Convergence étroite d'une suite de lois de probabilité sur R vers ...

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Convergence étroite
d’une suite de lois de probabilité sur R
vers une loi de probabilité sur R
Convergence en loi de variables aléatoires réelles
Notations
1 Soient µ n et µ ∈ M + 1 (R) des lois de probabilités sur ( R, B(R) ) de fonctions de répartition
respectives F n et F et transformées de Fourier respectives ̂µ n et ̂µ.
resp
∫
∀t ∈ R, F n (t) := µ n (] − ∞, t]) et ̂µ n (t) :=
∫
∀t ∈ R, F (t) := µ(] − ∞, t]) et ̂µ(t) :=
e itx dµ n (x)
e itx dµ(x)
Définition 0.1 La suite (µ n ) n de lois de probabilités sur ( R, B(R) ) est dite tendue si et seulement si les
convergences : µ n
(
[−T, +T ]
)
T →+∞✲ 1, sont uniformes en n :
(
inf sup
T ∈R n
( ) ) (
µ n R \ [−T, +T ] = 0 ou de façon équivalente : sup inf
T ∈R n
µ ( ) )
n [−T, +T ] = 1
Il est équivalent d’exiger l’uniformité des comportements asymptotiques des fonctions de répartition :
(
inf sup
t∈R n
)
F n (t)
(
= 0 et sup inf
t∈R n
)
F n(t) = 1

Théorème 0.2 Pour (µ n ) n et µ ∈ M + 1 (R), probablités sur ( R, B(R) ) , il y a équivalence des conditions :
⎡
∫
∫
• 1) ∀f ∈ C b (R), f dµ n
n→+∞✲ f dµ : convergence ”étroite”
∫
∫
• 2) ∀f ∈ C 0 (R), f dµ n
n→+∞✲ f dµ : convergence ”faible”
I)
∫
∫
• 3) ∀f ∈ C c (R), f dµ n
n→+∞✲ f dµ : convergence ”vague”
⎢
⎣
∫
∫
• 4) ∀f ∈ D, f dµ n
n→+∞✲ f dµ , où D est dense dans (C c (R), ‖ ‖ u )
2
II)
⎡
∫
⎣ • i) ̂µ n n→+∞ ✲ ̂µ, simplement sur R : ∀t ∈ R, e itx dµ n (x)
• ii) ̂µ n
n→+∞✲ ̂µ, uniformément sur tout compact de R
n→+∞ ✲
∫
e itx dµ(x)
⎡
• a) ∀t ∈ R \ ∆ F (point de continuité de F ), F n (t) n→+∞ ✲ F (t)
• b) ∃D ⊂ R, dense tel que : ∀t ∈ D, F n (t) n→+∞ ✲ F (t)
III)
⎧
∀u ∈ D, F ⎪⎨
n (u) n→+∞ ✲ G(u)
⎢
⎣• c) ∃D ⊂ R, dense et ∃G : D → [0, 1], tels que :
et
⎪⎩ ∀t ∈ R, F (t) = inf G(u)
u∈D, t

Remarques sur la topologie de la convergence étroite :
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Remarque 1 Il y a pour la convergence étroite, unicité de l’éventuelle limite d’une suite (µ n ) n de lois de
probabilités, par ailleurs, la convergence étroite d’une suite force la convergence étroite de toute sous-suite
vers la même limite.
Proposition 1 La convergence étroite vue en termes de convergence séquentielle telle que définie par l’une
des conditions équivalentes : 1), 2), 3), 4), a), b), c), α), β), γ), δ), est métrisable :
Si (f i ) i∈I est une famille dénombrable, dense dans l’espace séparable : ( C 0 (R), ‖ ‖ u
)
et si (ci ) i∈I est une
famille sommable de réels strictement positifs, l’application :
˜δ : M 1 (R) × M 1 (R) → [0, +∞[, qui : (µ, ν) ↦→ ∑ i∈I
est une distance sur M 1 (R) qui définit la convergence étroite.
∣∫
∫
1 ∣∣∣
c i f i dµ −
‖f i ‖ u
f i dν
∣
Nous rappelons un premier critère de convergence séquentielle (vrai dans tout espace métrique mais dont nous
donnerons une preuve directe pour la convergence étroite), selon lequel une suite converge si et seulement si
elle a une et une unique valeur d’adhérence :
Corollaire 0.6 µ n et µ étant des lois de probabilité de M + 1 (R), une condition nécessaire et suffisante de
convergence étroite de µ n vers µ est donnée par le critère suivant :
∀Λ ⊂ N, infini, ∃Λ ′ ⊂ Λ, infini, tel que : µ n
n→+∞
=====⇒ µ
n∈Λ ′
selon lequel de toute sous-suite de (µ n ) n on peut extraire une sous-suite convergeant vers µ
Donnons maintenant un critère de relative compacité séquentielle en termes de suite tendue.
Théorème 0.7 (Théorème de Helly) Toute suite tendue de lois de de probabilités de M + 1 (R) admet
une sous-suite qui converge étroitement vers une loi de probabilité.
On en déduit le critère de convergence étroite :
Corollaire 0.8 µ n et µ étant des lois de probabilité de M + 1 (R), une condition nécessaire et suffisante de
convergence étroite de µ n vers µ est donnée par le double critère suivant :
• la suite (µ n ) n est tendue
• la suite (µ n ) n a µ comme seule valeur d’adhérence possible, id est :
)
∀Λ ⊂ N, infini, ∀ν ∈ M + 1
(µ (R), n→+∞
n =====⇒ ν ⇒ ( µ = ν )
n∈Λ
selon lequel une suite (µ n ) n converge étroitement vers µ si et seulement si elle a une et une seule valeur
d’adhérence : µ.
Critère assurant qu’une suite de lois est tendue, en termes de convergence de leurs fonctions caractéristiques.
Lemme 0.9 Pour toute loi ν ∈ M + 1 (R), on a les majorations :
({
})
∀u > 0, ν x ∣ |x| ≥ 2 ≤ 1 u
u
∫ +u
−u
(
1 − ̂ν(t)
)
dt
Lemme 0.10 Une suite (µ n ) n de lois de probabilités ∈ M + 1 (R) dont les transformées de Fourier convergent
simplement vers une fonction continue en 0, est tendue.
Théorème 0.11 Pour (µ n ) n et µ ∈ M + 1 (R), probablités sur ( R, B(R) ) , il y a équivalence des conditions
[
n→+∞
I) • 1) µn =====⇒ µ (convergence étroite)
⎡
∫
II) ⎣ • i) ̂µ n n→+∞ ✲ ̂µ, simplement sur R : ∀t ∈ R, e itx dµ n (x)
• ii) ̂µ n
n→+∞✲ ̂µ, uniformément sur tout compact de R
n→+∞ ✲
∫
e itx dµ(x)

Lemme 0.12 Les transformées de Fourier d’une suite tendue de lois de probabilités sont uniformément
équicontinues.
Théorème 0.13 (théorème de Lévy) Si la limite simple ϕ, d’une suite de transformées de Fourier de
lois de probabilités (µ n ) n sur ( R, B(R) ) est continue en 0, cette limite est en fait la transformée de Fourier
d’une loi de probabilité sur ( R, B(R) ) :
∃µ ∈ M + 1 (R) , tel que : µ n
n→+∞
=====⇒ µ , avec : ϕ = ̂µ
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Modélisation de lois de probabilité :
Proposition 2 Soit µ une loi de probabilité sur ( RB(R) ) , de fonction de répartition F :
∀t ∈ R, F (t) := µ ( ] − ∞, t] )
La fonction T , ”inverse généralisée de F ”, définie sur ]0, 1[ par la formule :
∀x ∈]0, 1[ , T (x) := inf { t ∈ R ∣ ∣ x ≤ F (t)
}
est une fonction borélienne (en fait croissante) qui, considérée comme variable aléatoire sur l’espace probabilisé
: ( ]0, 1[ , B(]0, 1[) , λ ]0,1[
)
est de loi µ.
Remarque 2 La fonction croissante T est toujours continue à gauche, elle est continue si et seulement
si la loi µ attribue une masse > 0 à tous les (intervalles) ouverts non vides.
Théorème 0.14 (Theorème de Skorohod) Si µ n ∈ M + 1 (R), lois de probabilités sur ( R, B(R) ) convergent
étroitement vers une loi de probabilités µ ∈ M + 1 (R) sur ( R, B(R) ) , il existe des variables
aléatoires T n et T , toutes définies sur un même espace de probabilité ( Ω, A, P ) , de lois respectives µ n et µ
telles que : T n convergent P-presque-sûrement vers T .
De façon explicite si F n et F sont les fonctions de répartition respectives de µ n et µ, leurs ”inverses
)
généralisées respectives ” T n et T variables aléatoires sur
(]0, 1[, B(]0, 1[), λ ]0,1[ , de lois respectives µ n
et µ, vérifient :
T n (x) n→+∞ ✲T (x) en tout x point de continuité de T , donc pour λ-presque tout x ∈]0, 1[