Transformation de Fourier d'une loi de probabilités Fonction ...

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Transformation de Fourier d’une loi de probabilités
Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle
Définition 0.1 Pour toute µ ∈ M + f (R) mesure positive finie sur (R, B(R)) on définit la
transformée de Fourier de µ comme étant la fonction ̂µ de R dans C, telle que :
∫
∀t ∈ R, ̂µ(t) :=
e itx dµ(x) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
cos(tx) dµ(x) + i sin(tx) dµ(x)
−∞
Définition 0.2 Pour toute fonction Lebesgue-intégrable f ∈ L C 1(λ), on définit la transformée
de Fourier de f comme étant la fonction ̂f de R dans C, telle que :
∀t ∈ R, ̂f(t) :=
∫ +∞
−∞
e itx · f(x) dx
Remarque : Si une mesure µ est à densité f par rapport à la mesure de Lebesgue, sa
transformée de Fourier n’est autre que la transformée de Fourier de sa densité.
Inversément, la transformée de Fourier d’une fonction f ∈ L C 1(λ) peut se reconstruite par
sommes à partir des transformées de Fourier des quatre mesures à densités respectives
µ 1 := Rel + (f) · λ , µ 2 := Rel − (f) · λ , µ 3 := Im + (f) · λ , µ 4 := Im − (f) · λ :
̂f = (̂µ 1 − ̂µ 2 ) + i(̂µ 3 − ̂µ 4 )
On priviligiera la description des propriétés de la transformation de Fourier dans le contexte des mesures.
La fonction qui t ↦→ 1
2π ̂f(−t) sera dite transformée de Fourier inverse de f.
Définition 0.3 Pour toute variable aléatoire X sur (Ω, A, P) espace de probabilité, de loi
P X = P◦X −1 , on définit la fonction caractéristique de X : ϕ X , comme étant la transformée
de Fourier de la loi de X :
∫
∀t ∈ R, ϕ X (t) := ̂P X (t) =
R
∫
e itx dP X (x) =
Ω
[
e itX(ω) dP(ω) = ]
E e
itX

Propriété 1 Pour µ ∈ M + f (R) de transformée de Fourier ̂µ, on a :
2
• ̂µ est une fonction uniformément continue sur R, bornée en module par µ(R), borne
atteinte en 0 :
∀t ∈ R, |̂µ(t)| ≤ ̂µ(0) = µ(R)
• Sa partie réelle est une fonction paire et sa partie imaginaire, impaire :
∀t ∈ R,
̂µ(−t) = ̂µ(t)
• Si µ est à densité, ̂µ tend vers 0 à l’infini. Le lemme de Riemann-Lebesgue assure que :
∀f ∈ L C 1(λ), on a : ̂f ∈ C 0 (R)
• La transformation de Fourier change la somme et le produit de convolution de deux
mesures en la somme resp le produit de fonctions :
∀(µ, ν) ∈ M + f (R) × M+ f (R),
µ ̂+ ν = ̂µ + ̂ν et µ ̂∗ ν = ̂µ · ̂ν
Preuve : La fonction x ↦→ e itx , continue donc borélienne, de module constant égal à 1, est
µ-intégrable dès que µ est une mesure positive bornée. De plus :
∫
∫ ∀t ∈ R, |̂µ(t)| =
∣ e itx dµ(x)
∣ ≤ ∣ ∣∣e ∣ ∫
itx ∣ dµ(x) = 1 dµ(x) = ̂µ(0) = µ(R)
Par ailleurs, on a pour tout (t, s) ∈ R 2 :
(e |̂µ(t) − ̂µ(s)| = ∣
∣∫ itx − e isx) ∫ ∣
dµ(x)
∣∣e
∣ ≤ itx − e isx∣ ∫ ∣
∣ ∣∣e dµ(x) = i(t−s)x − 1 ∣ ∣ dµ(x)
L’uniforme continuité de ̂µ résulte de la convergence suivante (théorème de Lebesgue) :
∣
⎧
∣ ⎪⎨ ∣e iξx − 1 ∣ ⎫
∣ ≤ |ξx| ξ→0 ✲ 0
⎪⎬
Vu que :
⎪⎩
∣
∣e iξx − 1 ∣ ∫
∣ ≤ 2, où : 2 dµ(x) = 2µ(R) < +∞ ⎪⎭ , on a :
∫ ∣ ∣∣e iξx − 1∣
∣ dµ(x) ξ→0 ✲ 0
Pour (µ, ν) ∈ M + f (R) × M+ f (R) l’égalité µ ̂+ ν = ̂µ + ̂ν est une conséquence immédiate de
la théorie de l’intégration par rapport à une mesure somme. Quant à la seconde, la mesure
convolée µ ∗ ν n’étant autre que la mesure image de la mesure produit tensoriel µ ⊗ ν par
l’application borélienne : R × R → R, qui (x, y) ↦→ x + y, on a, en utilisant le théorème de
Fubini pour justifier le calcul de l’intégrale double sous forme d’intégrales enchaînées :
∫
µ ̂∗ ν(t) =
∫∫
e itξ d(µ ∗ ν)(ξ) =
∫∫
e it(x+y) d(µ ⊗ ν)(x, y) = e itx · e ity d(µ ⊗ ν)(x, y)
(∫
=
) (∫
e itx dµ(x)
)
e ity dν(y) = ̂µ(t) · ̂ν(t)

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Preuve : (Lemme de Riemann-Lebesgue) L’ensemble des fonctions f ∈ L 1 (λ) dont la
transformée de Fourier tend vers 0 à l’infini, est un sous-espace fermé de l’espace de Banach
(L 1 (λ), ‖ ‖ 1,λ ). En effet :
f n vérifiant : ̂f n (t) |t|→+∞ ✲ 0 ̂f n (t) |t|→+∞ ✲ 0
Si on a :
n→+∞
❄
de sorte que :
n→+∞
❄
f
̂f(t)
‖ ‖ 1 (‡)
où la convergence (‡) est uniforme en t, vu que :
∀t ∈ R,
∣ ̂f − ̂f
∣ ∣∫ ∣∣ ∣∣∣ +∞
∫
n (t) = e itx +∞
(f(x) − f n (x)) dx
∣ ≤ |f(x) − f n (x)| dx = ‖f − f n ‖ 1
−∞
−∞
on a commutativité du diagramme :
̂f n (t) |t|→+∞ ✲ 0
n→+∞
n→+∞
❄
❄
̂f(t) |t|→+∞ ✲ 0
Pour prouver le lemme de Riemann-Lebesgue, il suffit d’exhiber une classe de fonctions
intégrables, dont les transformées de Fourier respectives tendent vers 0 à l’infini, qui soit
totale dans L 1 (λ). C’est le cas des indicatrices d’intervalles bornés vu que :
∣ 1 ̂
∫ b
[a,b] (t) ∣ :=
e itx dx
∣ a ∣ = |eitb − e ita |
|t|
≤ 2
|t|
|t|→+∞ ✲ 0

En termes de fonctions caractéristiques :
4
Propriété 2 Pour X, Y variables aléatoires et a, b réels, on a :
∀t ∈ R,
ϕ aX+b (t) = e itb ϕ X (at)
Si X et Y sont indépendantes, alors :
ϕ X+Y = ϕ X · ϕ Y
Preuve : On a :
ϕ aX+b (t) = E
[
e
it(aX+b) ] = E
[
e
itb · e it(aX)] = e itb · E
[
e
i(at)X) ] = e itb ϕ X (at)
Si X et Y sont indépendantes entre elles, il en va de même pour tout t ∈ R, des variables
e itX et e itY qui s’en déduisent par transformations boréliennes, de sorte que :
ϕ X+Y (t) = E
[
e
it(X+Y ) ] = E
[
e
itX · e itY ] = E
[
e
itX ] · E
[
e
itY ] = ϕ X (t) · ϕ Y (t)
Une autre présentation de ce dernier résultat consiste à remarquer que la loi de la somme
de deux variables aléatoires réelles indépendantes étant le produit de convolution des lois
marginales de ces deux variables, on a :
ϕ X+Y =
P ̂ X+Y = P ̂ X ∗ P Y = ̂P X · ̂P Y = ϕ X · ϕ Y

5
Proposition 1 (Formule de reconstruction) Si µ ∈ M + f (R) a pour transformée de
Fourier ̂µ, alors pour tout (a, b) ∈ R 2 , vérifiant a < b, on a :
∫
1 +T
2π −T
e −ita − e −itb
it
· ̂µ(t) dt T →+∞✲ µ(]a, b]) + 1 2 µ({a}) − 1 2 µ({b})
Preuve : La fonction κ a,b : t ↦→
∫ b
a
⎧
⎪⎨
e −itξ dξ =
⎪⎩
e −ita − e −itb
si t ≠ 0
it
b − a si t = 0
est continue, borné
par b − a. La transfornée de Fourier ̂µ est continue, bornée par µ(R). Leur produit κ a,b · ̂µ
est lui aussi continu borné, donc intégrable sur tout intervalle borné. L’intégrale :
I T := 1 ∫ +T
κ a,b (t) · ̂µ(t) dt = 1 ∫ +T
2π −T
2π −T
e −ita − e −itb
it
· ̂µ(t) dt
est bien définie. Si nous exprimons ̂µ(t) sous sa forme intégrale, nous faisons apparaître
I T sous forme d’intégrales enchaînées :
I T = 1 ∫ +T
2π −T
e −ita − e −itb
it
(∫
·
R
)
e itx dµ(x) dt = 1 ∫ ( +T ∫
e it(x−a) − e it(x−b) )
dµ(x) dt
2π −T R it
= 1 ∫ ( +T ∫ ( ∫ ) )
b
e it(x−ξ) dξ dµ(x) dt
2π −T R a
⎧
⎪⎨
La fonction : R×[−T, T ] → C , qui : (x, t) ↦→ κ a,b (t)·e itx =
⎪⎩
e it(x−a) − e it(x−b)
si t ≠ 0
it
b − a si t = 0
étant continue donc mesurable relativement à la tribu borélienne B(R×[−T, +T ]) qui n’est
autre que la tribu produit tensoriel des tribus boréliennes : B(R) ⊗ B([−T, +T ]), nous
pouvons appliquer successivement les théorèmes de Fubini-Tonelli puis de Fubini, pour
affirmer que :
∫∫ ∣ ∣∣∣ e it(x−a) − e it(x−b)
it ∣ d( λ [−T,T ] ⊗ µ ) (t, x) =
≤
∫ ( +T ∫ −T R ∣
∫ +T (∫
−T
R
e it(x−a) − e it(x−b)
)
it ∣ dµ(x) dt
)
(b − a = dµ dt = 2T (b − a)µ(R) < +∞
et donc que :
I T = 1 π
∫ ( ∫ +T
R −T
e it(x−a) − e it(x−b) )
dt dµ(x)
2it
L’identification de l’intégrale entre −T et T , de la fonction complexe : t ↦→ eit(x−a) −e it(x−b)
it
,
en passant au parties réelles et imaginaires et en utilisant la parité et l’imparité respective

des fonctions cos et sin, montre que :
6
∫ T
−T
e it(x−a) − e it(x−b)
2it
∫ T
dt =
0
sin ((x − a)t)
t
dt −
∫ +T
0
sin ((x − b)t)
t
dt
où, pour tout T ≥ 0 : S(T ) :=
= ɛ(x − a) · S(|x − a|T ) − ɛ(x − b) · S(|x − b|T )
∫ +T
0
sin t
t
dt, et pour tout ξ ∈ R : ɛ(ξ) := +1, −1, 0, selon
que ξ est positif, négatif ou nul, un simple changement de variable montrant alors que :
∫ T
0
sin ξt
t
dt = ɛ(ξ) ·
∫ T
0
sin |ξ|t
t
dt = ɛ(ξ) ·
∫ |ξ|T
0
sin t
t
dt = ɛ(ξ) · S(|ξ|T )
Il apparaît donc que :
∫
I T =
∆ a,b,T (x), dµ(x) , où : ∆ a,b,T (x) :=
ɛ(x − a) · S(|x − a|T ) − ɛ(x − b) · S(|x − b|T )
π
Un résultat classique d’intégration (cf exercices) affirme que : S(T ) :=
Ayant une limite finie en +∞, la fonction S, continue sur R + y est donc bornée :
M := sup T ≥0 |S(T )| < +∞
La double condition de convergence simple et de domination par une constante :
∫ T
0
sin t
t
dt T →+∞ ✲ π 2 .
∆ a,b,T (x) T →+∞ ✲
⎧
0 si x < a
1
(
1 ]a,b] + 1 2 1 {a} − 1 ) ⎪⎨
si x = a
2
2 1 {b} (x) = 1 si a < x < b
1
si x = b
2
⎪⎩
0 si b < x
et |∆ a,b,T (x)| ≤ 2 π M
justifie l’application du théorème de convergence dominée de Lebesgue :
∫
I T =
∆ a,b,T (x) dµ(x) T →+∞✲ µ(]a, b]) + 1 2 µ({a}) − 1 2 µ({b})

Théorème 0.4 (Injectivité de la transformation de Fourier sur M + f (R))
7
Des mesures positives finies sur (R, B(R)) ayant mêmes transformées de Fourier sont égales.
∀µ, ν ∈ M + f (R), (
̂µ = ̂ν ) ⇒ ( µ = ν )
Preuve : Application de la formule de reconstruction et du théorème π − λ de Dynkin.
Notons le lien entre fonctions, de répartition F µ et caractéristique ̂µ, de µ ∈ M + f (R) :
∫
∀t ∈ R, ̂µ(t) := e itx dF µ (x)
∀b ∈ R, F µ (b) = µ(] − ∞, b]) = lim
ɛ→0+
(
et inversément :
(
lim
a→−∞
(intégrale de Riemann-Stielges)
lim
T →+∞
( 1
2π
∫ +T
−T
e −ita − e −it(b+ɛ)
it
· ̂µ(t) dt
)))
Preuve : Il suffit d’appliquer la formule de reconstruction, en remarquant que :
∫
1 +T
2π −T
e −ita − e −it(b+ɛ)
it
· ̂µ(t) dt T →+∞ ✲ µ(]a, b + ɛ]) + 1 2 µ({a}) − 1 µ({b + ɛ})
2
= 1 2
(
µ(]a, b + ɛ]) + µ([a, b + ɛ[)
)
= 1 (
Fµ (b + ɛ) − F µ (a) + F µ ((b + ɛ) − ) − F µ (a − ) )
2
a→−∞✲ 1 (
Fµ (b + ɛ) + F µ ((b + ɛ) − ) )
2
ɛ→0 + ✲ F (b)
ces dernières convergences se justifiant, vu la croissance, le comportement asymptotique
en −∞ et la continuité à droite, de la fonction de répartition F µ , comme suit :
0 ≤ F µ (a − ) ≤ F µ (a) a→−∞ ✲ 0 et F (b) ≤ F ((b + ɛ) − ) ≤ F (b + ɛ) ɛ→0 + ✲ F (b)
Théorème 0.5 Si µ ∈ M + f (R) a une transformée de Fourier ̂µ, Lebesgue intégrable
sur R, alors µ est une mesure à densité et on identifie une version f (continue) de cette
densité comme étant la transformée de Fourier inverse de ̂µ :
∀x ∈ R, f(x) = 1 ∫ +∞
e −itx · ̂µ(t) dt = 1
2π −∞
2π
̂µ(−x)
En particulier si g est une densité de probabilité ayant une transformée de Fourier ĝ
Lebesgue intégrable sur R, on a pour presque tout (au sens de Lebesgue) réel x :
g(x) = 1 ∫ +∞
e −itx · ĝ(t) dt = 1 ĝ(−x)
2π −∞
2π
cette égalité étant en fait valide pour tout x, dans le cas où g est supposée de plus, continue.

Preuve : Dans le cas où ̂µ ∈ L 1 (λ) est Lebesgue-intégrable, la fonction κ a,b étant bornée,
pour tous réels a < b, on a Lebesgue-intégrabilité sur tout R de la fonction κ a,b · ̂µ et par
le théorème de Lebesgue :
Or, vu que :
I T := 1 ∫ +T
κ a,b (t) · ̂µ(t) dt 1 ∫
2π
T →+∞ ✲ κ a,b (t) · ̂µ(t) dt
−T
2π R
∫∫
[a,b]×R
∣
∣e −itx · ̂µ(t) ∣ d (λ ⊗ λ) (x, t) ≤ (b − a)‖̂µ‖ 1,λ < +∞
une application du théorème de Fubini, permet d’affirmer que :
∫
1
κ a,b (t) · ̂µ(t) dt = 1 ∫ ( ∫ )
b
e −itx dx · ̂µ(t) dt
2π R
2π R a
= 1
2π
∫ b (∫
a
R
) ∫ b
e −itx · ̂µ(t) dt dx = f(x) dx
a
8
où l’on a noté :
f(x) := 1 ∫
e −itx · ̂µ(t) dt
2π R
(
= 1
2π
)
̂µ (−x)
La fonction f définie sur tout R, est continue, bornée par 1 ∫
2π |̂µ(t)| dt, elle tend vers 0 à
l’infini (lemme de Riemann-Lebesgue) et est à valeurs réelles, avec donc f ∈ C 0 (R, R) :
f(x) = 1 ∫
2π
e −itx ̂µ(t) dt = 1 ∫
2π
e itx ̂µ(t) dt = 1 ∫
2π
e itx ̂µ(−t) dt = 1 ∫
2π
e −itx ̂µ(t) dt = f(x)
Alors, par la formule de reconstruction, on a pour tous réels a < b :
∫ b
a
f(x) dx = µ(]a, b]) + 1 2 µ({a}) − 1 µ({b}) = (µ(]a, b]) + µ([a, b[)) ≥ 0
2
En particulier pour tous réels a < b ∈ R \ ∆ µ (ne portant pas de masse pour µ), on a :
∫ b
a
f(x) dx = µ(]a, b])
L’ensemble ∆ µ := {x ∈ R | µ({x}) = F µ (x) − F µ (x − ) > 0} =: ∆ Fµ étant dénombrable donc
de complémentaire R \ ∆ µ partout dense, et vu la continuité de la fonction f, ces informations
permettent d’affirmer que f est à valeurs positives ou nulles. De plus, les deux
mesures µ et f dλ (mesure σ-finie à densité f par rapport à la mesure de Lebesgue),
coïncidant (en attribuant des masses finies) sur un π-système générateur, sont égales :
µ = f dλ

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Une autre démonstration consiste à montrer que sous l’hypothèse ̂µ ∈ L 1 (λ), la fonction
de répartition de µ est de classe C 1 , le théorème du calculus assurant alors que :
∀a < b ∈ R, µ(]a, b]) = F µ (b) − F µ (a) =
∫ b
a
F ′ µ(t)dt
le théorème d’unicité de Dynkin identifiant µ comme étant la mesure à densité : F µ ′ dλ.
L’intégrabilité de ̂µ et donc celle de κ a,b· ̂µ, permettent d’appliquer le théorème de Lebesgue
et d’exprimer dans ce cas la formule de reconstruction sous la forme simplifiée :
∀a < b ∈ R,
∫
1 e −ita − e −itb
· ̂µ(t) dt = µ(]a, b]) + 1 2π R it
2 µ({a}) − 1 2 µ({b})
= 1 2(
Fµ (b) − F µ (a) + F µ (b − ) − F µ (a − )
Commençons à montrer que la fonction de répartition F µ est continue, à savoir que ∆ µ = ∅.
Pour tout c ∈ R, vu que :
F µ (c − ) ≥ F µ (a) ≥ F µ (a − ) ↗ F µ (c − ) et F µ (c) ≤ F µ (b − ) ≤ F µ (b) ↘ F µ (c)
de sorte que :
( 1
∣ Fµ (b) − F
2
µ (a) + F µ (b − ) − F µ (a − ) −→ F µ (c) − F µ (c − ) = µ({c})
a ↗ c −
quand
et
∣b ↘ c +
et que :
e −ita −e −itb
· ̂µ(t) −→ 0, quand : a ↗ c
it − et b ↘ c +
∣∀ c − 1 < a < c < b < c + 1 on a ∣ e−ita −e −itb
̂µ(t) ∣ ∫ +∞
it ∣ ≤ 2 |̂µ(t)| , avec |̂µ(t)| dt < +∞
−∞
on peut appliquer le théorème de convergence dominé de Lebesgue pour affirmer que :
µ({c}) = 0
La formule de reconstruction se simplifiant sous la forme :
∀a < b ∈ R,
∫
1 e −ita − e −itb
· ̂µ(t) dt = µ(]a, b]) = F µ (b) − F µ (a)
2π R it
En fait F µ est dérivable, de dérivée F ′ (x) = f(x) := 1 ∫
e −itx · ̂µ(t) dt, continue. Cela
2π R
résulte du théorème de convergence dominé, vu que pour tout x ∈ R et tout h > 0 :
⎧
F µ (x + h) − F µ (x)
⎪⎨
h
F µ (x) − F µ (x − h)
⎪⎩
h
= 1 ∫
e −itx − e −it(x+h)
2π R ith
∫
e −it(x−h) − e −itx
= 1
2π
R
ith
· ̂µ(t) dt h→0✲ 1 ∫
e −itx · ̂µ(t) dt
2π R
∫
· ̂µ(t) dt h→0 ✲ 1
2π
R
e −itx · ̂µ(t) dt

Théorème 0.6 (Formule d’inversion dans le contexte de l’algèbre de Wiener)
Pour f ∈ L C 1(λ) vérifiant ̂f ∈ L C 1(λ), on a la formule d’inversion :
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f(x) = 1 ∫ +∞
e −itx · ̂f(t) dt = 1
2π −∞
2π
̂f(−x),
pour Lebesgue-presque tout x
On remarque que l’on doit avoir f ∈ L C ∞(λ) avec : ‖f‖ ∞ ≤ ‖ ̂f‖ 1 . Si f est de plus supposée
continue, l’égalité f(x) = 1
2π
̂f(−x) a lieu en tout point et f tend vers 0 à l’infini.
Preuve : On reprend en les adaptant au cas de fonctions à valeurs complexes, les preuves
rédigées dans le cas de densités de probabilités.
1
On considère l’ensemble fonctionnel :
A(R) := { f ∈ C 0 (R) ∩ L C 1(R, λ) | ̂f ∈ L C 1(R, λ) }
Proposition 2 A(R) est une sous-algèbre dense de (C 0 (R), ‖ ‖ u ), dite algèbre de Wiener
sur laquelle la transformation de Fourier agit bijectivement (avec pour inverse la ”transformée
de Fourier inverse”), en échangeant produit de convolution et produit usuel de
fonctions.
Preuve : proposée en exercice.
Tableau de fonctions caractéristiques de lois classiques :
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Dénomination de la loi : densité : fonction caractéristique :
Binomiale(n, p) Cnp p k q n−k 0 ≤ k ≤ n (q + pe it ) n
Poisson (λ)
e λ λk k ∈ N e λ(eit −1)
k! Géométrique p · q k−1 k ∈ N ∗ peit
1−qe it
Exponentielle (λ) f(x) = λ e −λx λ
1 {x≥0} λ−it
de Gauss : N (0, 1) f(x) = √ 1
2π
e − 1 2 x2
e − 1 2 t2
de Laplace - exp.symétrique f(x) = 1 2 e−|x| 1
1+t 2
de Cauchy
f(x) = 1 1
e −|t| ∣
π 1+x 2
1 Remarque : on ne peut se contenter d’appliquer les résultats vus pour le cas positif, en considérant Rel + (f), Im + (f),
Rel − (f), Im − (f). En effet l’hypothèse d’intégrabilité de la transformée de Fourier de f n’assure pas de façon immédiate
l’intégrabilité des transformées de Fourier des fonctions Rel + (f), Im + (f), Rel − (f), Im − (f) !

11
Le problème des moments
Définition 0.7 Pour une mesure µ ∈ M + f (R), les moments absolus sont les quantités :
∫
β n (µ) :=
|x| n dµ(x) ∈ [0, +∞] , où : n = 0, 1, . . .
Si β n (µ) < +∞, µ est dit avoir un moment d’ordre n, ce moment d’ordre n est le réel :
∫
α n (µ) :=
x n dµ(x)
Notons que si une mesure finie a un moment d’ordre n elle a des moments d’ordre k pour
tout k ≤ n
Schwarz) ♠ :
♠ et que si elle a un moment d’ordre 2m, pair on a (inégalité de Cauchy-
α 2 2m−1(µ) ≤ β 2 2m−1(µ) ≤ β 2m−2 (µ)β 2m (µ) = α 2m−2 (µ)α 2m (µ)
Une mesure µ ∈ M + f (R) qui a des moments de tous ordres est dite déterminée par ses
moments si c’est la seule mesure ∈ M + f (R) ayant de tels moments.
Proposition 3 Si une mesure µ ∈ M + f (R) a un moment d’ordre n, sa transformée de
Fourier ̂µ est de classe C n au moins, avec identification des dérivées successives :
∀k ≤ n, ∀t ∈ R,
∂ k
∫
∂t ̂µ(t) = k ̂µ(k) (t) = i k
en particulier :
∀k ≤ n, ̂µ (k) (0) = i k ∫
x k dµ(x)
x k e itx dµ(x)
A l’inverse, si ̂µ est n := 2m fois dérivable en 0 (avec n pair), alors µ ∈ M + f (R) a un
moment d’ordre n.
Preuve : La partie directe s’obtient par application du théorème de continuité dérivation
des intégrales à paramètre, vu que l’application t ↦→ e itx de classe C ∞ , a pour dérivées
successives :
∂ k
∂t k e itx = i k x k e itx , lesquelles vérifient pour tout k ≤ n et sous l’hypothèse
d’existence du moment d’ordre n, que :
∣
∣i k x k e itx∣ ∣ ∣ = |x| k ≤ max{1, x n } ≤ 1 + |x| n , avec :
∫
(1 + |x| n )dµ(x) < +∞

La réciproque se prouve par récurrence sur m. Examinons le cas n = 2m = 2 :
12
Remarque : Si g fonction réelle d’une variable réelle, deux fois dérivable en 0 est impaire
dans un voisinage de 0, elle vérifie : g ′′ (0) = 0, alors que si elle y est paire, on a :
g ′′ (0) = 2 lim t→0
t≠0
g(t) − g(0)
t 2
Si g est impaire au voisinage de 0 avec donc g(0) = 0, on a par dérivation : g ′ paire au voisi-
g
nage de 0 avec : lim ′ (t)−g ′ (0)
t→0,t>0 = g ′′ g
(0) = lim ′ (−t)−g ′ (0)
t t→0,t>0 −t
ce qui impose : g ′′ (0) = 0.
= − lim t→0,t>0
g ′ (t)−g(0)
t
,
Si g est paire au voisinage de 0, on a par dérivation : g ′ impaire au voisinage de 0 avec
donc : g ′ (0) = 0. Le résultat se déduit de la formule de Taylor-Young écrite à l’ordre 2 au
voisinage de 0 : g(t) = g(0) + 1 2 t2 g ′′ (0) + o(t 2 ).
Cette remarque appliquée aux fonctions respectivement impaire et paire : Im ̂µ et Rel ̂µ,
montre que :
Or on a ♠ :
alors que :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∫
̂µ ′′ (0) = Rel ̂µ ′′ (0) = lim
t→0, t≠0
2 · 1 − cos(tx)
t 2
0 (ii)
≤ 2 · 1 − cos(tx)
t 2
t≠0
t→0 ✲ x 2 (i)
(iii)
≤ x 2
2 · cos(tx) − 1
t 2
dµ(x)
, une appliquation du lemme de Fatou, montrant
∫
∫
x 2 dµ(x) =
lim inf
t→0, t≠0
(
2 · 1 − cos(tx)
t 2
dµ(x)
( ∫
≤ lim inf 2 · 1 − cos(tx) )
dµ(x) = −̂µ ′′ (0) < +∞
t→0, t≠0
t 2
)
Il en résulte que µ a un moment d’ordre 2, la finitude de l’intégrale ∫ x 2 dµ(x), permettant
vu (i)(ii) et (iii), d’appliquer au delà du lemme de Fatou, le théorème de convergence
dominée de Lebesgue et de conclure que :
∫
∫
x 2 dµ(x) =
lim
t→0, t≠0
(
2 · 1 − cos(tx)
t 2
dµ(x)
)
= −̂µ ′′ (0)
La justification de l’incrémentation dans la récurrence s’effectue alors comme suit :

13
Supposons le résultat acquis pour n = 2m. Soit µ ∈ M + f (R) de transformée de Fourier
dérivable n + 2 = 2(m + 1) fois en 0. ̂µ étant à fortiori n fois dérivable en 0, l’hypothèse
de récurrence assure que µ a un moment d’ordre n = 2m. La partie directe affirme alors
que ̂µ est en fait de classe C n sur tout R. Considérons par ailleurs ν m := x 2m · µ ∈ M + f (R),
la mesure positive finie à densité x 2m relativement à µ , on constate que :
∂ n
∫
∂t ̂µ(t) = n (−1)m
x 2m e itx dµ(x) = (−1) m ∫
e itx dν m (x) = (−1) m ̂ν m (t)
Le caractère n + 2 fois dérivable en 0 de ̂µ, se traduit par le fait que ̂ν m est 2 fois dérivable
en 0. Ainsi ramené au cas particulier traité en préliminaire, on peut alors affirmer que la
mesure ν a un moment d’ordre 2 et que µ a donc un moment d’ordre n + 2 :
∫
∫
∫
x n+2 dµ(x) = x 2 d(x 2m · µ)(x) = x 2 dν m (x) < +∞
♥
Si h fonction décroissante sur [1, +∞[, tend vers 0 à l’infini, la mesure µ h à densité
x −2 h(|x|) · 1 {|x|≥1} , vérifie µ h ∈ M + f (R) avec ̂µ h dérivable en 0 et ̂µ ′ h (0) = 0.
Donner un exemple pour lequel µ h n’a pas de moment d’ordre 1.
Preuve : La fonction x ↦→ x −2 h(|x|) · 1 {|x|≥1} étant borélienne d’intégrale finie :
∫
x −2 h(|x|) · 1 {|x|≥1} dλ(x) = 2
∫ +∞
x −2 h(x) dx ≤ 2h(1)
1
1
∫ +∞
x −2 dx = 2h(1)
µ h ∈ M + f (R). On constate que ̂µ h est dérivable en 0 avec ̂µ h ′ (0) = 0 :
̂µ h (t) − ̂µ h (0)
t
∫ e itx ∫
− 1
+∞
e −itx + e itx − 2
=
tx 2 h(|x|) · 1 {|x|≥1} dx =
+1 tx 2 h(x)dx
∫ +∞
cos(tx) − 1
= 2
+1 tx 2 h(x)dx = ɛ(−t)
∫ +∞
|t|
( ) 1 − cos y
2
y 2 h(y/|t|)dy
t→0 ✲ 0
t≠0
cette dernière convergence se justifiant par application du théorème Lebesgue, vu que :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
( ) 1 − cos y
∀y > 0, 2
y 2 h(y/s) s→0+ ✲ 0
∀y ≥ s > 0, 0 ≤ 2
Par ailleurs, vu que :
( )
( )
1 − cos y
1 − cos y
y 2 h(y/s) ≤ 2h(1)
y 2 , avec :
∫ +∞
0
≤min( 1 2 , 2
y
{ }} 2 {
)
1 − cos y
y 2 dy ≤ 3√ 2
2
∫
|x| dµ(x) :=
∫ h(|x|)
|x|
∫ +∞
h(x)
· 1 {|x|≥1} dλ(x) = 2
1 x
dx
µ peut ne pas avoir de moment d’ordre 1, par exemple dans le cas de la fonction :
h(x) =
1
max{1, log x}
♠

14
Corollaire 0.8 Si une mesure µ ∈ M + f (R) a un moment d’ordre n, sa transformée de
Fourier ̂µ a un développement de Taylor-Young en 0 :
n∑ (it)
̂µ(t) k
= α k (µ) + o(t n ) , pour t au voisinage de 0
k!
k=0
Plus précisemment, ̂µ admet en 0, un développement de Taylor avec reste intégral, valide
sur tout R :
∀t ∈ R, ̂µ(t) =
n−1 ∑
k=0
(it) k
α k (µ) +
k!
(it)n ∫ 1
(∫
(1 − s) n−1
(n − 1)! 0
)
x n e itsx dµ(x) ds
conduisant à l’écriture :
∀t ∈ R, ̂µ(t) =
n∑ (it) k
α k (µ) + (it)n ɛ n (t), où : ∀t ∈ R, |ɛ n (t)| ≤ 2β n (µ) et ɛ n (t)
k! n!
t→0 ✲ 0
k=0
Preuve : Le caractère C n de ̂µ et l’identification de ses dérivées successives vu dans la
proposition précédente, permettent d’écrire en 0, le développement de Taylor-Young ainsi
que le développement de Taylor avec reste intégral de ̂µ :
n−1 ∑ t
∀t ∈ R, ̂µ(t) k
∫ t (t − u) n−1
=
k=0
k! ̂µ(k) (0) +
̂µ (n) (u) du
0 (n − 1)!
n−1 ∑ t k
t n ∫ 1
=
k=0
k! ̂µ(k) (0) +
(1 − s) n−1 ̂µ (n) (st) ds
(n − 1)! 0
n−1 ∑
=
k=0
(it) k
α k (µ) +
k!
(it)n ∫ 1
(∫
(1 − s) n−1
(n − 1)! 0
)
x n e itsx d µ(x) ds
En fait, nous pouvons retrouver le développement de Taylor avec reste intégral de ̂µ, en
intégrant en x relativement à la mesure µ la formule donnant le développement de Taylor
avec reste intégral en 0 de l’exponentielle complexe et en justifiant les échanges d’intégrales
par application du théorème de Fubini. Partant de :
n−1
e itx ∑ (itx) k
=
k=0
k!
+ (itx)n ∫ 1
(1 − s) n−1 e istx ds
(n − 1)! 0
n∑ (itx) k
=
k!
k=0
+ (itx)n ∫ 1
(1 − s) [ n−1 e istx − 1 ] ds
(n − 1)! 0
on obtient en intégrant en µ(dx) :
∫
̂µ(t) =
n∑
e itx (it) k
dµ(x) = α k (µ) +
k=0
k!
(it)n ∫ (∫ 1
(1 − s) n−1 x [ n e istx − 1 ] )
ds dµ(x)
(n − 1)! 0
n∑ (it) k
= α k (µ) +
(it)n ∫ 1
(∫
(1 − s) n−1 x [ n e istx − 1 ] )
dµ(x) ds
k=0
k! (n − 1)! 0

d’où le résultat en posant :
15
ɛ n (t) =
∫ 1
0
(∫
n(1 − s) n−1 x n[ e istx − 1 ] )
dµ(x) ds =
∫ 1 ∫
0
n(1 − s) n−1 x n[ e istx − 1 ] d(µ ⊗ λ)(x, s)
le théorème de Fubini justifiant l’écriture en intégrale double, ainsi que la majoration :
∫ 1
(∫
|ɛ n (t)| ≤ n(1 − s) n−1
0
(∫ 1
≤ 2 n(1 − s) n−1 ds
}
0
{{ }
=1
|x| ∣ n ∣e istx − 1∣
} {{ }
≤2
)
(∫
·
)
dµ(x) ds
)
|x| n dµ(x)
} {{ }
β n(µ)
= 2β n (µ)
et le théorème de Lebesgue assurant la convergence : ɛ n (t) t→0 ✲ 0 , vu que :
∫∫
∀(x, s) ∈ R × [0, 1], n(1 − s) n−1 x n [ e istx − 1 ] t→0✲ 0
et
∀(x, s) ∈ R × [0, 1], ∀t ∈ R, n(1 − s) n−1 |x| n ∣ ∣ ∣e istx − 1 ∣ ∣ ∣ ≤ 2n(1 − s) n−1 |x| n
avec
(∫ 1
)(∫
n(1 − s) n−1 |x| n d(µ ⊗ λ [0,1] )(x, s) = n(1 − s) n−1 ds
0
)
|x| n dµ(x) = β n (µ) < +∞
Corollaire 0.9 Une mesure µ ∈ M + f (R) a des moments de tous ordres si et seulement si
sa transformée de Fourier ̂µ est de classe C ∞ . Dans ce cas, pour tout n ∈ N, on a :
∀t ∈ R,
∂ n
∫
∂t ̂µ(t) = n ̂µ(n) (t) = i n
x n e itx dµ(x)
en particulier :
̂µ (n) (0) = i n ∫
x n dµ(x) = i n α n (µ)
Dans le cas où la série génératrice des moments : ∑ ∞
n=0 α n (µ) sn
n!
a un rayon de convergence
r α > 0, la transformée de Fourier ̂µ est R-analytique (analytique au voisinage de tout réel)
et la mesure µ est déterminée par ses moments.
Preuve : Concernant le problème de l’analyticité de la transformée de Fourier, il suffit
d’appliquer le critère classique 2 après avoir constaté que |̂µ (n) (t)| ≤ ∫ |x| n dµ(x) = β n (µ)
♠. Nous en donnerons une preuve directe :
2 Caractérisation des fonctions développables en série entière : Une fonction f de classe C ∞ sur un intervalle ouvert I
contenant 0 est développable en série entière au voisinage de 0 si et seulement si :
∃β > 0, ∃C ≥ 0, ∃M ≥ 0, ∀t tel que |t| < β, ∀n ∈ N, ∣ ∣ f (n) (t) ≤ CM n n!

16
Reprenons les majorations concernant le développent de Taylor avec reste intégral de la
transformée de Fourier ̂µ, obtenues lors du corollaire précédent, en les généralisant au cas
du voisinage d’un réel quelconque u. Partant de :
n∑
e i(u+t)x = e iux · e itx (itx) k
= e iux + (itx)n ∫ 1
k=0
k! (n − 1)! eiux (1 − s) [ n−1 e istx − 1 ] ds
0
on obtient en intégrant en µ(dx) :
∫
̂µ(u + t) = e i(u+t)x dµ(x)
n∑ (it) k ∫
=
k!
k=0
n∑ (it) k ∫
=
k!
k=0
x k e iux dµ(x) +
x k e iux dµ(x) +
(it)n ∫ (∫ 1
(1 − s) n−1 x n e [ iux e istx − 1 ] )
ds dµ(x)
(n − 1)! 0
(it)n ∫ 1
(∫
(1 − s) n−1 x n e [ iux e istx − 1 ] )
dµ(x) ds
(n − 1)! 0
à savoir :
ɛ n (u, t) = n
= n
n∑ t
̂µ(u k
+ t) =
k=0
k! ̂µ(k) (u) + (it)n ɛ n (u, t)
n!
∫ 1
0
∫∫
[(1 − s) n−1 (∫
où :
x n e [ iux e istx − 1 ] )]
dµ(x) ds
(1 − s) n−1 x n e iux [ e istx − 1 ] d(µ ⊗ λ [0,1] )(x, s)
le théorème de Fubini justifiant l’écriture en intégrale double, ainsi que la majoration :
|ɛ n (u, t)| ≤ n
(
≤ 2
∫ 1
(∫
[(1 − s) n−1 |x| ∣ n ∣e istx − 1 ∣ )]
∣ dµ(x) ds
0
} {{ }
≤2
∫ 1
) ( ∫
n (1 − s) n−1 ds ·
}
0
{{ }
=1
|x| n dµ(x)
} {{ }
β n(µ)
)
= 2β n (µ)
Si la série entière ∑ +∞
n=0
1
n! β n(µ)t n a un rayon de convergence r > 0, alors pour |t| < r :
1
β n! n(µ)|t| n n→+∞✲ 0, donc :
(it) n
n!
ɛ n (u, t) n→+∞✲ 0 et la série entière :
∑ +∞
n=0
1
n! ̂µ(n) (u)t n ,
est convergente de somme : ̂µ(u + t). Dans ce cas, ̂µ apparaît développable en série entière
au voisinage de tout réel u avec rayon de convergence toujours ≥ r.
Pour conclure il suffit de constater que les séries entières ∑ +∞
n=0
1
n! α n(µ)t n et ∑ +∞
n=0
1
n! β n(µ)t n
ont des rayons de convergence r α et r β , identiques : le fait que |α n (µ)| ≤ β n (µ) assure que
r α ≥ r β , et l’on déduit l’inégalité en sens contraire des deux informations : β 2m (µ) = α 2m (µ)
et β 2 2m−1(µ) ≤ α 2m−2 (µ)α 2m (µ) ♠ .

17
On termine la preuve en constatant que dans le cas considéré ci-dessus, si deux mesures
ν et µ ∈ M + f (R) ont les mêmes moments, leurs transformées de Fourier ̂µ et ̂ν toutes
deux analytiques sur R coïncident sur ] − r + r[, donc partout (principe du prolongement
analytique) 3 . L’injectivité de la transformation de Fourier, assure alors l’égalité µ = ν.
Le cas particulier où la mesure µ est portée par un intervalle borné [−M, +M], se traite de
façon immédiate par simple application du théorème de Fubini la transformée de Fourier
de µ : ̂µ étant dans ce cas, développable en série entière avec rayon de convergence infini :
∫
∀t ∈ R, ̂µ(t) =
∫ +∞
e itx ∑ (itx) n
dµ(x) =
dµ(x) =
n!
n=0
+∞ ∑
n=0
i n (∫ ) +∞
x n dµ(x) t n ∑ i n
=
n!
n=0
n! α n(µ) t n
où l’échange des sommes et intégrales se justifie par la majoration :
+∞ ∑
n=0
∫
1
n!
|tx| n dµ(x) ≤ µ(R) ·
+∞ ∑
n=0
1
n! (M|t|)n = µ(R) e M|t| < +∞
Ce cas fort simple suffit à prouver que :
Proposition 4 Deux lois de probabilité portées par R + qui ont la même transformé de
Laplace sont identiques.
Preuve : Soit µ 1 et µ 2 deux lois de probabilités portées par R + et ayant même transformée
de Laplace :
∫
∫
L µ1 (s) = e −sx dµ 1 (x) = e −sx dµ 2 (x) = L µ2 (s)
alors les lois : ν 1 = µ 1 ◦ φ −1 et ν 2 = µ 2 ◦ φ −1 , images de µ 1 et µ 2 par l’application
φ : [0, +∞[→]0, 1] qui x ↦→ e −x , portées par ]0,1], sont donc déterminées par leurs moments.
Ceux-ci étant égaux, vu que pour j = 1 resp 2, on a :
∫
∫
∫
α n (ν j ) := y n dν j (y) = [φ(x)] n dµ j (x) = e −nx dµ j (x) = L µj (n)
il en résulte que : ν 1 = ν 2 et donc µ 1 = µ 2 , en tant que mesures images par l’application
]0, 1] → [0, +∞[, qui y ↦→ −Log y, des mesures ν 1 et ν 2 .
Remarque 1 Les séries entières : ∑ +∞
n=0
1
n! α n(µ)t n , ∑ +∞
n=0
1
n! β n(µ)t n et ∑ +∞
n=0
1
(2n)! α 2n(µ)t 2n
ont des rayons de convergence r α , r β , ˜r α , identiques, ce rayon valant :
∣ ∫
∣∣
sup
{t ∈ R +
}
cosh(tx) dµ(x) < +∞
} {{ }
:=˜r
∣ ∫
∣∣
= sup
{t ∈ R +
}
e t|x| dµ(x) < +∞
} {{ }
:=r
3 Dans le cas considéré, le rayon de convergence du développement en série entière de ̂µ resp ̂ν au voisinage de tout u réel
est (indépendemment de u), toujours minoré par r > 0. On prouve alors par récurrence sur l que : ̂µ et ̂ν coïncident sur
] − lr, lr[, donc sur tout R ♠

Preuve : Cela résulte des égalités suivantes (Fubini Tonelli) :
18
+∞ ∑
n=0
1
+∞
n! β n(µ)|t| n ∑
=
n=0
∫
∫
1
+∞
(|tx|) n ∑
dµ(x) =
n!
n=0
∫
1
n! (|tx|)n dµ(x) = e |tx| dµ(x)
+∞ ∑
n=0
1
+∞
(2n)! α 2n(µ)t 2n ∑
=
n=0
de l’encadrement :
∫
∫
1
+∞
(xt) 2n ∑
dµ(x) =
(2n)!
n=0
∫
1
(2n)! (xt)2n dµ(x) = cosh(tx)dµ(x)
0 ≤ cosh(tx) = etx + e −tx
2
≤ e |tx| ≤ 2 cosh(tx)
et de la majoration :
∫
|α n (µ)| =
∣
∫
x n dµ(x)
∣ ≤
|x| n dµ(x) = β n (µ)
qui justifient ♠ les équivalences suivantes d’ou résultent les égalités voulues entre rayons
de convergence :
∀t ≥ 0,
(
t < rα
)
⇒
(
t < ˜rα
)
⇔
(
t < ˜r
)
⇔
(
t < r
)
⇔
(
t < rβ
)
⇒
(
t < rα
)