Séries enti`eres, fonctions holomorphes - Institut de mathématiques ...

Université de BourgogneDépartement de MathématiquesLicence de MathématiquesCompléments d’analyseChapitre 5: Séries entières, fonctions holomorphesDans ce chapitre, on travaille dans C: les fonctions f considérées sont des fonctions complexesde la variable complexe z: z ∈ C, f(z) ∈ C.On note D(a, r) le disque ouvert de centre a et de rayon r > 0 dans C et D ′ (a, r) le disqueouvert privé de son centre:D(a, r) = {z ∈ C, |z − a| < r} , D ′ (a, r) = {z ∈ C, 0 < |z − a| < r} .1. Définition et exemples de séries entièresDéfinition (Série entière)Soit (a n ) n∈N une suite de nombres complexes. Si z est un nombre complexe, la série ∑ a n z ns’appelle une série entière et les a n sont les coefficients de ∑ a n z n , z s’appelle la variable de lasérie.Exemples1/ a n = 1 pour tout n, la série ∑ z n est la série géométrique, elle converge si et seulement si|z| < 1. Sa somme est la fonction f définie sur D(0, 1) par:f(z) =∞∑n=0z n = 11 − z .2/ a n = 1 n! , la série ∑ a n z n converge absolument pour toute valeur de z. Sa somme est unefonction définie sur tout C que l’on appelle l’exponentielle complexe:e z =∞∑n=0z nn! .3/ a p = 0 sauf si p est un carré et a n 2 = 1 pour tout n. On note ∑ z n2 la somme de cette sériequi converge absolument si |z| < 1 et diverge grossièrement si |z| ≥ 1.4/ a n = 1 n . La série ∑ z n ndiverge grossièrement si |z| > 1, converge absolument si |z| < 1, convergesi z = −1, diverge si z = 1.2. Rayon de convergence1

C’est une notion fondamentale. On s’intéresse à la convergence absolue de la série ∑ a n z n .Soit I l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls r tels que la suite (|a n |r n ) n∈N est majorée. 0appartient à I, si r appartient à I et si 0 ≤ r ′ < r, alors r ′ appartient aussi à I. Donc I est l’uniondes intervalles [O, r] pour :I = ⋃ r∈I[0, r].Comme O appartient à tous ces intervalles et que chaque intervalle est connexe, I est connexe c’estun intervalle.(On peut aussi poser R = +∞ si I n’est pas majorée et R = sup(I) sinon alors [0, R[⊂ I.)Lemme d’Abel (Convergence absolue et normale de la série)Soit ∑ a n z n une série entière et z 0 un nombre complexe tel que (a n z n 0 ) est bornée, alors:a. Pour tout z tel que |z| < |z 0 |, la série ∑ a n z n est absolument convergente,b. Pour tout r tel que r < |z 0 |, la série ∑ a n z n est normalement convergente sur D(0, r).PreuveSi on a b, on a aussi a. Prenons donc r < |z 0 |. Pour tout z tel que |z| ≤ r et tout n, on a:( ) n ( ) n |z|r|a n z n | = |a n z0 n | ≤ |a n z0 n | .|z 0 ||z 0 |Par(hypothèse, il existe M tel que pour tout n, |a n z0 n | ≤ M, et la série numérique de terme géneralnrM|z 0 |)est convergente. Ceci prouve b.Définition (Rayon de convergence)Si I n’est pas majoré, on dit que le rayon de convergence de ∑ a n z n est infini, on le note R = ∞.Si I est majoré, on dit que le rayon de convergence de la série ∑ a n z n est R = sup I.Si I n’est pas majoré, on a I = [0, +∞[ et la série ∑ a n z n converge absolument pour tout z deC.Si I est majoré, on a soit I = [0, R], soit I = [0, R[ et la série converge absolument pour tout zde C tel que |z| < R et ∑ |a n z n | diverge pour tout z de C tel que |z| > R.Si le terme général d’une série ne tend pas vers 0, la série diverge. Dans ce cas, on dit que cettesérie diverge grossièrement.Proposition (La divergence est grossière)Si R est fini, la série ∑ a n z n diverge grossièrement pour tout z tel que |z| > R.PreuveC’est en fait évident, si |z| > R, la suite (a n z n ) n’est pas bornée, elle ne tend donc pas vers 0.Le disque D(0, R) de centre 0 et de rayon R s’appelle le disque de convergence de la série∑n a nz n . Sur le cercle |z| = R, la série peut converger partout, diverger partout, converger encertains points, diverger en d’autres points.Calcul pratique du rayon de convergenceGrâce à d’Alembert, si la limite suivante existe:∣ lima n+1 ∣∣∣n→∞ ∣ = l (fini ou infini),a nalors R = 1 l(R = 0 si l est infini, R = ∞ si l = 0).2

Grâce à Cauchy, si la limite suivante existe:limn→∞√n|an | = l(fini ou infini),alors R = 1 l(R = 0 si l est infini, R = ∞ si l = 0).Ceci donne les convergences des exemples de 1.Prouvons par exemple Cauchy: si lim √ nn→∞ |a n | = l > 0, alors si r < 1 l , la suite ( n√ |a n |r tendvers lr < 1, les termes de la suite sont donc inférieurs à 1 à partir d’un certain rang, donc à partird’un certain rang |a n r n | < 1 et la suite (a n r n ) est majorée, r ∈ I, donc 1 l ≤ R.Si r > 1 l , la suite ( n√ |a n |r tend vers lr > 1, les termes de la suite sont donc supérieurs à α > 1à partir d’un certain rang, la suite (a n r n ) tend vers l’infini, n’est pas majorée, r /∈ I, donc 1 l ≥ R.De façon générale, on a la formule d’Hadamard.Proposition (Formule d’Hadamard)Si { n√ |a n |} est borné, posonsl = lim sup{ n√ √)|a n |} = inf(sup{ p |a p |, p ≥ n} ,nnsinon, posons l = +∞. Alors on a:R = 1 l .PreuveSupposons que l est fini et positif. Soit r < 1 l , ou 1 r> l, il existe N tel quesup{ p √|a p |, p ≥ N} < 1 r .Donc∀p ≥ N,√p|a p |r p < 1, |a p r p | < 1,la suite (|a n |r n ) est bornée et r ∈ I. Donc 1 l ≤ R.Si r > 1 l , soit r′ tel que r > r ′ > 1 l . Alors l > 1 r, pour tout n, sup{ p√ |a ′ p |,existe p n tel que√pnp n ≥ n et |a pn |r ′p n > 1, |apn |r ′p n> 1.p ≥ n} > 1 r ′ , ila:On construit par récurrence une suite (p k ) telle que p k+1 > p k pour tout k et |a pk |r ′p k|a pk |r p k>( rr ′ ) pk|apk |r ′p k>( rr ′ ) pk→ +∞> 1. Onet la suite (|a n |r n ) n’est pas bornée, r /∈ I. Donc 1 l ≥ R.Les cas l = 0 ou l = ∞ se démontrent de même, mais il n’y a qu’une inégalité à prouver.3. Opérations sur les séries entièresProlongeons à R l’ordre sur R en posant a < ∞ pour tout a de R. On peut alors parler demin{R, R ′ }, max{R, R ′ } si R et R ′ sont réels ou ∞.3

Proposition (Somme de séries entières)Soit ∑ a n z n et ∑ b n z n deux séries entières de rayon de convergence respectifs R et R ′ . Alors lerayon de convergence R ′′ de la série ∑ (a n + b n )z n vérifie toujours R ′′ ≥ min{R, R ′ } et si R ≠ R ′ ,R ′′ = min{R, R ′ }.Le rayon de convergence de la série ∑ λa n z n est R si λ ≠ 0, ∞ si λ = 0.PreuveIl suffit de rappeler que la somme de deux séries convergentes est une série convergente. Le rayonde la série ∑ (a n + b n )z n peut être beaucoup plus grand que min{R, R ′ } (prenez b n = −a n = 1pour tout n par exemple).On sait que les termes de degré au plus n du produit de deux polynômes de degré n: P (z) =a 0 + a 1 z + ... + a n z n et Q(z) = b 0 + b 1 z + ... + b n z n sont de la forme c p z p avecOn pose doncc p = a 0 b p + a 1 b p−1 + ... + a p b 0 .Définition (Produit de deux séries entières)Le produit des deux séries entières ∑ a n z n et ∑ b n z n est la série entière ∑ c n z n oùc n = a 0 b n + a 1 b n−1 + ... + a n b 0∀n.Proposition (Produit de deux séries entières)Soit ∑ a n z n une série entière de rayon de convergence R et ∑ b n z n une série entière de rayonde convergence R ′ . Alors la série entière ∑ c n z n produit de ces séries a un rayon de convergenceR ′′ tel que R ′′ ≥ min{R, R ′ }.De plus pour tout z tel que |z| < min{R, R ′ }, on a:(+∞∑+∞) (∑+∞)∑c n z n = a n z n b n z n .n=0n=0n=0PreuveOn montre que la série ∑ c n z n est absolument convergente si |z| < min{R, R ′ }. En fait pources z, les deux séries ∑ a n z n et ∑ b n z n sont absolument convergentes, donc il existe M et M ′ telsque pour tout N:N∑N∑|a n ||z| n ≤ M, |b n ||z| n ≤ M ′ .Mais alors, pour tout N,n=0N∑|c n ||z| n =n=0≤≤n=0N∑|a n b 0 + . . . + a 0 b n ||z| nn=0N∑|a n ||b 0 ||z| n + . . . + |a 0 ||b n ||z| nn=0N∑ ∑N|a p ||z| p |b q ||z| q ≤ MM ′ .p=04q=0

La série ∑ c n z n est donc bien absolument convergente.4. Fonctions holomorphesDéfinition et Proposition (Série dérivée)Soit ∑ a n z n une série entière. On appelle série dérivée de cette série la série ∑ (n + 1)a n+1 z n .Si R est le rayon de convergence de la série ∑ a n z n , alors le rayon de convergence de sa sériedérivée est encore R.PreuveSoit r < R et r ′ tel que r < r ′ < R. La suite ((n + 1)|a n+1 |r n ) est majorée par:( r) n 1(n + 1)|a n+1 |r n = (n + 1)r ′ r ′ |a n+1|r ′ n+1 ≤ M|an+1 |r ′ n+1si M est un majorant de la suite ((n + 1) ( rr ′ ) n 1r ′ ) qui tend vers 0. Donc la suite ((n + 1)|a n+1 |r n )est bornée, le rayon de convergence R ′ de la série dérivée est tel que R ′ ≥ R.Si maintenant r > R, on sait que la suite (|a n |r n ) n’est pas bornée, donc la suite ((n +1)|a n+1 |r n = 1 r ((n + 1)|a n+1|r n+1 ) n’est pas bornée non plus, R ′ ≤ R, donc R ′ = R.Définition (Fonction holomorphe)Soit f une fonction complexe de la variable complexe. On dit que cette fonction est C-dérivableen un point z 0 s’il existe un nombre complexe noté f ′ (z 0 ) tel que:ou:f(z) − f(z 0 )lim= f ′ (z 0 ),z→z 0 z − z 0∀ε > 0, ∃η > 0 tel que ∀z, 0 < |z − z 0 | < η =⇒f(z) − f(z 0 )∣− f ′ (z 0 )z − z 0∣ < ε.Une fonction C-dérivable en tout point d’un ouvert U de C est dite holomorphe sur U. Lafonction z ↦→ f ′ (z) s’appelle la fonction dérivée de fSi on note z = x + iy, on peut considérer la fonction f comme une fonction F de U ⊂ R 2 dansR 2 en posant f(x + iy) = P (x, y) + iQ(x, y) ou :F (x, y) =[ ]P (x, y).Q(x, y)Dire que f ′ (z 0 ) = a + ib est la dérivée de f en z 0 = x 0 + iy[ 0 , c’est ] dire que F est différentiablea −ben (x 0 , y 0 ) et que sa matrice jacobienne en ce point est J = . En effet, d’une part |z| =]∥b a[ ]√ x2 + y 2 = ∥ x ∥∥∥ h∥[, d’autre part fy ′ (z 0 )(h + ik) = (a + ib)(h + ik) = ah − bk + i(ak + bh) = J .kDonc0 = limf(z 0 + (h + ik)) − f(z 0 )|h+ik|→0∣− (a + ib)h + ik∣∥ [ ]∥1 ∥∥∥= lim ]∥ h ∥∥∥]∥ ∥ h ∥∥∥ ∥ h ∥∥∥F (x 0 + h, y 0 + k) − F (x 0 , y 0 ) − J .k→0∥[∥[k k5

Ce qui veyt dire que F est différentiable en (x 0 , y 0 ) et que sa matrice jacobienne est J, ou:⎧∂P⎪⎨∂x (x ∂P0, y 0 ) = a,∂y (x 0, y 0 ) = −b⎪⎩∂Q∂x (x ∂Q0, y 0 ) = b,∂y (x 0, y 0 ) = aJ est la matrice d’une similitude directe (composée d’une dilatation et d’une rotation). Lesfonctions P et Q ne sont pas quelconques, elles vérifient:⎧∂P⎪⎨∂x (x 0, y 0 )⎪⎩∂P∂y (x 0, y 0 )= ∂Q∂y (x 0, y 0 )= − ∂Q∂x (x 0, y 0 )Théorème (La somme d’une série entière est holomorphe)Soit ∑ a n z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Alors la fonction f définie surU = D(0, R) par:∞∑f(z) = a n z nn=0est holomorphe sur U et sa fonction dérivée est:∞∑f ′ (z) = na n−1 z n−1 .n=1En particulier f et f ′ sont continues sur D(0, R)PreuveRemarquons d’abord qu’on ne peut pas utiliser le théorème de convergence uniforme de la suitedes dérivées réelles vu au premier chapitre car on parle ici de dérivée complexe et en fait la notionde C-dérivabilité est très différente et beaucoup plus contraignante que la notion de R-dérivabilitéou même de différentiabilité sur R 2 , comme on le verra plus loin.Montrons donc directement le théorème. On se place en z 0 tel que |z 0 | < R, on choisit r et r ′avec |z 0 | < r < r ′ < R. On calcule:f(z) − f(z 0 )z − z 0−∞∑n=1Le terme d’ordre n = 1 s’annule, il reste:f(z) − f(z 0 )∞∑− na n−1 z0 n−1 =z − z 0n=1na n−1 z n−10 =∞∑n=2= (z − z 0 )∞∑n=1a n(z n − z n 0 )z − z 0− na n z n−10 .(a n z n−1 + z n−2 z 0 + . . . + z0 n−1 − nz0n−1 )∞∑n=2∑(n − k)z k−1 z n−k−1a nn−1k=10 .Si on fait tendre z vers z 0 , on peut se restreindre aux z tels que |z| < r. Alors la série∑n a ∑ n−1n k=1 (n − k)zk−1 z0 n−k−1 est absolument convergente puisque son terme général est majorépar:n−1∑|a n | (n − k)r n−2 n(n − 1)= |a n | r n−2 n(n − 1)( r) n−2= |an22 r ′ |r ′ n−2 ,k=16

que n(n−1)2prouvé que:( rr ′ ) n−2→ 0 et que |an |r ′ n−2 est le terme général d’une série convergente. On a doncf(z) − f(z 0 )∣ z − z 0−∞∑n=1na n−1 z n−10∞∑∣ ≤ |z − z 0|n=2n−1∑|a n |k=1kr n−2 = |z − z 0 |M(r).En faisant tendre |z − z 0 | vers 0, on obtient le théorème.En fait la réciproque est vraie: toute fonction holomorphe sur un ouvert U est développable ensérie entière au voisinage de chacun des points z de U.CorollaireSi f est la somme d’une série entière ∑ a n z n , de rayon de convergence R > 0, alors f estindéfiniment C-dérivable eta n = f (n) (0)∀n.n!PreuveC’est clair, puisqu’on vient de voir que f ′ (z) est la somme d’une série entière de même rayonde convergence que f. On peut donc recommencer k fois et on obtient:f (k) (z) = ∑ n≥kn(n − 1) . . . (n − k + 1)a n z n ,donc f (k) (0) = k!a k .5. Formule de CauchyThéorème (Formule de Cauchy)Soit f : D(0, R) −→ C une fonction holomorphe sur D(0, R) et telle que la fonction dérivée f ′de f soit continue sur D(0, R). C’est en particulier le cas si f(z) = ∑ n≥0 a nz n est la somme d’unesérie entière de rayon de convergence R. Soit 0 < r < R alors pour tout z de D(0, r),f(z) = r ∫ 2πf(re it )2π 0 re it − z eit dt.Ce théorème est un point essentiel de la théorie des fonctions holomorphes. Il est en fait vraimême si on ne suppose pas f ′ continue.PreuvePour tout x ∈ [0, 1], on pose:ϕ(x) = r ∫ 2π2π 0f ( z + x(re it − z) )re it − ze it dt.Remarquons que la fonction f étant continuement C-dérivable, la fonctionψ : (x, t) ↦→ f ( z + x(re it − z) )7

de [0, 1] dans C est différentiable. Sa dérivée partielle en x est:∂ψ f ( z + (x + h)(re it − z) ) − f ( z + x(re it − z) )(x) = lim∂x h→0h= limh→0f ( z + (x + h)(re it − z) ) − f ( z + x(re it − z) )h(re it − z)= f ′ ( z + x(re it − z) ) (re it − z).h(re it − z)hMaintenant on intègre sur le compact [0, 2π] la fonction ψ(x,t)re it −z eit dont la dérivée est continue,on a donc:ϕ ′ (x) = r ∫ 2π2π 0∂∂xψ(x, t)re it − z eit dt = r ∫ 2πf ′ ( z + x(re it − z) ) e it dt.2π 0Mais d’autre part, la dérivée partielle de ψ par rapport à t est:Donc pour tout x ∈]0, 1[:Finalement, on a donc ϕ(1) = ϕ(0) ou:∫r 2π2π 0∂∂t ψ(x, t) = f ′ ( z + x(re it − z) ) xrie it .ϕ ′ (x) = 1 ∫ 2π∂1ψ(x, t) dt = [ψ(x, t)]t=2πt=0= 0.2πix 0 ∂t 2πixf(re it )re it − z eit dt = r ∫ 2π2π 0Calculons cette dernière intégrale. On a |z| < r donc:f(z)re it − z eit dt = f(z) 1 ∫ 2π2π 0re it∞re it − z = 11 − ( ze−it ) = ∑( ) ze−it n,rrn=0re itre it − z dt.Cette série converge normalement sur [0, 2π], donc on peut inverser l’intégrale et la somme et:Cela prouve notre théorème.∫1 2πre it∞2π 0 re it − z dt = ∑n=0( zr) n∫ 1 2πe −int dt = 1.2π 0Définition (Intégrale le long d’un chemin)Soit γ : [a, b] −→ C une chemin c’est à dire une application continue, de classe C 1 par morceaux.Soit f une fonction complexe de la variable complexe z, définie et continue sur un ouvert U de Ccontenant l’image γ ∗ = γ(|a, b]) de γ. On appelle intégrale de f le long de γ et on note ∫ f(ζ) dζγle nombre complexe:∫∫ bf(ζ) dζ = f(γ(t)) γ ′ (t) dt.γa8

Par exemple dans la formule de Cauchy, comme γ(t) = re it parcourt le cercle Γ r de centre 0 etde rayon r, lorsque t varie de 0 à 2π on écrit la formule de Cauchy sous la forme:f(z) = 1 ∫f(ζ)2iπ ζ − z dζ = 1 ∫f(ζ)2iπ ζ − z dζ,en sous-entendant que le cercle est parcouru dans le sens positif.γCorollaire (Une fonction holomorphe est développable en série entière en tout point)Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C et telle que la dérivée f ′ de f soit continue.Soit z 0 un point de U et R > 0 tel que D(z 0 , R) ⊂ U. Alors sur D(z 0 , R), f s’écrit:f(z) =Γ r∞∑a n (z − z 0 ) n ,n=0le rayon de convergence de cette série est au moins R.PreuveOn pose g(z) = f(z + z 0 ) Alors g est définie et continuement C-dérivable sur D(0, R). On écritdonc la formule de Cauchy:g(z) = 1 ∫ 2πf(re it re it)2iπre it − z dt= 12iπ= 12iπ∞∑=n=00∫ 2π0∫ 2π0z n [ 12iπf(re it 1)1 − ( ze−itr) dt∞∑( ) zef(re it −it n)dtrn=0∫ 2π0f(re it ) e−intr n]dt =∞∑a n z n ,La série converge en effet normalement sur [0, 2π], donc on peut inverser l’intégrale et la somme.La série converge pour tout z tel que |z| < r. Son rayon de convergence est donc au moins R.On en déduit que∞∑f(z) = g(z − z 0 ) = a n (z − z 0 ) n ,On dit que la fonction f est analytique sur U.n=06. Principe des zéros isolés, théorème de LiouvilleThéorème (Principe des zéros isolés)Soit ∑ a n z n une série entière de rayon de convergence positif et f sa somme:f(z) =∞∑a n z n .n=09n=0

S’il existe une suite (z p ) de nombres non nuls tels que z p → 0 et f(z p ) = 0 pour tout p, alorsa n = 0 quel que soit n.PreuveSupposons que les a n ne soient pas tous nuls et soit q le premier indice tel que a q ≠ 0. Alors:f(z) =∞∑a n z n = z qn=q∞ ∑n=0a q+n z n ,la série ∑ a q+n z n a même rayon de convergence que la série définissant f. Sa sommeg(z) =∞∑a q+n z n ,n=0est donc continue en 0. Comme z p ≠ 0 et f(z p ) = zpg(z q p ) = 0, on a g(z p ) = 0 pour tout p,par continuité g(0) = a q = 0, ce qui est absurde donc tous les a n sont nuls, f est la fonctionidentiquement nulle.Si f et g sont les sommes de deux séries entières ∑ a n z n et ∑ b n z n qui coïncident au voisinagede 0 f(z) = g(z) si |z| est petit, alors les séries f et g coïncident (a n = b n ).Corollaire (Cas des fonctions holomorphes sur U)Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe U. Si l’ensemble des points de U où fs’annule a une valeur d’adhérence dans U alors f = 0 sur U.PreuveUn point z tl que f(z) = 0 est appelé un zéro de f. Dire que l’ensemble des zéros de f dans Ua un point d’accumulation danns U, c’est dire qu’il existe une suite (z n ) de points de U tels quef(z n ) = 0 et s n → w avec w ∈ U. Mais alors, on peut développer g(z) = f(w + z) en série entièreau voisinage de 0 (sur D(0, R)) et d’après le principe des zéros isolés, tous les coefficients de cettesérie sont nuls, f(z) = 0 si |z − w| < R.Maintenant soit V l’ensemble des zéros non isolés de f, c’est à dire l’ensemble des w de U telsqu’il existe R > 0 tel que f(z) = 0 pour tout z de D(w, R). Cet ensemble n’est pas vide. Si w ∈ V ,tout point z de D(w, R) est dans V , V est ouvert. Soit z n une suite de points de V qui tend versw ∈ U. Si {z n } est fini, la suite est stationnaire et w = z N est dans V , sinon, on vient de voir quew ∈ V . Donc V est fermé dans U. U étant connexe, V = U et f = 0.Lemme (Formule de Cauchy revisitée)Soit f holomorphe dans U, z 0 un point de U, D(z 0 , R) un disque de centre z 0 , inclus dans U,0 < r < R et γ r le cercle γ r (t) = z 0 + re it . Le développement de f dans D(z 0 , R) s’écrit:f(z) =∞∑a n (z − z 0 ) n ,n=0alors, pour tout k,a k = 12πr k ∫ 2π0f(z 0 + re it )e −ikt dt.10

PreuveC’est clair puisqu’on a pour tout t:f(z 0 + re it ) =∞∑a n r n e intn=0et que cette série converge normalement (en t), donc:∫ 2π0f(z 0 + re it )e −ikt dt =∫ 2π0∞∑a n r n e int e −ikt dt =n=0∞∑∫ 2πa n r n e i(n−k)t dt = 2πa k r k .n=00Théorème de Liouville (Une fonction entière et bornée est constante)Soit f une fonction holomoprhe sur tout C (on dit que f est entière) et bornée alors f estconstante.Preuvef se développe en 0 en f(z) = ∑ ∞n=0 a ,z n , le rayon de convergence de cette série est infini. Ilexiste M tel que |f(z)| ≤ M pour tout z de C.Soit r > 0, on écrit la formule ci-dessus en 0:Donc:a k = 12πr k ∫ 2π0|a k | ≤ 12πr k ∫ 2π0f(re it )e −ikt dt.|f(re it )| dt ≤ M r k .Ceci est vrai pour tout r > 0, donc si k > 0, si on fait tendre r vers l’infini, on voit que a k = 0pour tout k > 0,f(z) = a 0pour tout z, f est constante.Corollaire 1 (Le théorème de d’Alembert-Gauss)Tout polynôme non constant P à coefficient complexe a aumoins une racine.PreuveOn suppose que le polynômene s’annule pas. Alors la fonctionP (z) = a 0 + a 1 z + . . . + a n z n (n > 0, a n ≠ 0)f(z) = 1P (z)est bien définie sur C et dérivable en tout point. Le calcul usuel donne:f ′ (z 0 ) = − P ′ (z 0 )P 2 (z 0 ) .11

f est donc une fonction entière.Montrons que f est bornée. D’abord si |z| tend vers l’infini, on peut écrire, comme en secondeannée:1f(z) = ( )a n z n a0a n z+ a n 1a n z+ . . . + a n−1n−1a n z + 1donc lim |z|→∞ |f(z)||z| n = 1|a n | et lim |z|→∞ |f(z)| = 0. On peut donc trouver R > 0 tel que |z| > Rimplique |f(z)| ≤ 1.Maintenant, f est continue donc bornée sur le compact D(0, R). Il existe M > 0 tel quesup |z|≤R |f(z)| ≤ M. Soit:sup |f(z)| ≤ max 1, M.z∈CLe théorème de Liouville nous dit que f est constante. Donc P = 1 faussi, ce qui est absurde.P a au moins une racine.Ce théorème est fondamental en algèbre. Il n’existe pas de preuve complètement algèbrique dece résultat.Corollaire 2 (Principe du maximum)Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U, on suppose que la dérivée de f est continuesur U. On appelle maximum de f un maximum de la fonction z ↦→ |f(z)|. On appelle maximumlocal un maximum de la fonction z ↦→ |f(z)| sur un disque ouvert D(z 0 , R) ⊂ U.Alors, sur un ouvert U connexe, une fonction f non constante n’a pas de maximum local.En particulier, si f est définie sur U et si D(z 0 , R) ⊂ U, si f n’est pas constante sur D(z 0 , R),alors tous les points z tels que:|f(z)| =sup |f(w)| sont sur le bord du disque: |w − z 0 | = R.|w−z 0 |≤RPreuveSupposons que z 0 soit un masimum local de f, c’est à dire qu’il existe R > 0 tel que D(z 0 , R) ⊂ Uet |f(z)| ≤ |f(z 0 )| pour tout z de D(z 0 , R). Alors f est développable en série entière de rayon deconvergence au moins R au voisinage de z 0 ou:∞∑f(z 0 + w) = a n w n (|w| < R).n=0Dire que f n’est pas constante sur U, c’est dire que f − a 0 a des zéros isolés sur U, donc que fn’est pas constante sur D(0, R): il existe n > 0 tel que a n ≠ 0. On peut écrire pour tout r < R,∞∑f(z 0 + re it ) = a n r n e int .Comme cette série converge normalement en t ∈ [0, 2π], le développement qui est écrit ici est lasérie de Fourier de la fonction ϕ : t ↦→ f(z 0 + re it ):c k (ϕ) = 1 ∫ πf(z 0 + re it ) e −ikt dt = 1 ∫ π ∞∑a n r n e int e −ikt dt2π −π2π −π n=0∞∑= a n r n 1 ∫ πe i(n−k)t dt = a k r k .2πn=0−π12n=0

On peut donc appliquer Parseval:|f(z 0 )| 2 = |a 0 | 2 ≤∞∑n=0|a n | 2 r 2n = 1 ∫ π|f(z 0 + re it )| 2 dt ≤ 1 ∫ π|f(z 0 )| 2 dt = |f(z 0 )| 2 .2π −π2π −πDonc a n = 0 pour tout n ≥ 1 et f est constante sur D(z 0 , R), ce qui est absurde.13