Chapitre 1 Introduction : Contexte et Motivations

Chapitre 1
Introduction : Contexte et
Motivations
Les destabilisations des pentes naturelles, de même que les milieux granulaires idéaux,
sont des objets complexes par la nature des interactions qui dominent leur comportement.
Dans ce chapitre introductif, nous nous proposons de présenter leur spécificités tout en
établissant les termes de notre problématique : utiliser les milieux granulaires modèles
pour mieux comprendre le comportement des matériaux réels. Différents aspects de l’observation
et de la modélisation des destabilisations de pente et des écoulements de débris
subséquents sont rappelés. Nous introduisons ensuite quelques aspects du comportement
des milieux granulaires modèles, en motivant l’emploi d’une modélisatipn granulaire dans
l’étude des mécanismes de destabilisation de pente.
1.1 Contexte géophysique
1.1.1 Destabilisation de pentes et avalanches de débris
Le terme d’avalanche de débris ne désigne pas un évènement précis, dont l’invariance
des causes qui le produisent et la constance du comportement permettraient de caractériser
de façon univoque. À l’inverse, il s’agit d’une terminologie regroupant un vaste ensemble
de phénomènes, pour lesquels il est difficile de produire des définitions à la fois simples
et exhaustives. Les avalanches de débris résultent de la mise en mouvement brutale d’une
masse de matériaux non-consolidés, c’est-à-dire ayant perdu leur cohésion, en réponse à
l’attraction gravitationelle. Comme il apparait dans la définition proposée par Cruden
(1991) [23] : « le mouvement d’une masse de roches, débris ou terre le long d’une pente »,
ils impliquent des matériaux divers, allant du bloc rocheux aux particules d’argile. Ils

10 Introduction : Contexte et Motivations
Fig. 1.1 – Pente du glissement de Hope, British Columbia, qui vit la
mise en mouvement soudaine de 46 millions de mètres cube de débris
rocheux en 1965 (photo : Ministry of Environment, Lands and Parks of
B. C.).
peuvent de plus incorporer une phase fluide, généralement sous la forme de boues plus ou
moins visqueuses. Singulariser les processus physiques en œuvre dans les destabilisations
et les écoulements, en particulier le rôle des interactions entre les éléments de la phase
solide, est donc une tâche difficile. Elle constitue cependant un élément important de la
compréhension de l’imprévisibilité des destabilisations de terrain et de la grande mobilité
des écoulements, qui en font des évènements souvents catastrophiques.
Dans un premier temps, il convient d’isoler les mécanismes qui régissent la perte de
cohésion et la destabilisation des terrains à l’origine des écoulements [128]. Les conditions
climatiques jouent souvent un rôle important. Ainsi, la succession de périodes de gel et de
dégel peut amener à la fragmentation des roches et des terrains et induire une perte de
cohésion progressive du sol (Figure 1.3). Fréquemment, la présence d’eau due à de fortes
précipitations est responsable de la décohésion du matériau : en réponse à l’augmentation
de la pression de pore, la résistance globale du sol diminue, et éventuellement subit une
liquéfaction. Ainsi, les écoulements catastrophiques qui ont affecté la ville de Caracas, Venezuela,
en 1999, coïncidaient avec une période d’importantes précipitations. Le contexte
de déclenchement peut également impliquer des déformations tectoniques locales, ou encore
des secousses sismiques (ainsi lors de la catastrophe de Hope, Figure 1.1). Dans un
deuxième temps, l’étude de l’écoulement subséquent consiste en une description précise

1.1 Contexte géophysique 11
Type Material Water Content Rate
Fall
Topple
Slide
Spread
Flow
Rock
Soil
Earth
Debris
Dry
Moist
Wet
Very Wet
Very Rapid
Rapid
Moderate
Slow
Very Slow
Fig. 1.2 – Classification des mouvements de terrains, d’après Cruden et Varnes
(1996) [24].
des matériaux écoulés, des volumes mis en jeu, des distances parcourues.
La classification des différentes formes de destabilisations de pentes et d’écoulements
de débris procède d’une volonté de développer un champ lexical propre qui en facilite
l’étude. Cette démarche a été menée notamment par Varnes et poursuivie par Cruden
et Varnes [24] afin de constituer un glossaire qui permette la dénomination précise
et univoque des phénomènes. Ces auteurs distinguent la nature du « premier mouvement
» (déclenchement) et du « second mouvement » (écoulement), et proposent de les
répertorier suivant leur rapidité, leur contenance en eau, la nature de la phase solide
impliquée. Ces différents attributs sont reproduits dans le tableau 1.2. Cependant, cette
démarche taxinomique n’apporte pas nécessairement une interprétation claire en termes
de mécanismes physiques impliqués.
1.1.2 Observation et interprétation
L’étude des avalanches de débris souffre de la grande difficulté à collecter des données
sur leur déclenchement et sur leur développement. Cette difficulté provient à la fois de
leur imprévisibilité et de leur extrême rapidité. Les techniques d’imagerie radar et d’autocorrélation
d’images qui permettent de surveiller les déformations lentes (i.e. impliquant
des vitesses de l’ordre du mètre par an) de massifs dangereux sont parfaitement inapplicables
aux cas de déformations rapides. De plus, les avalanches de débris possèdent
un pouvoir de destruction tel que l’instrumentation de pentes instables ou de couloirs
d’avalanche identifiés est délicate. L’intérêt d’avoir des données en temps réel des pentes
dangereuses est pourtant majeur, d’une part dans un but de surveillance, et d’autre part
pour mieux connaître les processus physiques en œuvre. Dans cette perspective, il est
possible d’équiper les pentes de capteurs hydrométriques et de capteurs de pression qui

12 Introduction : Contexte et Motivations
Fig. 1.3 – Pente rocheuse fragmentée par gélifraction, Bassin and
Range, U.S.A. (photo F. Métivier)
permettent de contrôler à tout instant la valeur de la pression de pore dans les terrains
considérés [105]. Lorsque sa valeur devient trop importante en regard de la pression
lithostatique, la destabilisation des terrains devient probable. L’utilisation de capteurs
suppose néanmoins que la pente ait été identifiée au préalable comme dangereuse. Or,
dans la majorité des cas, la perte de stabilité survient sur des pentes non préalablement
identifiées. La collection de nouvelles données est envisageable par l’installation de réseaux
sismiques haute fréquence (50 à 250 Hz), qui permettraient de suivre le déclenchement et
le déroulement des destabilisations de terrains [63]. La présence d’un réseau suffisamment
dense fournirait ainsi des données sur les phénomènes sans besoin de préjuger du lieu et
de l’instant de l’évènement. Cela permettrait en outre de constituer un réseau d’alerte
dans les régions sensibles. L’utilisation de ce type d’instruments est cependant encore
marginale.
En raison de cette difficulté à instrumenter les destabilisations de pentes en temps
réel, l’essentiel des données disponibles provient de l’étude in-situ des dépôts laissés par
le passage des débris. Elles permettent en premier lieu une description de la région de
rupture : taille de la zone de déplétion, volume initial mobilisé, taille de l’escarpement.
Ensuite, l’extension géométrique des dépôts, les longueurs parcourues, l’existence ou non
de levées, et l’analyse fine des matériaux mis en jeu et du grano-classement permettent de
caractériser l’écoulement lui-même. L’interprétation de ces données en termes de mobilité
des écoulements est cependant problématique. Il s’agit d’identifier les mécanismes qui

1.1 Contexte géophysique 13
Fig. 1.4 – Exemple de dépôt laissé par une avalanche de débris (photo de Ansel
Adams, U.S.A.).
transforment l’énergie potentielle d’une masse en énergie cinétique et en énergie dissipée
par les interactions entre les débris et éventuellement le fluide intersticiel. Une formulation
à l’ordre 0 de ce problème est obtenue en équilibrant l’énergie potentielle du centre de
masse de l’écoulement avec le travail des forces dissipatives sur la longueur parcourue :
MgH = MgRL, (1.1)
où M est la masse des matériaux écoulés, g est l’accélération de la gravité, H et L sont
respectivement les extensions verticale et horizontale de l’écoulement. Le terme R est un
coefficient qui rend compte de la dissipation à la base et dans le volume de l’écoulement ; il
correpond à un coefficient de frottement de Coulomb effectif. Transformant l’équation 1.1,
on peut écrire :
1
R = L H .
Il est donc possible d’évaluer la mobilité ou efficacité des écoulements en collectant les
valeurs de L et de H. Pratiquement, les valeurs de L/H varient de 2 à 25 [25]. Elles
montrent que la mobilité des écoulements est accrue par la présence d’eau. L’importance
des volumes mis en jeu est aussi un facteur de plus grande mobilité. Cependant, aucune

14 Introduction : Contexte et Motivations
corrélation claire entre les valeurs de L/H = 1/R et les valeurs des volumes écoulés n’est
confirmée [25, 16]. Une autre formulation possible tient compte de la surface et du volume
occuppés par les dépôts et non seulement la longueur parcourue. De façon générale, ce type
d’analyse souffre des incertitudes sur les valeurs mesurées des longueurs parcourues, surfaces
ou volumes occupés, en particulier dans le cas d’écoulements anciens. Il est également
difficile d’évaluer a posteriori la proportion de fluide dans les débris lors de l’écoulement.
Les données géométriques sur la forme des dépôts peuvent donc être assez difficile à interpréter.
Différents mécanismes de lubrification ont été proposés qui expliqueraient le
comportement mobile des débris : influence de l’air piégé dans l’écoulement, présence de
particules très fines, pression de pore générée par l’échauffement des matériaux [124]. Aucune
de ces propositions, à ce jour, ne s’est confirmée comme processus fondamental de
la dynamique des écoulements [116].
1.2 Modélisation physique des écoulements gravitaires
La nécessité de parvenir à une modélisation physique des écoulements de débris qui
permette la prédiction des ruptures de pentes et qui puisse fournir une estimation acceptable
des longueurs parcourues par les écoulements réside en particulier dans la protection
des populations et des édifices civils exposés. La conception de modèles physiques pour
décrire des systèmes aussi complexes va supposer l’adoption d’hypothèses sur le comportement
des matériaux qui vont dépendre d’un compromis entre réalisme et simplicité. La
phase de déclenchement ou de rupture de pente est classiquement appréhendée dans le
cadre de la mécanique des sols, tandis que la phase dynamique d’écoulement est abordée
avec les outils de l’hydrodynamique.
1.2.1 L’analyse de stabilité
Les problèmes de stabilité de pente sont classiquement abordés dans le cadre de la
théorie de la plasticité. Lorsque le sol est soumis à des contraintes suffisamment faibles,
la déformation résultante, petite, est élastique. Quand la contrainte dépasse un certain
seuil, des déformations irréversibles apparaissent et le matériau entre dans un régime de
déformation plastique (voir Figure 1.5). Ces déformations vont mener à la rupture, soit
suivant un plan unique, soit par coalescence de ruptures plus petites. Les déformations
du milieu sont représentées par un tenseur de déformation ɛ, les contraintes qui lui sont
appliquées par un tenseur σ. La réponse en déformation à l’application de contrainte σ
dépendent de la rhéologie du matériau. Cette rhéologie est contenue dans le tenseur élastoplastique
constitutif C. Les déformations sont alors reliées aux contraintes appliquées par
la relation :
ɛ = Cσ.

1.2 Modélisation physique des écoulements gravitaires 15
F
F y
k u
F y
u p u e u
Fig. 1.5 – Modèle rhéologique « patin-ressort » de l’élasto-plasticité parfaite. On
peut séparer le déplacement élastique u e du déplacement plastique u p . Ce dernier
n’est possible que si la force appliquée au patin a atteint une valeur seuil F y .
La stabilité du matériau est définie par la valeur de la déformation incrémentale dɛ
résultant de l’application d’un incrément de contrainte dσ [31]. Le critère de stabilité de
Lyapounov impose ainsi que pour un incrément de contrainte borné dσ < γ, le matériau
est dans un état stable si la déformation résultante est elle-même bornée : dɛ < η(γ). À
l’inverse, si la valeur de la déformation résultante diverge, le matériau a dépassé la limite
de stabilité.
Pour déterminer l’espace des contraintes correspondant à un état stable, le critère
conventionnel est celui de Mohr-Coulomb, qui caractérise l’état de plastification du sol
en un point donné. Ce critère est obtenu en traçant la courbe de la valeur maximum
du déviateur des contraintes (qui quantifie l’importance des contraintes de cisaillement)
atteinte avant la rupture en fonction de la contrainte moyenne appliquée. Elle peut être
approximée par une droite dont les paramètres sont la cohésion c et l’angle de frottement
interne ϕ du sol, et détermine la limite de plasticité au-delà de laquelle la rupture se
produit : c’est une droite tangente au cercle de Mohr (Figure 1.6). Sur cette frontière, les
contraintes normale et tangentielle σ n et τ sont reliées par la relation :
τ = c + σ n tan(ϕ),
ou encore τ = c + σ n µ c , où µ c est le coefficient de frottement du matériau défini par
µ c = tan(ϕ). Généralement, la contrainte considérée est une contrainte effective, qui
prend en compte la présence d’un fluide intersticiel sous la forme d’une pression de pore
p 0 . Il faut donc écrire :
τ = c + (σ n − p 0 ) tan(ϕ).
Lorsque la pression de pore augmente, la résistance du matériau diminue. Dans le cas
extrême où p 0 = σ n , seule la cohésion c du matériau assure la résistance du sol.
Dans le cas idéal d’un comportement plastique associé parfait, le tenseur élastoplastique
possède les symétries C ijkl = C jikl = C jilk et C ijkl = C klij . Le mode de rup-

16 Introduction : Contexte et Motivations
τ
τ = µ . σn + c
ϕ
σ n
Fig. 1.6 – Cercle de Mohr : le cercle représente l’ensemble des états de
contrainte (τ, σ v ) stables, et la droite τ = µ σ n + c (ici c=0) représente
la limite de plasticité. L’angle ϕ est l’angle de frottement interne du
matériau.
ture est homogène et aura lieu pour une valeur particulière de la pente : lorsque son
inclinaison atteind l’angle de frottement interne ϕ du matériau. Dans la plupart des cas,
le mode de déformation plastique ne reste pas homogène mais bifurque vers un mode
de déformation localisée [106]. On peut alors supposer a priori une surface de rupture
plane ou circulaire de la pente considérée. Le long de cette interface, le critère de Mohr-
Coulomb est également appliqué. Dans ces deux cas, la stabilité de la pente répond au
critère de stabilité de Mohr-Coulomb, autrement dit, la perte de stabilité coïncide avec la
limite de plasticité. Cependant, cette analyse conventionelle est souvent mise en défaut,
par exemple dans le cas de ruptures de pentes d’inclinaison très faibles [30]. La raison en
est que la plupart des sols montrent un comportement plastique non associé, c’est-à-dire
que le tenseur élasto-plastique ne possède pas la symétrie majeure C ijkl = C klij . Pour ces
matériaux, des instabilités apparaissent avant la limite plastique supposée. Dès lors, l’analyse
de Coulomb ne peut plus rendre compte de la chute de résistance du matériau. Cette
chute de résistance peut résulter de phénomènes de liquéfaction, et la stabilité dépend
alors fortement des conditions de drainage des sols. Une seconde cause à la chute de
résistance réside dans la localisation des déformations de cisaillement. Ce comportement
apparait par exemple dans le cas de la compression axisymétrique d’échantillons de sable
(Figure 1.7). L’apparition des instabilités est liée au fait que les matériaux non-associés
subissent d’importantes variations de leur volume, en dilation ou à l’inverse en compaction.
Ainsi, l’apparition de bandes de cisaillement s’accompagnent d’une augmentation du
volume du matériau cisaillé [62].
Dans le cas des matériaux non-associés, pour lesquelles le critère de plasticité de Cou-

1.2 Modélisation physique des écoulements gravitaires 17
8
effective stress ratio
6
4
2
0
0.00 0.05 0.10 0.15
axial strain
Fig. 1.7 – Réponse contrainte-déformation typique d’un sable dense soumis
à une compression biaxiale.
lomb ne s’applique pas, l’analyse de stabilité repose sur la définition de critères de stabilité
adéquats. Le critère de stabilité de Hill constitue un exemple classique. Il repose sur le
signe du travail du second ordre D 2 W , et commande pour un état stable de contrainte
et de déformation la condition : D 2 W = dσ : dɛ > 0, où dσ et dɛ sont les incréments
de contrainte et de déformation. Son application permet de rendre compte d’états localements
instables [31]. Mais la façon dont une instabilité locale perturbe la stabilité globale
d’une pente n’est pas un problème simple. La compréhension des conditions d’apparition
des bandes de cisaillement en réponse aux contraintes déviatoriques est également
un aspect important de l’analyse de stabilité. L’étude des caractéristiques des bandes de
cisaillement pour différents matériaux a montré l’influence de la forme des grains, par
exemple leur taille et leur angularité, sur la localisation des déformations. L’objectif est
de dégager à terme les variables « microscopiques » (relatives à la nature des sols) qui
déterminent la localisation des déformations à plus grande échelle. Dans cette perspective,
l’utilisation de milieux granulaires simples est d’un grand intérêt [126].
1.2.2 Les modèles hydrauliques
L’approximation continue des écoulements mettant en jeu des blocs rocheux, des
sables ou graviers, repose essentiellement sur l’analogie qui existe entre les milieux granulaires
et les gaz. En effet, dans un régime d’écoulement rapide et dilué, la vitesse de chaque
grain peut être décomposée en un terme moyen et un terme fluctuant. Ce dernier terme

18 Introduction : Contexte et Motivations
est essentiellement déterminé par les collisions entre les particules s’écoulant. Il peut être
comparé à l’agitation thermique des molécules dans un gaz, si bien que la moyenne quadratique
de ce terme est communément appelée température granulaire [87]. Le formalisme
de la théorie cinétique des gaz peut alors être adapté aux écoulements granulaires. Cependant,
contrairement aux molécules d’un gaz, les particules dans un écoulement subissent
des collisions inélastiques dont le résultat est de dissiper très vite l’énergie du système.
La température granulaire est donc fortement couplée à la dynamique du milieu [16, 5].
Dans le cas d’écoulements très agités et en régime collisionnel, la théorie cinétique permet
de rendre compte du comportement des systèmes. Son application est cependant plus
problématique dans le cadre des écoulements denses [17].
Dans un écoulement dense, la restitution aux chocs est très faible et le temps de
contact entre les grains est long en regard de leur libre parcours moyen. De ce fait,
l’écoulement est essentiellement dominé par des interactions de frottement. De tels écoulements
sont décrits par les modèles hydrauliques. L’écriture des équations de conservation
de la masse et du moment permet de résoudre les champs de vitesses et de densité sous
réserve d’un certain nombre d’hypothèses. Ils constituent suivant Iverson [51] l’outil pratique
le plus sophistiqué pour la prévision des extensions des écoulements de débris et
des limites d’inondation. Une littérature abondante permettra au lecteur d’approfondir le
sujet [50, 51, 17] ; nous nous limitons ici à la présentation des modèles hydrauliques dits
d’ondes longues.
Les modèles hydrauliques ignorent l’aspect multiphasique des écoulements et postulent
un milieu équivalent homogène. Ils intègrent donc de façon rudimentaire les phénomènes
de couplage solide-solide ou solide-fluide. La rhéologie du matériau et le mode de
dissipation de l’énergie sont décrites par des lois phénoménologiques dont l’élaboration
et le choix ne sont pas triviaux [18]. Par ailleurs, le trait principal des modèles hydrauliques
étant de moyenner les équations du mouvement sur la hauteur de l’écoulement, ils
ignorent une partie de la dynamique des systèmes réels. Ces approximations correspondent
à un cadre d’application désigné par le terme d’écoulement dense en couche mince. Ces
méthodes ont été mises en œuvre initialement pour résoudre les problèmes dits d’ondes
longues afin de reproduire la dynamique des vagues de longueur d’onde grande devant la
profondeur du fluide où elles se propagent, soit typiquement les phénomènes de vagues solitaires
et de houle côtière. Dans ce cas, la dynamique est résolue pour un fond horizontal,
ou du moins pouvant être approximé comme tel. Dans la modélisation des écoulements de
débris, la dynamique est résolue le long d’un plan incliné. Les équations de la dynamique
obtenues pour ce cas de figure sont connues sous le nom d’équations de Saint-Venant, et
diffèrent du cas précédent notamment par l’expression des contraintes [108, 73, 83].
En pratique, il s’agit de décrire la dynamique de systèmes dont l’épaisseur est négligeable
en regard de l’extension latérale, fait avéré par l’observation des écoulements réels.
Si on note respectivement h et l ces deux longueurs, le rapport d’aspect ɛ = h/l sera

1.2 Modélisation physique des écoulements gravitaires 19
très petit devant 1. Dès lors, il est possible de négliger une partie des termes dans les
équations de continuité. L’hypothèse est également faite que la vitesse parallèle à la surface
de l’écoulement u est très grande devant la vitesse normale à la surface d’écoulement
w. En utilisant ces arguments, il est possible d’ignorer les gradients de contrainte dans le
sens de l’écoulement. Cependant, dans ce cas, ce dernier est uniforme et la modélisation
d’instabilités de surface (surge en anglais) devient impossible [108].
Il est de plus nécessaire d’adopter un modèle constitutif qui décrive le comportement
mécanique du matériau. En particulier, la dissipation d’énergie dans le volume et à la
base de l’écoulement doit être prise en compte. Dans le cas d’équations intégrées sur la
hauteur de l’écoulement, cette dissipation apparaît sous la forme d’un frottement basal
effectif de type coulombien, qui contrôle notamment la mise en mouvement et l’arrêt de
la masse modélisée. Elle suppose que l’écoulement se fait par glissement sur une très fine
couche où se localiserait tout le cisaillement et donc la dissipation. Un choix classique est
la loi de frottement sec de Coulomb [108] :
F = ±g cos(θ) tan(ϕ),
où ϕ est appelé angle de frottement dynamique et dépend de la nature du matériau
utilisé. En revanche, les caractéristiques de l’écoulement (vitesse, épaisseur) ne sont pas
prises en compte. L’étude systématique d’écoulements granulaires stationnaires uniformes
(Pouliquen [94]) a permis la formulation d’une loi de frottement plus complète :
(
µ = tan ϕ 1 + (tan ϕ 2 − tan ϕ 1 ) exp − h D
√ ) gh
.
||u||
Cette loi intègre à la fois les caractéristiques de l’écoulement (la hauteur h, la vitesse u)
et celles du matériau granulaire (taille typique des grains D, les angles ϕ 1 et ϕ 2 liés au
démarrage et à l’arrêt de l’écoulement).
De façon générale, les modèles hydrauliques reproduisent avec succès le comportement
des écoulements. Ils ont été adaptés à des topologies plus complexes que le plan incliné et
ont pu être avantageusement comparés à des résultats expérimentaux [50, 95]. Cependant,
des incertitudes persistent quant aux lois de comportement du matériau (frottement et
rhéologie), qui constituent la distinction principale entre les différents modèles [18]. Or
l’influence de ces paramètres est grande sur la prédiction des distances parcourues, de la
forme des dépôts, et de la capacité des écoulements à dépasser des obstacles (barrages,
digues...). L’amélioration des modèles repose donc en grande partie sur la progression de
notre compréhension des phénomènes physiques à la base du comportement des mélanges
de débris.

20 Introduction : Contexte et Motivations
1.3 L’approche granulaire
1.3.1 Motivation
Qu’il s’agisse des pentes ou des écoulements, les modèles physiques que nous avons
présentés ont en commun de postuler un milieu continu équivalent. Or, une caractéristique
importante des sols ou débris, qu’ils soient à l’équilibre, menacés de rompre ou encore qu’ils
s’écoulent le long d’une pente, est leur nature discrète, ou encore granulaire. Ici, l’adjectif
granulaire désigne tout corps solide ou toute collection de corps solides dont le mouvement
brownien est négligeable devant l’attraction de la gravité (soit typiquement les particules
de diamètre supérieur à ≃ 1µm). La nature granulaire constitue un trait d’union important
entre les différents phénomènes de rupture et d’avalanches de débris. Le choix
de lois phénoménologiques qui rendent compte des processus induits par les interactions
multiples au sein de la phase solide discrète n’est pas triviale. De plus, la définition de
propriétés moyennes suppose le moyennage des propriétés microscopiques dans un volume
élémentaire représentatif. L’existence d’un tel volume implique une séparation d’échelle
claire entre les fluctuations microscopiques et le comportement macroscopique. Or, cette
séparation d’échelle dans une collection de grains est problématique. L’amélioration des
connaissances sur les milieux granulaires, même simples, est donc fondamentale pour
l’amélioration des modèles continus.
Les matériaux granulaires constituent un paradigme très riche pour les destabilisations
de pente et écoulements de débris. Considérons le cas très simple d’un tas de sable.
Il peut rester à l’équilibre statique en formant un angle avec l’horizontale, il peut se
déformer de façon très lente et enfin s’écouler très rapidement à la manière d’un fluide.
Ce modèle, bien qu’extrêment simple (nous considérons ici un milieu sec, non cohésif et
quasi monodisperse), permet surtout de capturer un ingrédient essentiel des phénomènes
naturels : l’interaction entre les grains et la dissipation qui en résulte. Il s’agit donc de
mieux comprendre les mécanismes qui dominent les interactions entre les grains et les
échelles de longueur qu’elles mettent en jeu, pour accéder à une meilleure compréhension
et modélisation du comportement à plus grande échelle.
Le comportement des milieux granulaires a mobilisé un important effort de recherche,
notamment en Géomorphologie, Géotechniques, Physique, et Mécanique. Ce sont des
milieux simples dans le sens qu’ils sont une collection de grains macroscopiques et dont
le comportement individuel est entièrement contenu dans les équations de la mécanique
classique. Leur comportement peut dépendre de leur taille et du milieu environnant :
des grains très petits seront sensibles aux force éléctrostatiques par exemple ; plongés
dans un liquide, leur comportement sera celui d’une suspension colloïdale. Dans le cas
idéalement simple du sable sec, les grains interagissent principalement par des interactions
de frottement. L’existence de ces interactions en font des systèmes extrêmement complexes

1.3 L’approche granulaire 21
à décrire, car ces interactions sont multiples et dissipatives. Un mélange de grains aussi
agité qu’il puisse être, finira toujours sous la forme d’un empilement à l’équilibre si aucune
énergie extérieure n’y est injectée. L’aptitude des granulaires à exister sous différents états
(solide à l’équilibre statique, liquide en écoulement, gazeux lorsque suffisamment agités)
et la difficulté à décrire la transition entre ces états, sont à l’origine de la diversité des
modèles proposés. Donner une vue exhaustive des ces modèles n’est pas notre propos ; dans
cette perspective, la lecture d’ouvrages plus généraux [38] ou d’articles de revue [103, 54]
sera profitable. Dans le cadre de cette introduction, nous illustrons les problèmes de la
stabilité et du comportement micro-mécanique des granulaires, que nous aborderons à
plusieurs reprises dans les chapitres suivants.
1.3.2 La stabilité des pentes
Le matériau de Coulomb idéal
Le comportement mécanique des matériaux granulaires vis-à-vis de la rupture peut
être abordé par la théorie de Coulomb dans la mesure où ces matériaux sont assimilables à
des matériaux idéaux de Coulomb, c’est-à-dire présentant une rhéologie de type plastique,
et pour lesquels il est possible d’écrire à la rupture la relation
τ = µ c σ n + c,
où σ n et τ sont respectivement les contraintes normale et tangentielle le long du plan
de rupture, µ c le coefficient de frottement et c la cohésion [85]. Dans la suite, nous nous
intéressons à des matériaux non-cohésifs, et la cohésion c sera prise nulle. Dans le cas de
la rupture de pente d’un matériau granulaire, c’est-à-dire de l’apparition d’un écoulement
de surface, le modèle de Coulomb offre un cadre d’analyse clair et qui, bien que constituant
une vision très simplifiée du comportement réel, permet de rendre compte de « la
phénoménologie du tas de sable ».
Le mécanisme de rupture de pente, d’avalanche et de restabilisation profite d’une
analogie avec le frottement solide de Coulomb. Supposons un plan π séparant deux blocs
solides, et formant une angle θ avec l’horizontale. Le bloc sur-jacent subit les contraintes
normale σ n et tangentielle τ le long du plan π. Tant que la limite plastique n’est pas
atteinte, τ et σ n contre-balancent la contrainte due au poids du bloc sur-jacent, et celui-ci
reste à l’équilibre. Nous avons alors
τ
σ n
= tan(θ).
En revanche, si la limite de plasticité est atteinte, les deux blocs ne peuvent plus se
maintenir à l’équilibre, et un glissement a lieu le long du plan π. Nous avons alors
τ = µ c σ n .

22 Introduction : Contexte et Motivations
Il apparait donc que tout plan d’inclinaison θ telle que tan(θ) = µ c est un plan de rupture
possible. Nous notons cette valeur particulière θ c . Elle correspond à l’angle de frottement
interne du matériau.
Dans le cas d’un tas granulaire, la rupture se fait le long de la surface libre. L’angle
θ c est donc la pente maximale que la surface libre peut atteindre avant qu’un écoulement
de surface n’apparaisse. Une fois l’écoulement de surface mis en place, la pente de la
surface libre diminue jusqu’à ce que l’écoulement se stabilise à un angle plus faible θ d .
L’existence de cet angle peut s’expliquer par la transformation des propriétés de frottement
du matériau en réponse à l’écoulement de surface. L’angle θ d peut être relié à un coefficient
de frottement dynamique µ d suivant la relation µ d = tan(θ d ), et tel que µ d < µ c . Il
reflète les propriétés de frottement du matériau à l’instant où l’avalanche cesse et le tas
se restabilise, et met en évidence le caractère hystérétique du comportement des pentes
granulaires.
Interprétation du frottement interne
L’angle de frottement interne θ c constitue une caractérisation phénoménologique des
propriétés de frottement du matériau. Il est déterminé expérimentalement grâce à des
tests de compression, et varie de 15 à 45 degrés suivant la nature des matériaux. Pour un
matériaux donné par ailleurs, θ c fluctue autour de sa valeur moyenne. Cet angle dépend
essentiellement du frottement microscopique impliqué dans les contacts entre les grains
et de l’encombrement géométrique du à leur rigidité et à leur forme [15, 93, 44]. Ainsi, la
non-sphéricité des grains va augmenter le frottement effectif et mener à des plus grandes
valeurs de θ c . Cependant, la façon dont θ c dépend de ces deux ingrédients n’est pas
entièrement comprise. De plus, des éléments supplémentaires interviennent dans la valeur
de θ c : la densité de l’empilement granulaire et donc son mode de préparation, la façon
dont il est sollicité, la nature des conditions aux limites (parois, fond rugueux)... L’angle
d’arrêt de l’avalanche θ d , en plus, dépendra des conditions de l’écoulement.
Angle de relaxation
L’intervalle angulaire δθ = θ c − θ d définit une zone dans laquelle le milieu granulaire
peut exister dans deux états : soit à l’équilibre statique, soit dynamique et s’écoulant le
long de la surface libre. Dans cet intervalle, la seule donnée de la pente θ ne permet donc
pas de définir l’état du système granulaire puisque celui-ci est hystérétique. Une analyse
de cette zone δθ a été réalisée pour des lits granulaires sur plan incliné, pour lesquelles
l’effet d’une surcharge pondérale a été étudié en fonction de l’angle d’inclination (A.
Daerr, [26]). Alors que pour un angle d’inclination inférieur à θ d le tas reste dans un
état stable quelle que soit l’importance de la surcharge, un écoulement de surface peut
être induit dans l’intervale [θ d , θ c ]. Plus l’angle d’inclination devient proche de θ c , plus

1.3 L’approche granulaire 23
petite devient la surcharge nécessaire à l’initiation d’un écoulement. Ce comportement à
permit de caractériser l’intervalle δθ = θ c −θ d comme une zone de transition sous-critique.
En utilisant nos résultats, nous montrerons comment cette zone de transition peut être
interprétée microscopiquement, c’est-à-dire en termes d’interaction à l’échelle de quelques
grains.
1.3.3 Introduction à la texture
Le comportement moyen d’une collection de particules (état des contraintes, déformation...)
est le résultat de l’interaction des particules entre elles par l’intermédiaire des
contacts. Quelle que soit la nature des contacts, le réseau géométrique qu’ils déterminent
implique une structure particulière et constitue un élément majeur de la description
des milieux granulaires. Le réseau de forces qui se développe sur la « topologie » des
contacts est très hétérogène, et confère aux empilements de grains des propriétés curieuses.
Quelques expériences réalisées avec des matériaux granulaires simples (sables,
billes de verre) sont présentées ici afin d’illustrer ces propriétés.
Le déficit de pression
L’expérience est la suivante : il s’agit de mesurer la pression à la base d’un tas conique
construit par une pluie de sable à partir d’un point source. Différents points de mesure de
pression sont disposés à la base du tas, de la verticale du sommet jusqu’à la périphérie.
On obtient donc le profil de pression sous le tas en fonction de la distance r au centre.
Intuitivement, et suivant une vision « hydrostatique » du milieu, un maximum de pression
est attendu à la verticale du sommet. C’est l’inverse qui se produit : on observe au centre
un minimum local de la pression. En revanche, si le tas de sable a été constuit non
pas à partir d’un point source mais par tamisage, le minimum de pression disparait. Ce
phénomène a été mis en évidence expérimentalement et numériquement [123, 45].
Le sablier...
Une seconde expérience, très simple, consiste à faire s’écouler une quantité de sable
contenue dans un récipient par une petite ouverture à la base, comme c’est le cas dans un
sablier. Dans la majorité des cas, l’écoulement s’arrêtera spontanément et le sable restera
piégé près de l’ouverture sans pouvoir la franchir. Une petite secousse suffit alors à rétablir
l’écoulement, pour un certain temps du moins. Ce même phénomène, transposé dans le
cas de matériaux stockés en silos, est une cause de problèmes pour bien des industries.

24 Introduction : Contexte et Motivations
Fig. 1.8 – Empilement de cylindres de Schneebeli biréfringents laissant apparaître
les chaînes de forces par une luminosité plus intense (Photo de Madani
Ammi, Laboratoire GMCM, Université de Rennes)
...Et la clepsydre
Supposons cependant que nous disposions d’un sablier qui fonctionne et d’une clepsydre,
et observons comment chacun mesure le temps. La clepsydre va commencer par se
vider très vite, visiblement beaucoup plus vite que le sablier. Mais peu à peu, la tendance
s’inverse et c’est le sablier qui semble se vider plus vite. Cette différence provient de ce
que la débit de la clepsydre obéit à la pression hydrostatique exercée par le liquide dans
le réservoir. En d’autre termes, plus de temps passe, plus le réservoir de la clepsydre se
vide, et plus il se vide lentement. Le sablier lui se vide à débit constant.
Interprétation
Une partie de l’explication des expériences ci-dessus est contenue dans la photographie
de la figure 1.8. Elle représente la section d’un empilement de cylindres de plexi-

1.3 L’approche granulaire 25
glass soumis à une compression. Les propriétés de photo-élasticité des cylindres, dont
les caractéristiques optiques dépendent du champ de contraintes auquel ils sont soumis,
permettent de visualiser qualitativement la transmission des forces dans l’empilement.
Ainsi, les forces intenses se remarquent par une luminosité importante. On constate alors
qu’elles se transmettent suivant des chemins privilégiés impliquant environ une dizaine de
cylindres, formant des « chaînes de forces ». Ces chaînes enserrent des régions où les forces
transmises sont plus faibles et subissent un écrantage. Cette hétérogénéité de la transmission
des forces est une propriété fondamentale des milieux granulaires [29, 99, 19, 38, 48].
L’existence des chaînes de forces permet d’expliquer les expériences précédentes. Dans
le premier exemple, la création du tas de sable à partir d’un point source entraîne une
anisotropie de la direction des contacts de sorte que les chaînes de forces redirigent la
contrainte de poids vers la périphérie, créant ainsi un déficit à la base. Dans le second
exemple, une chaîne semblable à une arche se crée à l’orifice du sablier et empêche le
passage des grains accumulés au-dessus. Une petite secousse et l’arche se brise, laissant le
passage libre jusqu’à ce qu’une arche se forme de nouveau. Enfin, l’existence des chaînes
de force est responsable de la redirection d’une partie des forces sur les parois du sablier :
contrairement à l’eau, le poids d’une colonne de sable n’est pas entièrement restitué dans
la direction verticale, et la pression sature à partir d’une certaine hauteur. Cet effet est
connu sous le nom d’effet Janssen [55, 90].
Cependant, lors de l’expérience du tas de sable, on a vu que le déficit de pression
disparaissait dans des conditions de préparation particulières. L’organisation des chaînes
de force, et plus généralement la texture des empilements granulaires, constitue donc une
mémoire du milieu, et dépend de l’histoire des systèmes considérés [74, 28].
1.3.4 Implications
Le comportement moyen d’un milieu granulaire n’est donc pas facile à capturer. Entre
l’échelle élémentaire donnée par la taille des grains et l’échelle macroscopique de l’assemblée
des grains, il existe une échelle intermédiaire, mésoscopique, caractéristique de la
longueur de transmission des efforts dans le milieu, et dont l’influence sur le comportement
macroscopique est majeure. L’existence de l’échelle mésoscopique met en question
la notion de volume représentatif dans les milieux granulaires et partant la validité du
moyennage. Ces problèmes sont abordés dans le cadre de la micro-mécanique [60, 46, 66].
De façon générale, le comportement moyen des milieux granulaires résulte des interactions
entre les grains le composant, de leur arrangement géométrique, de la manière dont ils
transmettent les forces. Il va donc dépendre de l’environnement moyen de chaque grain,
ou encore de la « texture » de l’empilement. En particulier, les problèmes de stabilité des
pentes et de départ d’avalanches peuvent être envisagés du point de vue de l’évolution de
la texture.

26 Introduction : Contexte et Motivations
1.4 Conclusion : problématique et objectifs de l’étude
Les destabilisations de terrains et les avalanches de débris qui en résultent mettent
en jeu une phase solide dicrète. La compréhension des mécanismes induits par les interactions
entre les éléments de cette phase solide est fondamentale pour l’amélioration des
modèles continus. Dans cette perspective, l’utilisation de matériaux granulaires idéaux
permet une modélisation minimale. Il ne s’agit certes pas de reproduire les phénomènes
réels, mais plutôt d’isoler les mécanismes physiques qui contrôlent l’évolution d’un système
multi-contact dissipatif. En particulier, l’évolution des contraintes et la mobilisation du
frottement sont des aspects importants de l’étude de la stabilité. Au cours de ce travail,
nous nous sommes intéressés à la destabilisation d’une pente granulaire, c’est-à-dire à
son évolution vers la limite de stabilité et à la mise en mouvement des couches de grains
superficielles. Nous nous sommes en particulier concentrés sur le comportement collectif
des grains. Dans cette perspective, la simulation numérique est un outil précieux car
elle permet d’observer des grandeurs inaccessibles expérimentalement. L’exposition des
méthodes mises en œuvre pour la simulation et l’analyse du comportement des massifs
granulaires, et de l’ensemble des résultats, est organisée comme suit.
La simulation numérique des sytèmes granulaires requiert l’utilisation de méthodes
qui permettent la description explicite de chacun des grains constituant l’ensemble. Ces
méthodes sont introduites au chapitre 2, et plus spécifiqement la méthode de Dynamique
des Contacts que nous avons mis en œuvre pour ce travail. Les systèmes que nous avons simulés
consistent en des lits granulaires bi-dimensionnels comptant 4000 (ainsi que 16000)
particules. Ces systèmes sont soumis à une rotation dans le champ de gravité de manière
à les faire évoluer quasi-statiquement vers la limite de stabilité. La définition de variables
micro-mécaniques (tenseur des contraintes, tenseur de fabrique) nous permet de confronter
l’état macroscopique des empilements d’une part au modèle idéal de Coulomb, et
d’autre part à leur état interne. Nous définissons la texture des empilements en l’illustrant
par les propriétés mécaniques différentes des sous-réseaux de contacts. L’existence
d’une échelle mésoscopique intrinsèque est vérifiée. Cette analyse constitue le chapitre 3.
Nous nous interessons ensuite plus particulièrement aux contacts où les forces de frottement
ont atteint la limite de Coulomb. Leur analyse statistique nous permet d’établir
l’existence de zones instables longtemps avant que la limite de stabilité globale ne soit atteinte.
L’état des empilement vis-à-vis de la rupture apparait donc fortement hétérogène.
Ces résultats nous permettent d’envisager la perte de stabilité comme résultant d’un
mécanisme de type transition de phase. L’ensemble de cette analyse constitue le chapitre
4. Nous étudions enfin la destabilisation de la pente, c’est-à-dire le déclenchement et le
déroulement d’une avalanche granulaire. Nous analysons en particulier les profils d’énergie
cinétique, et l’épaisseur mobilisée par l’écoulement. De plus, les modifications de l’état
interne des empilements en réponse à l’apparition d’une avalanche sont discutées. Ces
résultats sont présentés au chapitre 5.