CH-5 Courbe de remous

CHAPITRE
5
Courbe de remous
5.1 INTRODUCTION
La construction de ponceaux ou de toute autre structure hydraulique dans un cours d’eau
amène une modification du régime d’écoulement en amont de la structure. Si l’écoulement
dans la structure peut être rapidement modifié, l’écoulement en amont y est graduellement
modifié sur une certaine distance pour redevenir uniforme si la distance est suffisamment
grande. La profondeur d’écoulement est variable et la courbe représentant la profondeur
d’écoulement est communément appelée “courbe de remous”.
5.2 CONCEPTS DE BASE
La courbe de remous se calcule à partir de l’équation de l’énergie qui s’exprime en un point ::
E = z + y + α V2
2g
[5.1]
E = énergie (L)
z = élévation du fond du cours d’eau par rapport au niveau de référence
(L)
y = profondeur d’eau (L)
V = vitesse moyenne d’écoulement (L/T)
α = coefficient de répartition des vitesses (1.0 - 1.3)
g = constante d’accélération gravitationnelle (L/T 2 )

66 COURBE DE REMOUS
∆x
h f
2
V 1
2 g
1
y 1
y 2
S 0
V 2
2
2 g
z
z 1
z 2
x
NIVEAU DE RÉFÉRENCE
Figure
5.1 Répartition de l’énergie dans un écoulement graduellement modifié.
Lorsque la pente est faible, la variation d’énergie entre deux points peut s’exprimer sous forme
de différence :
E 2 − E 1
∆x
= z 2 − z 1
∆x
+ y 2 − y 1
∆x
+ 1 α 2 2
V
∆x 2g 2 − V1
[5.2]
ou de dérivée :
dE
dx = dz
dx + dy
dx + dxα
2g
d V2
[5.3]
La variation du niveau d’énergie est due à la perte de charge par friction h f et correspond à la
pente de la ligne d’énergie (S f ) :
dE
dx = h f
∆x = S f
[5.4]
La variation de la cote z du fond du cours d’eau correspond à la pente du fond du cours d’eau
(S 0 ) :
dz
dx = S o
[5.5]

FRICTION
67
Dans l’équation [5.3], la vitesse peut être exprimée en terme du débit Q et de la section d’écoulement
A(y) qui est fonction de la profondeur d’écoulement :
V =
Q
A(y)
d V 2
dx = d dx Q2
A 2 (y) = Q 2 d dx 1
A 2 (y)
d V
2
dx = Q2 − 2
A (y) dA (y)
3 dy
d V 2
dx = − 2 Q2
A 3 (y)
dA(y)
dy
dy
dx
dy
dx
[5.6]
[5.7]
[5.8]
[5.9]
Après substitution et en considérant α = 1.0, l’équation [5.3] s’écrit :
S f = S o + dy
dx −
Q2
g A 3 (y)
dy
dx =
S f − S o
1 − Q2
g A 3 (y)
dA(y)
dy
dA(y)
dy
dy
dx
[5.10]
[5.11]
Cette dernière équation est l’équation générale qui permet de déterminer la courbe de remous.
5.3 FRICTION
En considérant que la friction est uniquement fonction de la vitesse moyenne dans la section et
que l’écoulement peut être considéré comme uniforme dans cette section infinité décimale, la
perte d’énergie par friction peut être estimée par n’importe laquelle des équations de l’écoulement
uniforme. En utilisant l’équation de Manning :
V = 1 n Rh23 S f
12
S f = V2 n 2
R h
43 = Q2 n 2
A 2 (y) R h
43
[5.12]
[5.13]
L’équation [5.11] s’écrit alors :
Q 2 n 2
dy
dx = A 2 (y)
43
− S o
R h
1 − Q2 dA(y)
g A 3 (y) dy
[5.14]

68 COURBE DE REMOUS
5.4 CANAL TRAPÉZOÏDAL
Dans le cas du canal trapézoïdal, qui est le cas le plus fréquent, les paramètres suivants peuvent
être définis :
A(y) = (b + z y) y = b y + z y 2 [5.15]
P(y) = b + 2 y 1 + z 2
[5.16]
R h
= A (y)
P(y) =
( b + z y) y
[5.17]
b + 2 y 1 + z 2
S f = f 1
(y) = Q2 n 2 Q 2 n 2 b + 2 y 1 + z 2
A 2 (y)
43
R = h
43
[5.18]
[(b + z y) y] 103 [5.19]
dA(y)
dy
= b + 2 z y
f 2
(y) =
Q2
g A 3 (y)
dA(y)
dy
= Q2 (b + 2 z y)
[(b + z y) y] 3
[5.20]
Après substitution, l’équation [5.14] s’écrit :
dy
dx = f 1 ( y) − S o
1 − f 2
(y)
[5.21]
5.5 CALCUL DE LA COURBE DE REMOUS
À partir de l’équation d’Euler explicite, la courbe de remous peut être calculée par différnces
finies en connaissant la profondeur d’eau en une section de référence.
y x+∆x
= y x + ∆x dy
dx x
y x+∆x
= y x + ∆x f 1 ( y x
) − S o
1 − f 2
(y x
)
[5.22]
[5.23]
Pour améliorer la prédiction, une correction est effectuée en utilisant la méthode de Crank -
Nicholson modifiée :
y x+∆x = y x + ∆xα dy
dx x + (1 − α) dy
dx x+∆x
[5.24]

EXEMPLE DE COURBE DE REMOUS
69
Lorsque α = 0,5,
y x+∆x = y x + ∆x⎪ ⎡ ⎣
f 1
(y x
)+f 1
(y x +∆x)
2
− S o
1 − f ( 2 y x
)+f 2
(y x +∆x)
2
⎤
⎦
⎪
[5.25]
Dans le cas des écoulements en régime fluvial, la courbe de remous est calculée de l’aval vers
l’amont. Lorsque l’écoulement est torentiel, la courbe de remous est calculée de l’amont vers
l’aval.
5.6 EXEMPLE DE COURBE DE REMOUS
La figure 5.2 présente les différentes courbes de remous et les vitesses à l’amont de la crête du
déversoir d’un seuil dissipateur d’énergie en fonction du type de déversoir (rectangulaire, trapézoïdal,
sans restriction - seuil épais) installé au -dessus de la crête. L’Utilisation d’un seuil
sans restriction amène une augmentation de la vitesse d’écoulement à l’approche de la crête du
seuil, vitesse qui dépasse la vitesse maximale. Le chapitre traitant des seuils dissipateurs
d’énergie reprendra plus en détail les choix d’aménagement.

70
COURBE DE REMOUS
Cote (m)
CHAINAGE (m)
VITESSE
Vitesse (m/s)
CHAINAGE (m)
Figure
5.2 Courbes de remous et vitesses à l’amont de la crête d’un seuil dissipateur
d’énergie en fonction du type de déversoir utilisé (rectangulaire, trapézoïdal,
sans rectriction - seuil épais).

71
GAE -21287 PROBLÈMES SÉRIE 5.
5.1. Vous avez un cours d’eau trapézoïdal possédant une base de 1,0 m de largeur, une pente
des talus de 1,5:1, une profondeur de 0,9 m et une pente de 0,001. Le débit de design est
de 1,0 m 3 /s. Le sol est un loam argileux. Un ponceau doit y être installé.
a )
b )
c )
d )
Déterminez la profondeur normale d’écoulement du cours d’eau,
Si le ponceau crée une hauteur d’eau à l’entrée du ponceau de 0,85 m, déterminez
la courbe de remous à l’amont du ponceau,
Déterminez la zone d’influence du ponceau,
Un ponceau doit être installé à 300 m à l’amont de votre ponceau, quelle est la
hauteur d’eau tolérable à l’entrée de votre ponceau si vous ne voulez pas que
votre ponceau influence l’écoulement dans le ponceau à l’amont.
5.2. Vous avez un cours d’eau trapézoïdal possédant une base de 1,0 m de largeur, une pente
des talus de 1,5:1, une profondeur de 1,0 m et une pente de 0,003. Le débit de design est
de 2,0 m 3 /s. Le sol est un loam argileux. Un ponceau doit y être installé.
a )
b )
c )
d )
Déterminez profondeur normale d’écoulement du cours d’eau,
Si le ponceau crée une hauteur d’eau à l’entrée du ponceau de 0,85 m, déterminez
la courbe de remous à l’amont du ponceau,
Déterminez la zone d’influence du ponceau,
Un ponceau doit être installé à 300 m à l’amont de votre ponceau, quelle est la
hauteur d’eau tolérable à l’entrée de votre ponceau si vous ne voulez pas que
votre ponceau influence l’écoulement dans le ponceau à l’amont.