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Pour comprendre ce qui se passe, il est utile de considérer la suite d’intégrales de la densité f
F 0 (x) = f(x)
F 1 (x) = ∫ x
0 F 0(t)dt
F 2 (x) = ∫ x
0 F 1(t)dt
(29)
que l’on peut généraliser en
F s (x) =
∫ x
0
F s−1 (t)dt =
∫
1 x
(x − t) s−1 f(t)dt. (30)
(s − 1)! 0
Cette dernière écriture est particulièrement instructive dans la mesure où elle permet de faire le
lien entre la dominance stochastique et les indices de pauvreté de Foster, Greer, and Thorbecke
(1984). En effet si l’on fixe x égal à z le seuil de pauvreté, on se rend compte qu’il y a identité
entre les fonctions de dominance F s (z) et P s−1 (z) à un facteur multiplicatif près qui ne dépend
que de s. La dominance stochastique correspond donc à la généralisation de ces indices quand on
fait varier le seuil de pauvreté sur tout le segment [0, +∞[. C’est le point de vue que développe
Atkinson (1987). Notons au passage la notion de poverty deficit curve qui est la courbe obtenue
en faisant varier z dans zP 1 (z).
Le lien avec les indices de pauvreté est encore plus apparent si l’on passe à une notion de
dominance restreinte en ne considérant plus les inégalités pour tout x, mais pour un intervalle
réduit [z ∗ , z ∗ ]. On va donc considérer
F s (z) =
∫
1 z
(z − t) s−1 f(t)dt ∀z ∈ [z ∗ , z ∗ ]
(s − 1)! 0
Cette écriture permet de comparer deux distributions de revenu en faisant varier le seuil de pauvreté
entre deux bornes. On aura donc une mesure de comparaison plus robuste. Si on appelle
z − x le poverty gap, c’est à dire la différence entre l’observation du revenu x et un seuil de
pauvreté z, alors pour s = 1, on compte les pauvres, pour s = 2, on mesure la moyenne du
poverty gap et pour s = 3, on s’intéresse à sa dispersion pour un intervalle donné a priori.
3 La mesure de la pauvreté en Europe
En 1990, Antony Atkinson a donné la Yrjö Jahnsson lecture sur le thème La Pauvreté en Europe.
Sa première leçon était consacrée à la mesure de la pauvreté. Les données datent un peu maintenant,
mais restent d’actualité pour leur aspect méthodologique. Atkinson relate des recherches
menées sous l’égide de l’Union Européenne et de son programme de lutte contre la pauvreté.
L’union Européenne estimait à 50 million le nombre de pauvres en 1990 dans l’Union en se
basant sur des enquêtes sur les budgets familiaux.
Definition 3 L’UE définit comme pauvre toute personne vivant avec moins de 50% de la dépense
moyenne par habitant du pays dans lequel elle vit.
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