modèle matriciel en dynamique du robot parallèle stewart-gough

MODÈLE MATRICIEL EN DYNAMIQUE DU ROBOT
PARALLÈLE STEWART-GOUGH
ŞTEFAN STAICU *
L’article établit des relations matricielles itératives d’analyse cinématique et
dynamique du robot parallèle Stewart-Gough, schématisé dans l’espace par un réseau
de chaînes cinématiques fermées. Sous l’action de six forces générées par des
systèmes pneumatiques ou hydraulique indépendantes, les six actuateurs du
mécanisme tridimensionnel effectuerons des translations relatives. En connaissant le
mouvement général de la plateforme, on développe le problème cinématique inverse
et on détermine les positions, les vitesses et les accélérations des éléments composant
le manipulateur. Basées sur le principe des travaux virtuels, les équations
fondamentales de la dynamique des robots parallèles offrent des expressions
récursives et des graphes pour les forces motrices des six actionneurs.
1. INTRODUCTION
Les robots industriels construits sont en général de type sériel, leur structure
mobile étant une chaîne ouverte formée d’une succession de segments reliés entre
eux par des liaisons à un seul degré de liberté. Dans le but de réduire les volumes et
de diminuer les masses des corps en mouvement, certains robots comportent une
ou plusieurs boucles fermées formant chacune un polygone articulé.
Concernant la précision, la rigidité ou la capacité de charge, les
manipulateurs parallèles sont des mécanismes ayant des bonnes performances. Un
robot à architecture parallèle contient en général deux plate-formes: l’une
appartient au repère fixe et l’autre peut effectuer des mouvements arbitraires dans
son espace de travail. Étant lié à la plate-forme mobile, l’effecteur du robot est mis
en connexion avec la plate-forme fixe par l’intermédiaire des jambes mobiles
d’architecture sérielle. Les liaisons des éléments du robot seront des couples
sphériques, couples cylindriques ou bien couples prismatiques. Le nombre des
éléments actifs est en général égal au nombre de degrés de liberté du manipulateur.
Les robots parallèles en comparaison avec les robots sériels ont des
caractéristiques spéciales: rigidité et capacité dynamique de charge plus élevée,
actionneurs immobiles, bonne précision d’orientation et un fonctionnement stable.
La possibilité de choisir l’articulation que l’on veut motoriser permet de ramener
* Université “Politehnica” de Bucharest
Rev. Roum. Sci. Techn. − Méc. Appl., Tome 54, N o 3, P. 187–200, Bucarest, 2009

188 Ştefan Staicu 2
les systèmes moteurs vers la base, donc de minimiser le nombre des masses
mobiles. Équipés d’actionneurs hydrauliques ou pneumatiques, les manipulateurs
parallèles disposent d’une construction robuste et peuvent déplacer rapidement des
charges assez imposantes.
Le manipulateur parallèle Star de Hervé (Hervé et Sparacino [12]; Tremblay
et Baron [30]) et le robot parallèle Delta (Staicu et Carp-Ciocardia [27]) conçu par
Clavel [3] à l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne et par Tsai et Stamper
[32] à l’Université de Maryland sont équipés de trois moteurs en parallèle et
entraînent l’effecteur en translation générale à trois degrés de liberté. L’analyse
cinématique et dynamique directe d’un prototype de manipulateur sphérique Agile
Wrist à trois rotations concourantes est développée par Gosselin et Angeles [1],
[11]. L’application la plus connue est le simulateur de vol à six degrés de liberté,
c’est-à-dire la plateforme Gough-Stewart (Stewart, [29]; Merlet, [18]; Parenti
Castelli et Di Gregorio, [21]; Baron et Angeles, [2]).
2. MODÈLE CINÉMATIQUE DU ROBOT
Le manipulateur Stewart-Gough est un mécanisme tridimensionnel représenté
par un réseau de chaînes parallèles, où la plate-forme mobile est mise en connexion
avec la base fixe par six jambes extensibles. Détermination de la configuration
instantanée du manipulateur est un sujet très important pour le contrôle de position
ou de mouvement de la plate-forme.
G
E
D
x 0
z 0
O
y 0
C
B
F
A
Fig. 1 – Schéma général du manipulateur.

3 Modèle matriciel en dynamique du robot parallèle Stewart-Gough 189
L’article présent établit des relations matricielles analysant la cinématique et
la dynamique d’un tel manipulateur à une configuration spéciale Stewart-Gough
3-3, où les articulations de connexion de la base ou de la plate-forme en
mouvement coïncident deux à deux (Fig. 1).
La topologie d’une des six chaînes cinématiques du mécanisme est
composée d’une liaison passive à Cardan, un système pneumatique actif
rassemblant par une liaison prismatique deux éléments rigides et enfin une liaison
passive sphérique appartenant à la plate-forme mobile (Fig. 2).
G
z 4
A
A
φ 65
A
y 4
A
φ 43 A 4
A
α 3
A
y 6
z 6
A
A 6
y 5
A
A 5 A
φ 54
A
z 5
A
z 3
λ 32
A
A 3
x 0
O
α 1
A
y 0
α 2
A
x 3
A
z 0
A 2
β
A 1
x 2
A
φ 21
A
z 2
A
x 1
A
φ 10
A
Fig. 2 – Schéma cinématique de la jambe A du manipulateur.
z 1
A
On considère le repère fixe Ox
0
y0z0
( T 0
) par rapport auquel se déplace un
manipulateur parallèle à six degrés de liberté, ayant six pieds dont les éléments ont

190 Ştefan Staicu 4
des dimensions connues. Le premier corps de la jambe A est une croix de Cardan
de petites dimensions, masse m
1
, tenseur d’inertie Ĵ 1
, mise en rotation autour de
A
A
A
l’axe A 1
z 1
avec la vitesse angulaire ω10
et l’accélération angulaire ε
10
. La pièce
A
A A A
cylindriqueT 2
liée au repère A2 x2
y2
z2
, de longueur l
2
, masse m
2
et moment
A
d’inertie Ĵ
2
tourne d’un angle ϕ 21
tel que ω A 21
=ϕ A 21,
ε A A
21
=ϕ 21
. Une liaison
A A A
prismatique mette en connexion avec le repère A3 x3
y3
z3
une tige rigide de
longueurl 3
, masse m3
et tenseur d’inertie Ĵ 3
. Elle est mise en translation relative
A
A
A
A
suivant A 3
x 3
avec le déplacement axial λ
32
, la vitesse v 32
et l’accélération γ
32
.
Une deuxième croix à Cardan A
4
, de masse m
4
et tenseur d’inertie Ĵ 4
, est
A
A
entraînée ensuite en rotation avec une vitesse angulaire ω
43
et l’accélération ε 43
.
Enfin, une dernière petite pièce A 5
de masse m
5
et de tenseur d’inertie Ĵ
5
tourne
A
d’un angle ϕ
54
et transmette le mouvement vers la plate-forme mobile par une
articulation cylindrique A
6
. Cette plate-forme est un triangle équilatéral de côté l 0
,
A
masse m
6
et tenseur d’inertie Ĵ 6
, tournant d’un angle relatif ϕ
65
.
Les distances
OA = OB
1
= GA
et les angles suivants
6
1
= GB
= OC
6
1
= GC
= OD
6
1
= GD
= OE
6
1
= GE
= OF =
6
1
= GF
6
= l
A F B C 2π
D E 2π
α
1
=α
1
= 0, α
1
=α
1
= , α
1
=α
1
=− ,
3 3
A C E π B D F π
α
2
=α
2
=α
2
=− , α
2
=α
2
=α
2
= ,
3 3
A B C D E F 2π
α
3
=α
3
=α
3
=α
3
=α
3
=α
3
=
3
donnent la location des points de connexion des six jambes à la base fixe et la
position initiale du robot
Puisqu’il s’agit d’un mécanisme à six degrés de liberté, sa position pourrait
A B C D E F
être déterminée par les déplacements relatifs λ32, λ32, λ32, λ32, λ32,
λ
32 des six
actionneurs prismatiques ou bien par les coordonnées
G
x 0
,
G
y 0
,
masse de la plate-forme et encore par les angles d’Euler α1, α2,
α
3.
0
(1)
(2)
G
z 0
du centre de

5 Modèle matriciel en dynamique du robot parallèle Stewart-Gough 191
En suivant la jambe A dans le sens OA
1A2
A3
A4
A5
A6
, les matrices de passage
seront [24]:
ϕ A A
ϕ
a
10
= a10θ 1aα
a
2 α , a
1 21
= a 21
a θ , β 2 a
32
= θ
1
,
avec les notations
ϕ
a
43
= a 43
a θ β , 1 a
54
= a ϕ A
54
θ 1 , a65 = a ϕ
65aα
θ
3 2 , (3)
A
A
⎡0 0 −1⎤ ⎡ 0 0 −1⎤
⎡cosαi
sinα
0⎤
i
A ⎢ A A ⎥
θ
1
=
⎢
0 1 0
⎥
,
⎢
2
1 0 0
⎥
⎢ ⎥
θ =
⎢
−
⎥
, aα
= sin cos 0 ( 1, 2, 3)
i ⎢ αi
α
i ⎥ i=
⎢⎣1 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ ⎢ 0 0 1⎥
⎣ ⎦
⎡ cosβ sinβ
0⎤
a β
=
⎢
sin cos 0
⎥
⎢
− β β
⎥
,
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
⎡ cosϕ
sin ϕ 0⎤
⎥
⎢ sin cos 0 ⎥,
⎢ 0 0 1⎥
⎣
⎦
A
A
kk , −1 kk , −1
ϕ ⎢ A
A
a kk , −1 = − ϕ kk , −1 ϕ kk , −1
(4)
k
a = ∏ a ( k = 1,2,3,4,5,6) .
k0 k− j+
1, k−
j
j=
1
Supposons que le mouvement général de la plateforme est exprimé par les
coordonnées du centre G
G G G G T
r 0
= [ x0 y0 z
0
] ,
G G*
⎛2π
⎞
x0 = x0
sin ⎜ t⎟
⎝ 3 ⎠ ,
G G*
⎡ ⎛2π
⎞⎤
y0 = y0
⎢1−cos⎜ t ⎟
3
⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦ , (5)
G
G*
⎡ ⎛2π
⎞⎤
z0 = h+ z0
⎢1−cos⎜ t⎟
3
⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦
et les angles de rotation autour de G
π ⎞⎤
α
i
=αi ⎢1− cos ⎜ t⎟
( i=
1, 2, 3)
3
⎥
. (6)
⎣ ⎝ ⎠⎦
La matrice générale a des rotations successives autour des axes Gx , Gy,
Gz
est construite à l’aide de ces trois angles α1, α2,
α
3
* ⎡ ⎛2

192 Ştefan Staicu 6
⎡1 0 0 ⎤
a1 =
⎢
0 cos
1
sin
⎥
⎢
α α1⎥
,
⎢⎣0 −sinα1 cosα
⎥
1⎦
a
2
⎡cosα2 0 −sin
α2⎤
=
⎢
0 1 0
⎥
⎢ ⎥
,
⎢⎣
sin α2 0 cosα
⎥
2 ⎦
⎡ cosα3 sin α3
0⎤
a3 =
⎢
−sin α3 cosα3
0
⎥
, a = a
⎢
⎥
3a2a1
. (7)
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
Alors, les conditions géométriques de rotation de a plateforme seront données
par les identités
où
T
60 60
= T
b60 b60
= T
c60 c60
= T
d60 d60
= e T
60
e60
a a
a = a θ θ a θθ a θ θ a a
= f
A A A
60 α3 2 1 β 1 1 β 2 1 α2 α1
f
T
60 60
= a , (8)
. (9)
A A A A A A
Les valeurs des variables ϕ10, ϕ21, λ
32, ϕ43, ϕ54,
ϕ65
sont déterminées par
les relations de contrainte suivantes
r + a r + a r =
5
A T A T GA
10 ∑ k0 k+
1, k 60 6
k = 1
= r + b r + b r =
5
B T B T GB
10 ∑ k0 k+
1, k 60 6
k = 1
= r + c r + c r =
5
C T C T GC
10 ∑ k0 k+
1, k 60 6
k = 1
(10)
= r + d r + d r =
5
D T D T GD
10 ∑ k0 k+
1, k 60 6
k = 1
= r + e r + e r =
5
E T E T GE
10 ∑ k0 k+
1, k 60 6
k = 1
et les notations
= r + f r + f r = r
5
F T F T GF G
10 ∑ k0 k+
1, k 60 6 0
k = 1
⎡1⎤
u ⎡0⎤
=
⎢ ⎥
1
⎢
0 ,
⎥
u ⎡0⎤
⎢ ⎥
2
=
⎢
1 ,
⎥
u ⎢ ⎥
3
=
⎢
0
⎥
⎢⎣
0⎥⎦
⎢⎣
0⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦

7 Modèle matriciel en dynamique du robot parallèle Stewart-Gough 193
⎡0
0 0 ⎤ ⎡ 0 0 1⎤
⎡0
−1
0⎤
u ~ =
⎢ ⎥
1
⎢
0 0 −1
⎥
,
⎥
u ~ ⎢
2
=
⎢
0 0 0 ,
⎥
u ~ ⎢ ⎥
3
=
⎢
1 0 0 (11)
⎥
⎢⎣
0 1 0 ⎥⎦
⎢⎣
−1
0 0⎥⎦
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
r
A
= r
21
= 0 , r A 32
= lu A A
1 1
+λ 32
a 32
u
3
= l3u
3
, 54
0,
A A
r = r 65
= 0 , r GA
6
= l0u1
.
A
l a A
u ,
10 0 α1 1
A
r 43
Les mouvements des éléments de la jambe A du robot, par exemple, seront
caractérisés par des matrices antisymétriques (Staicu [25]):
ω = a ω a +ω u , (12)
A A T A
k0 kk , −1 k−1,0 kk , −1 kk , −1 3
associées aux vitesses angulaires absolues données par les formules de récurrence
ω = a ω +ω u , ω =ϕ . (13)
Les vitesses
relations
A
vk
0
A A A A A
k0 kk , −1 k−1,0 kk , −1 3 kk , −1 kk , −1
des centres
Ak
des articulations sont exprimées par es
v = a v + a ω r + v . (14)
A A A A A
k0 k, k−1 k−1,0 k, k−1 k−1,0 k, k−1 k, k−1
En supposant que le mouvement absolu de la plate-forme mobile est donné
par les relations (5) et (6), on développe le problème cinématique inverse et on
évalue les vitesses et les accélérations des éléments du manipulateur. C’est pour
cela que nous faisons le graphe du mécanisme, tout en représentant les corps par
des points et les liaisons par des segments reliant ces points. Les conditions de
connectivité des vitesses relatives sont exprimées tout en suivant les contraintes de
chacun des cycles indépendants du graphe associé au manipulateur.
Le modèle cinématique inverse est représenté par les équations matricielles
des contraintes cinématiques
T
T
ui
a10
u A T
T
3
+ ω 21
ui
a20
u A T T
3
+ω
43
u
i
a40u3
+
A T T A T T
+ω
54uau
i 50 3
+ ω
65uau
i 60 3
=
T T T T T T T
= u i
{ α 1au 1 1+α
2aau 1 2 2+α 3aaau
1 2 3 3}
, (15)
T T T T T
ω A 10u 10 3{ A A GA
i
a u
a21r 32
+ a31r 43
+ a61r
6
} +
+ω u a u
{ r + a r + a r
} +
A
ω10
A T T A T A T GA
21 i 20 3 32 32 43 62 6

194 Ştefan Staicu 8
A
+ v 32
u a
T
i
A T T T GA
54 i 50 3 65 6
T
30
+ω u A T T
a u
a r + ω u a u
r
u A T T T GA
+ω u
a u
a r +
3
GA
65 i 60 3 6
43 i 40 3 64 6
= u T
i
G
r
0
( i = 1,2,3) .
A A A A A A
Ces relations fournissent les vitesses relatives ω
10
, ω
21
, v 32
, ω
43
, ω
54
, ω
65
en
fonction de la vitesse du centre G et des composantes α 1
, α 2
, α 3
de la vitesse
angulaire de la plate-forme. Des expressions semblables s’obtiendront si l’on va
parcourir les autres cycles indépendants. Exprimé par les relations (15), le Jacobian
du mécanisme est un élément essentiel pour l’analyse de l’espace de travail du
manipulateur.
Fig. 3 – Force
A
f 32
de l’actionneur A.
Fig. 4 – Force
B
f 32
de l’actionneur B.
Supposons maintenant que le manipulateur est mis en mouvement virtuel
Av Bv Cv
Dv Ev
Fv
déterminé par les vitesses v
32 a
= 1,
v32a
= 0, v32a
= 0, v32a
= 0, v32a
= 0, v32a
= 0 .
Des vitesses virtuelles caractéristiques exprimées en fonction de la position du
manipulateur sont fournies par certaines conditions de connectivité des vitesses
relatives des six jambes:
T T Av T T
v T T Av Av GA T T Gv
u a ω = u a ω , u a { v +ω r } = u a v
. (16)
i 60 60a i a
i 60 60a 60a 6 i a
Bv Cv Dv Ev Fv
Faisant successivement v32b = 1, v32c = 1, v32d = 1, v32e = 1, v32
f
= 1 , nous aurons
d’autres relations de compatibilité des vitesses virtuelles.
A A A A A A
Concernant les accélérations relatives ε10 , ε21, γ32, ε43, ε54,
ε
65 du
robot, celles-ci sont données par les relations de connectivité suivantes
A T T
ε u a u
A
+ ε u T a T u
A
+ ε u T a T u
A
+ ε u T a T u +
10 i 10 3
21 i 20 3
43 i 40 3
54 i 50 3

9 Modèle matriciel en dynamique du robot parallèle Stewart-Gough 195
A T T T T T T T T T
+ε
65uau i 60 3
= ui
{ α 1au 1 1
+α
2aau 1 2 2
+α
3aaau
1 2 3 3
+
T T T T T T T T
+α1α
2auau
1 1 2 2
+αα
2 3aauau
1 2 2 3 3
+αα
3 1auaau
1 1 2 3 3
−
A A T T A A T T A A T T
−ω10ω21a10u3 a21u3 −ω10ω43a10u3 a41u3 −ω10ω54a10u3 a51u3
−
A T T
A A T T
−ω10ω65a10u
3a61u
A A T T
3
−ω21ω43a20u 3a42u3
−ω21ω
A 54a20u
3a52u3
−
A T T
A A T T
−ω21ω65a20u 3a62u3
− ω43ω
A 54a40u
3a54u3
−
A T T
A A T T
−ω43ω65a40u
3a64u3
−ω54ω
A }
65a50u 3a65u3 ,
A T T T A T A T GA
ε10
u i
a10u
3{ a21r 32
+ a31r 43
+ a61r
6
} +
T T T T
+ε A 21u 20 3{ A A GA
i
a u
r 32
+ a32r 43
+ a62r
6
} +
A T T A T T T GA
+γ
32u i
a30u
3
+ε
43u i
a40u
3a64r
6
+
A T T T GA
+ε
54
u A T T GA
i
a50u 3a65r6
+ ε65u i
a60u3r
T
6 = u
i
r G
0
−
T T T T T
−ω A 10ω A 10u 10 3 3{ A A GA
i
a u
u a21r 32
+ a31r 43
+ a61r
6
} −
T T T T
−ω A 21ω A 21u 20 3 3{ A A GA
i
a u
u r 32
+ a32r 43
+ a62r
6
} −
A A T T T GA
A A T T T GA
−ω43ω43ui
a40u 3u3a64r6
− ω54ω54ui
a50u 3u3a65r6
−
(17)
A A T T GA
−ω65ω65ui
a60u
3u3r6
−
T T T T T
−ωω 2 A A 10 21u 10 3 21 3{ A A GA
i
a u a u
r 32
+ a32r 43
+ a62r
6
} −
T T T T
2 A A GA
T T T
− ω10ω54ui
a10ua 3 51ua 3 65r6
− 2ω A 10ω
A 65u GA
i
a10ua 3 61ur
3 6
−
T T T T
2 A A GA
T T T
− ω21ω43ui
a20ua 3 42ua 3 64r6
− 2ω A 21ω
A 54u GA
i
a20ua 3 52ur
3 6
−
T T T
2 A A GA
T T T T
− ω21ω65ui
a20ua 3 62ur
3 6
− 2ω A 43ω
A 54u GA
i
a40ua 3 54ua
3 65r6
−
T T T
2 A A GA
T T T
− ω43ω65ui
a40ua 3 64ur
3 6
− 2ω A 54ω
A 65u GA
i
a50ua 3 65ur
3 6
−
T T T
2 A A T T T
−ω10v32ui
a10u 3a31u3
−2ω
A 21v A 32ui
a20u 3a32u3
.
A
Les accélérations angulaires ε A
k 0
et les accélérations γ k 0
des centres de
articulations seront données par les dérivées des relations de récurrence (13) et (14)

196 Ştefan Staicu 10
ε = a ε +ε u +ω a ω
a u
A A A A A T
k0 kk , −1 k−1,0 kk , −1 3 kk , −1 kk , −1 k−1,0 kk , −1 3
ω ω +ε = a ( ω ω +ε ) a +
A A A A A A T
k0 k0 k0 k, k−1 k−1,0 k−1,0 k−1,0 k, k−1
+ω ω uu + ε u + 2ω a ω
a u
A A A A A T
kk , −1 kk , −1 3 3 kk , −1 3 kk , −1 kk , −1 k−1,0 kk , −1 3
A
A A A A A
γ
k0 = ak, k−1γk−1,0 + ak, k−1( ω k−1,0ω
k−1.0 +ε k− 1,0
) rk, k−1
+
A A A T
+γ
kk , −1u3 + 2vkk , −1 akk , −1ω
k−1,0 akk
, −1u3
A
γ
σσ− , 1
= 0 ( σ= 1, 2, 4, 5, 6).
(18)
Les relations (15) et (17) représentent le modèle cinématique du manipulateur
parallèle Stewart-Gough.
3. ÉQUATIONS DYNAMIQUES DU MOUVEMENT
A B C D E F
Dirigées suivant les axes Az 3 3
, Bz 3 3
, Cz 3 3
, Dz 3 3
, Ez 3 3
, Fz 3 3
, six forces
délivrées par six systèmes hydrauliques ou pneumatiques indépendantes
A A
,
B B
f32 = f32u
,
C C
3
f32 = f32u
,
D D
3
f32 = f32u
,
E E
F F
3
f32 = f32 u f
3 32
= f32u3
and f ,
32
= f32u3 peuvent contrôler le mouvement du manipulateur. La force d’inertie et le moment
résultant des forces d’inertie appliquées sur le corpsT k
sont calculés en le pôle A
k
.
D’autre part, l’intervention du poids m A k
g de ce solide et des différentes forces
*
extérieures et intérieures, sera évaluée par les vecteurs f k
m du torseur de ces
actions.
* ,
k
C
D
Fig. 5 – Force f
32
de l’actionneur C. Fig. 6 – Force f
32
de l’actionneur D.
En connaissant la position, la variation de la vitesse et de l’accélération de
chaque articulation, dans les conditions d’un mouvement prescrit, ainsi que les

11 Modèle matriciel en dynamique du robot parallèle Stewart-Gough 197
forces et les moments exercés sur chacun des corps du manipulateur il est possible
calculer les forces requises aux actionneurs. Pour obtenir ces forces, trois
différentes méthodes mènent aux même résultats: une première méthode utilise
l’approche classique de Newton-Euler, une seconde applique le formalisme des
équations et des multiplicateurs de Lagrange et une troisième est basée sur le
principe des travaux virtuels. Certaines relations récursives vectorielles concernant
l’équilibre des forces généralisées agissant sur le bras d’un manipulateur sériel ont
été obtenues par Kane et Levinson [15].
Dans le cadre d’un problème inverse de dynamique, l’article présent suivit la
méthode basée sur le principe des travaux virtuels et détermine la variation des
forces actives des six actionneurs pendant la duré de fonctionnement du robot.
Conformément au principe des travaux virtuels, la condition d’équilibre dynamique
du mécanisme est celle que le travail virtuel des forces extérieures et intérieures
ainsi que celui des forces d’inertie, développé au cours d’un déplacement virtuel
général compatible aux liaisons, serait égal à zéro.
En appliquant le modèle dynamique inverse exprimé par les équations
fondamentales de la dynamique des robots parallèles obtenues sous une forme
matricielle compacte par Ştefan Staicu [28], nous aurons une formule exacte de la
A
force motrice f 32
appliquée par le premier actionneur
A T
f 32
= u A
3
[ F
+ Av A
3
ω 65 a
M 6
+
Av A Av A Av A Av A
+ω
10aM1 +ω
21aM2 +ω
43aM4 +ω
54aM5
+
Bv B Bv B Bv B Bv B
+ω
10aM1 +ω
21aM2 +ω
43aM4 +ω
54aM5
+
Cv C Cv C Cv C Cv C
+ω
10aM1 +ω
21aM2 +ω
43aM4 +ω
54aM5
+
(19)
Dv D Dv D Dv D Dv D
+ω
10aM1 +ω
21aM2 +ω
43aM4 +ω
54aM5
+
Ev E Ev E Ev E Ev E
+ω
10aM1 +ω
21aM2 +ω
43aM4 +ω
54aM5
+
+ω Fv M F +ω Fv M F +ω Fv M F +ω
Fv M
F ,
avec les notations
A A A
Fk
0
= m
k
[ γ
k 0
+
A A
M
k 0
= m
CA A
k
r~k γ k 0
]
10a 1 21a 2 43a 4 54a
5
A A
ω ω
k 0
+ ε
k 0
) r CA
A
k
] − 9.81 mk
ak
0
u 3
,
A
ε A
k
+ ω ˆ A
A
k 0
J
k
ωk0
− 9.81 m
CA
k
r~k ak 0
u 3
,
+
T A
, (20)
A
(
k 0
Ĵ
0
+ A
k
A
F k
=
A
Fk
0
a
k + 1, k
Fk
+ 1

198 Ştefan Staicu 12
A
M k
=
A
M
k 0
+ a T k + 1, k
~
A
M
k + 1
+ r A k + 1,
k
T
a
k + 1, k
A
Fk
+ 1
( k = 1,2,3,4,5,6).
Les relations (19), (20) représentent justement le modèle dynamique inverse
du robot parallèle Stewart-Gough. Des expressions semblables s’obtiennent
facilement pour les autres forces de commande du manipulateur.
E
F
Fig. 7 – Force f
32
de l’actionneur E. Fig. 8 – Force f
32
de l’actionneur F.
À titre d’application nous allons considérer un manipulateur ayant les
caractéristiques suivantes
G*
G*
G*
x 0.02 m, y 0. 04 m, z 0. 06 m
0
=
* π
α
1
= ,
90
0
=
* π
α
2
= ,
45
0
=
* π
α
3
= , ∆ t = 3 s
30
l = OA 2.80 m, l = A A 0. 20 m
0 1
=
1 2 3
=
l = 2.70
2
m, l
3
= 2. 80 m, l = 2. 4
80 m
m = 2.5 1
kg, m = 2
20 kg, m
3
= 10 kg
m = 2.5 kg, 5
4
m
5
= kg m
6
= 100 kg
⎡0.2
⎤
J
⎢
⎥
ˆ1
=
⎢
0.1 ,
⎥
⎢⎣
0.1⎥⎦
⎡5
⎤
J
⎢ ⎥
ˆ2
=
⎢
30 ,
⎥
⎢⎣
30⎥⎦
J
ˆ3
⎡20
=
⎢
⎢
⎢⎣
20
⎤
⎥
⎥
5⎥⎦

13 Modèle matriciel en dynamique du robot parallèle Stewart-Gough 199
J ˆ = Jˆ
,
4
1
⎡2
⎤
J
⎢ ⎥
ˆ5
=
⎢
1 ,
⎥
⎢⎣
2⎥⎦
⎡300
⎤
J
⎢
⎥
ˆ6
=
⎢
300 .
⎥
⎢⎣
600⎥⎦
Les diagrammes représentés dans un programme écrit en MATLAB donnent
A
B
C
D
la variation des forces motrices f 32
(Fig. 3), f 32
(Fig. 4), f 32
(Fig. 5), f 32
(Fig.
E
F
6), f 32
(Fig. 7), f 32
(Fig. 8) des six actionneurs.
4. CONCLUSIONS
1. Dans le cadre de l’analyse cinématique inverse, cet article établit des
relations exactes pour la position, la vitesse et l’accélération en temps réel de
chacun des éléments du manipulateur Stewart-Gough.
2. La méthode Newton Euler mène à un système de nombreuses équations où
les forces de liaison des articulations se retrouveraient parmi les inconnues du
problème. D’autre part, l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange introduit des
inconnues supplémentaires et rend les calculs être assez longs et fastidieux.
3. La nouvelle approche basée sur le principe des travaux virtuels peut
facilement éliminer les réactions des contraintes et établit une détermination directe
et récursive des forces motrices. Les relations matricielles itératives (19), (20) du
modèle théorique de simulation dynamique peuvent rapidement devenir des
équations nécessaires au contrôle automatique du mouvement du manipulateur.
Reçu le 26 Juin 2008
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