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La variance σ 2 se définit comme
σ 2 = E( ̂P α − P α ) 2 =
et cette quantité s’estime naturellement comme
∫ z
0
( ) x − z 2α
− P
2
z
α , (40)
̂σ 2 = ̂P 2α − ̂P α. 2 (41)
L’écart-type de ̂P α s’estimera comme ̂σ/ √ n que l’on va noter ˆσ P . Alors la variable aléatoire
t =
̂P α − P α
ˆσ P
(42)
est distribuée asymptotiquement selon une normale de moyenne nulle et de variance unité. Si
on appelle t 0.05 la valeur critique de la normale au seuil de 5%, on peut former l’intervalle de
confiance
̂P α − t 0.05ˆσ ≤ P α ≤ ̂P α + t 0.05ˆσ. (43)
Considérons maintenant deux échantillons indépendants de taille n 1 et n 2 . On considère les
distributions asymptotiques de √ n i ̂P i de variance σ 2 i . On a omis l’indice α dans P α pour la clarté
des notations. Alors l’écart type de l’estimateur de la différence ̂P 1 − ̂P 2 est égal à
et la statistique
SE( ̂P 1 − ̂P 2 ) =
η y =
̂P 1 − ̂P 2
SE( ̂P 1 − ̂P 2 )
√
ˆσ
2
1
n 1
+ ˆσ2 2
n 2
(44)
est asymptotiquement normale de moyenne zero et de variance un. Cette statistique permet de
tester le fait que deux indices de pauvreté sont statistiquement les mêmes contre le fait qu’il sont
différents.
4.5 Tester la dominance stochastique
Ce problème est beaucoup plus complexe que le précédent. On ne considère plus un simple
indice, mais une courbe complète, la courbe de dominance (30). Il va donc s’agir de comparer
deux courbes entre elles, ce qui suppose une comparaison point par point. On doit donc traiter
simultanément de la comparaison d’un ensemble de points. Comme l’on s’intéresse à la pauvreté,
c’est le concept de dominance stochastique restreinte qui est opérant ici. Considérons donc
un intervalle [z ∗ , z ∗ ] qui correspond à deux valeurs extrêmes pour le seuil de pauvreté et deux
échantillons A et B pour lesquels on a calculé la courbe de dominance (30) à l’ordre s que l’on
notera F A s (x) et F B s (x) pour les deux échantillons. Il est possible de définir trois hypothèses
distinctes:
1. H 0 : δ s (x) = F A s (x) − F B s (x) = 0 ∀x ∈ [z ∗ , z ∗ ]
19
(45)