x = + k.2π<br />
ou x = + k.<br />
12<br />
60 5<br />
1 ère possibilité : Soit a ∈[ − 1; + 1] et dans ce cas on peut trouver (au pire à l’aide d’une<br />
calculette) une valeur particulière 0 x telle que a puisse être remplacé par sin( x 0)<br />
si bien que<br />
l’équation s’écrit sin( x) = sin( x0)<br />
et on sait la résoudre comme dans le cas précédent.<br />
2 ème possibilité : Soit a ∉[ − 1; + 1] et alors l’équation n’a pas de solution.<br />
π 1<br />
Exemples : A vous de résoudre sin( x)<br />
= ; sin( x ) = ; sin( x ) =<br />
3 3<br />
D. Equations tan( x ) = ... où x est un réel inconnu<br />
D-I. Le cas tan( x) = tan( x0)<br />
Une solution évidente est x = x0<br />
… mais il en existe beaucoup d’autres comme, par exemple<br />
x = π + x ou x = π + x0<br />
+ 2π<br />
…<br />
0<br />
Il suffit encore d’un dessin pour comprendre (en se rappelant de la<br />
période π -et non pas 2π - et des symétries vues en 2 nde ) qu’il y a deux<br />
familles de solutions qui sont x = x0 + k.2π d’une part et<br />
x = π + x + k.2π<br />
d’autre part où k désigne un entier relatif<br />
0<br />
quelconque. Les deux familles de solutions se regroupent en une seule<br />
écriture : x = x0 + k. π<br />
π<br />
Exemple 1 : Résolution de tan( x)<br />
= tan( )<br />
8<br />
Les solutions sont :<br />
π<br />
9π<br />
−7π<br />
x = + k.<br />
π (ou bien, si vous préférez x = + k.<br />
π ou même x = + k.<br />
π )<br />
8<br />
8<br />
8<br />
π π<br />
Exemple 2 : Résolution de tan(2 x + ) = tan( )<br />
5 3<br />
Page 3<br />
2<br />
2<br />
Ici encore, les deux<br />
cas ne se<br />
ressemblent guère…
π π<br />
π 4π<br />
Les solutions sont 2 x + = + k.<br />
π ou 2 x + = + k.<br />
π c’est à dire :<br />
5 3<br />
5 3<br />
π π 17π<br />
π<br />
x = + k.<br />
ou x = + k.<br />
15 2 30 2<br />
π π<br />
Exemple 3 : Résolution de tan(3 x + ) = tan( x + )<br />
4 3<br />
π π<br />
π π<br />
Les solutions sont 3 x + = x + + k.<br />
π ou 3 x + = π + x + + k.<br />
π c’est à dire :<br />
4 3<br />
4 3<br />
D-II. Le cas tan( x) = a<br />
π π 13π<br />
π<br />
x = + k.<br />
ou x = + k.<br />
12 2 24 2<br />
Quel que soit a , l’équation a toujours des solutions car la fonction tangente donne des résultats<br />
qui vont de −∞ à +∞ . On trouve donc une valeur 0 x telle que a puisse être remplacé par tan( x 0)<br />
et on résout comme dans le cas précédent.<br />
Exemples : A vous de résoudre tan( x ) = 1 ; tan( x ) = 2<br />
E. Equation du type x = x0<br />
cos( ) sin( )<br />
On se ramène à un cas connu en utilisant la symétrie qui échange les<br />
cosinus avec les sinus… c’est à dire la symétrie par rapport à la<br />
⎧ π<br />
sin( − α) = cos( α)<br />
⎪ 2<br />
diagonale principale du repère : ⎨<br />
⎪ π<br />
cos( − α) = sin( α)<br />
⎪⎩ 2<br />
Exemple : Résolution de cos(3 x) sin( x )<br />
6<br />
π<br />
= − …<br />
π π<br />
On transforme l’équation en cos(3 x) = cos( − x + ) ou<br />
2 6<br />
π π<br />
en sin( − 3 x) = sin( x − ) et on résout<br />
2 6<br />
« classiquement ».<br />
Page 4<br />
Tiens, au fait, on résout ça<br />
s’écrit bien comme ça et<br />
non pas avec un d !<br />
Je résous, tu résous, il ou<br />
elle résout…<br />
F. Equations a.cos( x) + b.sin( x) = c où a, b et c sont dans ℝ<br />
F-I. La méthode d’après un exemple<br />
2 2<br />
Si a et b étaient deux nombres tels que a + b = 1 le point M ( a, b ) serait sur le cercle<br />
trigonométrique… donc on pourrait trouver α tel que a = cos( α)<br />
et b = sin( α)<br />
. Dans ces<br />
conditions, l’équation pourrait s’écrire cos( α).cos( x) + sin( α).sin(<br />
x) = c ce qui grâce aux formules<br />
d’addition se transforme en cos( α − x) = c … et on est alors en présence d’une équation d’un type<br />
<strong>élémentaire</strong> que l’on sait résoudre.<br />
2 2<br />
Le problème est que a et b ne sont pas en général deux nombres tels que a + b = 1 … Par<br />
exemple, dans l’équation 2.cos( x) + 3.sin( x)<br />
= 1,<br />
on ne peut pas dire que 2 = cos( α)<br />
et<br />
3 = sin( α)<br />
!
Si l’idée générale ne s’applique pas, c’est que le point M (2;3) n’est pas sur le cercle<br />
trigonométrique…On peut améliorer la situation en définissant un point m sur le cercle<br />
trigonométrique et tel que Om<br />
soit unitaire, colinéaire avec OM<br />
et de même sens, c’est à dire en<br />
1 <br />
posant Om = . OM .<br />
OM<br />
C’est facile à comprendre : si M ( a, b ) est trop loin de l’origine on le rapproche et s’il est trop<br />
près on l’éloigne.<br />
Dans l’exemple précédent : 2.cos( x) + 3.sin( x)<br />
= 1,<br />
M (2;3) est trop loin de l’origine.<br />
1 <br />
1 <br />
En posant Om = . OM c’est à dire Om = . OM on obtient un point<br />
OM<br />
4 + 9<br />
Page 5<br />
2 2<br />
2 3<br />
m ( ; )<br />
13 13<br />
⎛<br />
qui est sur le cercle trigonométrique puisque ⎜<br />
⎝<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
13 ⎠<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
3 ⎞<br />
⎟<br />
13 ⎠<br />
= 1 et il est donc certain qu’on peut<br />
trouver α vérifiant à la fois : cos( α) =<br />
2<br />
et sin( α)<br />
=<br />
13<br />
3<br />
.<br />
13<br />
La résolution de 2.cos( x) + 3.sin( x)<br />
= 1 se fait donc de la façon suivante :<br />
1. On pose<br />
2 2<br />
R = 2 + 3 = 13<br />
2. On divise les deux membres de l’équation par 13 pour obtenir<br />
2<br />
cos( x) +<br />
13<br />
3<br />
sin( x)<br />
=<br />
13<br />
1<br />
c’est à dire cos( α).cos( x) + sin( α).sin(<br />
x)<br />
=<br />
13<br />
1<br />
ou encore<br />
13<br />
cos( α − x)<br />
=<br />
1<br />
.<br />
13<br />
3. Comme<br />
1<br />
∈[ − 1; + 1] , on est sûr qu’il existe au moins une valeur β telle que<br />
13<br />
cos( β ) =<br />
1<br />
13<br />
et l’équation devient cos( α − x)<br />
= cos( β ) dont les solutions sont<br />
x = α + β + k.2 π ou x = α − β + k.2π<br />
4. On donne enfin des valeurs approchées de α et β … à l’aide d’une calculette :<br />
α ≅ 0.9827937235 et β ≅ 1.289761425<br />
F-II. La méthode générale de résolution de a.cos( x) + b.sin( x) = c<br />
1. On pose<br />
2 2<br />
R = a + b et on divise les deux membres de l’équation par cette valeur.<br />
a<br />
b<br />
2. On appelle α un réel tel que cos( α ) = et sin( α ) = : l’équation devient<br />
R<br />
R<br />
c<br />
cos( α − x)<br />
=<br />
R<br />
3. On distingue deux cas :<br />
c<br />
c<br />
Si ∈[ − 1; + 1] on pose cos( β ) = et les solutions de l’équation sont<br />
R R<br />
⎡x<br />
= α + β + k.2π<br />
⎢<br />
⎣x<br />
= α − β + k.2π<br />
Sinon l’équation n’a pas de solution.
F-III. Exemples<br />
Résolution de cos( x) + sin( x)<br />
=<br />
2<br />
2<br />
1. R =<br />
1<br />
2 , l’équation s’écrit .cos( x) +<br />
2<br />
1 1<br />
.sin( x)<br />
=<br />
2 2<br />
2.<br />
π<br />
α = , l’équation devient<br />
4<br />
1<br />
cos( x )<br />
4 2<br />
π<br />
− =<br />
3. Comme 1 ∈[ − 1; + 1] on peut trouver β …<br />
2<br />
Résolution de cos( x) + sin( x)<br />
= 4 2<br />
Page 6<br />
π<br />
β = … solutions :<br />
3<br />
1. R =<br />
1<br />
2 , l’équation s’écrit .cos( x) +<br />
2<br />
1<br />
.sin( x)<br />
= 4<br />
2<br />
2.<br />
π<br />
α = , l’équation devient cos( x ) 4<br />
4<br />
4<br />
π<br />
− =<br />
3. Comme 4 ∉[ − 1; + 1] l’équation n’a pas de solution.<br />
Résolution de 3cos( x) + 4sin( x)<br />
= 1<br />
⎡ 7π<br />
⎢<br />
x = + k.2π<br />
12<br />
⎢<br />
⎢ −π<br />
x = + k.2π<br />
⎢⎣ 12<br />
1 1 1<br />
1. R = 5 , l’équation s’écrit .cos( x) + .sin( x)<br />
=<br />
5 5 5<br />
3<br />
4<br />
π 1<br />
2. On pose cos( α ) = et sin( α ) = , l’équation devient cos( α − ) =<br />
5<br />
5<br />
4 5<br />
3. Comme 1 1<br />
⎡x<br />
= α + β + k.2π<br />
∈[ − 1; + 1] on peut trouver β … cos( β ) = …solutions :<br />
5 5<br />
⎢<br />
⎣x<br />
= α − β + k.2π<br />
4. α ≅ 0,9272952180 et β = 1,369438406<br />
G. Transformation des expressions a.cos( x) + b.sin( x)<br />
En électricité, on a souvent des tensions (ou des intensités) sinusoïdales. Lorsqu’on utilise une<br />
combinaison linéaire de sin( x ) et de cos( x ) on peut remarquer que cette combinaison linéaire se<br />
résume à une seule fonction cosinus ou sinus… mais avec un déphasage.<br />
⎛ 2 2 a b ⎞<br />
a.cos( x) + b.sin( x) = a + b . ⎜ cos( x) + sin( x)<br />
⎟<br />
2 2 2 2<br />
⎝ a + b a + b ⎠<br />
( cos( α).cos( ) sin( α).sin(<br />
) )<br />
= + +<br />
2 2<br />
a b x x<br />
=<br />
2 2<br />
a + b cos( α − x) =<br />
2 2 π<br />
a + b sin( + x −α<br />
)<br />
2<br />
=<br />
2 2<br />
a + b cos( x − α) =<br />
2 2 π<br />
a + b sin( − x + α)<br />
2<br />
… Parmi ces quatre dernières expressions on choisit celle qui<br />
convient le mieux aux calculs ou à l’interprétation.