Séries enti`eres, fonctions holomorphes - Institut de mathématiques ...

Ce qui veyt dire que F est différentiable en (x 0 , y 0 ) et que sa matrice jacobienne est J, ou:⎧∂P⎪⎨∂x (x ∂P0, y 0 ) = a,∂y (x 0, y 0 ) = −b⎪⎩∂Q∂x (x ∂Q0, y 0 ) = b,∂y (x 0, y 0 ) = aJ est la matrice d’une similitude directe (composée d’une dilatation et d’une rotation). Lesfonctions P et Q ne sont pas quelconques, elles vérifient:⎧∂P⎪⎨∂x (x 0, y 0 )⎪⎩∂P∂y (x 0, y 0 )= ∂Q∂y (x 0, y 0 )= − ∂Q∂x (x 0, y 0 )Théorème (La somme d’une série entière est holomorphe)Soit ∑ a n z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Alors la fonction f définie surU = D(0, R) par:∞∑f(z) = a n z nn=0est holomorphe sur U et sa fonction dérivée est:∞∑f ′ (z) = na n−1 z n−1 .n=1En particulier f et f ′ sont continues sur D(0, R)PreuveRemarquons d’abord qu’on ne peut pas utiliser le théorème de convergence uniforme de la suitedes dérivées réelles vu au premier chapitre car on parle ici de dérivée complexe et en fait la notionde C-dérivabilité est très différente et beaucoup plus contraignante que la notion de R-dérivabilitéou même de différentiabilité sur R 2 , comme on le verra plus loin.Montrons donc directement le théorème. On se place en z 0 tel que |z 0 | < R, on choisit r et r ′avec |z 0 | < r < r ′ < R. On calcule:f(z) − f(z 0 )z − z 0−∞∑n=1Le terme d’ordre n = 1 s’annule, il reste:f(z) − f(z 0 )∞∑− na n−1 z0 n−1 =z − z 0n=1na n−1 z n−10 =∞∑n=2= (z − z 0 )∞∑n=1a n(z n − z n 0 )z − z 0− na n z n−10 .(a n z n−1 + z n−2 z 0 + . . . + z0 n−1 − nz0n−1 )∞∑n=2∑(n − k)z k−1 z n−k−1a nn−1k=10 .Si on fait tendre z vers z 0 , on peut se restreindre aux z tels que |z| < r. Alors la série∑n a ∑ n−1n k=1 (n − k)zk−1 z0 n−k−1 est absolument convergente puisque son terme général est majorépar:n−1∑|a n | (n − k)r n−2 n(n − 1)= |a n | r n−2 n(n − 1)( r) n−2= |an22 r ′ |r ′ n−2 ,k=16