Convergence étroite d'une suite de lois de probabilité sur R vers ...

Lemme 0.12 Les transformées de Fourier d’une suite tendue de lois de probabilités sont uniformément
équicontinues.
Théorème 0.13 (théorème de Lévy) Si la limite simple ϕ, d’une suite de transformées de Fourier de
lois de probabilités (µ n ) n sur ( R, B(R) ) est continue en 0, cette limite est en fait la transformée de Fourier
d’une loi de probabilité sur ( R, B(R) ) :
∃µ ∈ M + 1 (R) , tel que : µ n
n→+∞
=====⇒ µ , avec : ϕ = ̂µ
4
Modélisation de lois de probabilité :
Proposition 2 Soit µ une loi de probabilité sur ( RB(R) ) , de fonction de répartition F :
∀t ∈ R, F (t) := µ ( ] − ∞, t] )
La fonction T , ”inverse généralisée de F ”, définie sur ]0, 1[ par la formule :
∀x ∈]0, 1[ , T (x) := inf { t ∈ R ∣ ∣ x ≤ F (t)
}
est une fonction borélienne (en fait croissante) qui, considérée comme variable aléatoire sur l’espace probabilisé
: ( ]0, 1[ , B(]0, 1[) , λ ]0,1[
)
est de loi µ.
Remarque 2 La fonction croissante T est toujours continue à gauche, elle est continue si et seulement
si la loi µ attribue une masse > 0 à tous les (intervalles) ouverts non vides.
Théorème 0.14 (Theorème de Skorohod) Si µ n ∈ M + 1 (R), lois de probabilités sur ( R, B(R) ) convergent
étroitement vers une loi de probabilités µ ∈ M + 1 (R) sur ( R, B(R) ) , il existe des variables
aléatoires T n et T , toutes définies sur un même espace de probabilité ( Ω, A, P ) , de lois respectives µ n et µ
telles que : T n convergent P-presque-sûrement vers T .
De façon explicite si F n et F sont les fonctions de répartition respectives de µ n et µ, leurs ”inverses
)
généralisées respectives ” T n et T variables aléatoires sur
(]0, 1[, B(]0, 1[), λ ]0,1[ , de lois respectives µ n
et µ, vérifient :
T n (x) n→+∞ ✲T (x) en tout x point de continuité de T , donc pour λ-presque tout x ∈]0, 1[