1 suites doubles - tableaux`a double entrée - échange de limites ...

1 SUITES DOUBLES - TABLEAUX À DOUBLE ENTRÉE -
ÉCHANGE DE LIMITES - CONVERGENCES UNIFORMES.
1.1 Diagrammes commutatifs pour des tableaux à double entrée :
Proposition 1 Pour un tableau numérique à double entrée : T = (x n,m ) (n,m) , tel que :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
lim x n,m = a n (†)
m→+∞
lim x n,m = α m (‡)
n→+∞
(
)
lim lim x n,m = a (⋆)
n→+∞ m→+∞
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si l’une des deux convergences (†) ou (‡) est uniforme, id est :
si
⎧
⎪⎨
alors le diagramme de convergences est commutatif :
⎪⎩
e m := sup |a n − x n,m | m→+∞✲ 0 († ′ )
n
ou
ɛ n := sup |α m − x n,m | n→+∞✲ 0 (‡ ′ )
m
( )
lim lim x n,m
m→+∞ n→+∞
(
= lim
n→+∞
lim
m→+∞ x n,m
)
= a (⋆⋆)
et les deux convergences (†) et (‡) sont uniformes : on a († ′ ) et (‡ ′ ).
Théorème 1.1 Pour un tableau de convergences à double entrée d’un espace métrique :
x n,m
m→+∞✲ a n (†)
n→+∞
n→+∞
❄
α m
❄
a
(‡) (⋆)
si l’une des convergences (†) ou (‡) est uniforme en n resp en m, id est :
si
⎧
⎪⎨
⎪⎩
alors le diagramme est commutatif :
e m := sup d(a n , x n,m ) m→+∞ ✲ 0 († ′ )
n
ou
ɛ n := sup d(α m − x n,m ) n→+∞ ✲ 0 (‡ ′ )
m
x n,m
m→+∞✲ a n (†)
n→+∞
n→+∞
❄
α m
m→+∞✲
❄
a (⋆⋆)
(‡) (⋆)
et les deux convergences (†) et (‡) sont uniformes respectivement en n et m.

2
Corollaire 1.2 Pour un tableau à double entrée : (x n,m ) n,m dans un espace métrique complet (X, d), si
chaque ligne et chaque colonne vérifie la propriété de Cauchy, et si la propriété de Cauchy est uniforme
soit selon les lignes soit selon les colonnes, alors il existe des a n , α m et a dans X, qui complètent le tableau
en un tableau commutatif de convergences, avec convergences uniformes tant en lignes qu’en colonnes.
Si :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
[ {
}]
inf sup sup d(x n,m , x n,m ′)
M n m ′ ≥m≥M
et
[
]
∀m, inf sup d(x n,m , x n′ ,m)
N n ′ ≥n≥N
= 0
= 0
ou si :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
[
]
∀n, inf sup d(x n,m , x n,m ′)
M m ′ ≥m≥M
et
[ {
}]
inf sup sup d(x n,m , x n′ ,m)
N m n ′ ≥n≥N
= 0
= 0
x n,m
m→+∞✲ a n (†)
alors : ∃(a n ) n , (α m ) m et a ∈ X,
n→+∞
n→+∞
❄
α m
m→+∞✲
❄
a (⋆⋆)
(‡) (⋆)
, avec (†) et (‡) unif en n resp m.
1.2 Dans un diagramme commutatif de nombres réels la monotonie force
l’uniformité :
Théorème 1.3 ( de Dini ) Si l’on dispose d’un tableau de convergences à double entrée, commutatif,
de nombres réels :
x n,m
m→+∞✲ a n (†)
n→+∞
n→+∞
❄
α m
m→+∞✲
❄
a
(‡)
où les convergences (†) sont monotones en m pour chaque n, alors les deux convergences (†) et (‡) sont
uniformes respectivement en n et m.
Nous donnerons une généralisation du théorème précédent, utile lors de la preuve du théorème de Lévy :
Proposition 2 Soit un tableau à double entrée (x n,m ) (n,m) , de nombres réels, contrôlé au moyen d’un
second tableau : (c n,m ) (n,m) , de nombres réels tels que :
c n,m ≥ x n,m
m→+∞✲ 0 en décroissant (†)
n→+∞
❄
γ m
m→+∞ ✲ 0
Alors la convergence (†) quand m → +∞, des x n,m vers 0, est uniforme en n.

1.3 Tableaux à double entrée doublement monotones :
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Théorème 1.4 Etant donné un tableau à double entrée : T = (x n,m ) (n,m) de nombres réels, tels que :
{
∀n, la suite en m des (xn,m ) m est croissante convergeant vers a n := sup m x n,m
∀m, la suite en n des (x n,m ) n est croissante convergeant vers
α m := sup n x n,m
x n,m
m→+∞✲ a n (†)
( ) ( ) n→+∞
n→+∞
on a : a := sup x n,m = sup sup x n,m = sup sup x n,m :
n,m
n m
m n
❄
❄
α m
m→+∞✲ a
dans le cas où a est fini, les convergences (†) et (‡) sont de plus uniformes.
(‡)
1.4 Exemples et contrexemples de tableaux à double entrée :
0 0 . . . . . . → 0
1 0 . . . . . . → 0
1 1 0 . . . → 0
.
.
.
. . . .
.
↓ ↓ ↓ ↓
1 1 1 . . . → 1 ≠
0
1 0 . . . . . . → 0
0 1 . . . . . . → 0
0 0 1 . . . → 0
.
.
.
.
. ..
.
↓ ↓ ↓ ↓
0 0 0 . . . → 0 =
0
sans uniformité
1.5 Passage du discret au continu :
Proposition 3 ⊲ Si (f n ) n et f sont des fonctions numériques définies sur un ensemble X, il y a
équivalence entre elles, des affirmations :
• f n
n→+∞✲ f uniformément sur X
• f n
n→+∞✲ f uniformément sur toute partie dénombrable de X
• f n (x m ) n→+∞ ✲ f(x m ) uniformément en m, pour toute suite (x m ) m de points de X
⊲ ainsi que dans le cas où X est un espace métrique compact, avec l’affirmation :
• f n (x m ) n→+∞ ✲ f(x m ) uniformément en m, pour toute suite convergente (x m ) m de X
⊲ ainsi que dans le cas où X ⊂ R, avec l’affirmation :
• f n (x m ) n→+∞ ✲ f(x m ) uniformément en m, pour toute suite monotone (x m ) m de X
On prouve divers théorèmes classiques sur les fonctions continues d’un espace métrique dans un autre :
Théorème 1.5 Si une suite (f n ) n
de fonctions continues de X (espace métrique), dans C, converge
uniformément vers une fonction f, alors f est continue.

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Théorème 1.6 (Théorème d’Ascoli) Si une suite (f n ) n de fonctions équicontinues de X, espace métrique
compact, dans C, converge simplement vers une fonction f, alors la convergence est uniforme et f est
continue.
Théorème 1.7 (Théorème de Dini I) Si une suite croissante de fonctions continues (f n ) n de X,
espace métrique compact, dans R, converge simplement vers une fonction f continue, alors la convergence
est uniforme.
Théorème 1.8 (Théorème de Dini II) Si une suite de fonctions croissantes (f n ) n de X, sous-ensemble
compact de R, dans R, converge simplement vers une fonction f continue, alors la convergence est uniforme.
Nous donnerons un dernier exemple concernant la théorie des probabilités :
Théorème 1.9 Si une suite (F n ) n de fonctions de répartition de lois de probabilité sur (R, B(R))
(fonctions de R dans [0, 1], croissantes continues à droite, convergeant vers 0 et 1 en respectivement −∞
et +∞), converge simplement vers une fonction de répartition de loi de probabilité : F , supposée
de plus continue, alors la convergence est uniforme.
On a aussi le résultat suivant qui sera utilisé lors de la preuve du théorème de Glivenko-Cantelli.
Théorème 1.10 Si une suite (F n ) n de fonctions de répartition de lois de probabilité sur (R, B(R)),
converge simplement vers une fonction de répartition de loi de probabilité : F , et si l’on suppose
de plus, avoir en tout point t de discontinuité de F , la convergence :
∀t ∈ ∆ F , F n (t − ) n→+∞ ✲ F (t − ) (∗∗)
alors la convergence des F n vers F est uniforme sur R.