Séries enti`eres, fonctions holomorphes - Institut de mathématiques ...

Grâce à Cauchy, si la limite suivante existe:limn→∞√n|an | = l(fini ou infini),alors R = 1 l(R = 0 si l est infini, R = ∞ si l = 0).Ceci donne les convergences des exemples de 1.Prouvons par exemple Cauchy: si lim √ nn→∞ |a n | = l > 0, alors si r < 1 l , la suite ( n√ |a n |r tendvers lr < 1, les termes de la suite sont donc inférieurs à 1 à partir d’un certain rang, donc à partird’un certain rang |a n r n | < 1 et la suite (a n r n ) est majorée, r ∈ I, donc 1 l ≤ R.Si r > 1 l , la suite ( n√ |a n |r tend vers lr > 1, les termes de la suite sont donc supérieurs à α > 1à partir d’un certain rang, la suite (a n r n ) tend vers l’infini, n’est pas majorée, r /∈ I, donc 1 l ≥ R.De façon générale, on a la formule d’Hadamard.Proposition (Formule d’Hadamard)Si { n√ |a n |} est borné, posonsl = lim sup{ n√ √)|a n |} = inf(sup{ p |a p |, p ≥ n} ,nnsinon, posons l = +∞. Alors on a:R = 1 l .PreuveSupposons que l est fini et positif. Soit r < 1 l , ou 1 r> l, il existe N tel quesup{ p √|a p |, p ≥ N} < 1 r .Donc∀p ≥ N,√p|a p |r p < 1, |a p r p | < 1,la suite (|a n |r n ) est bornée et r ∈ I. Donc 1 l ≤ R.Si r > 1 l , soit r′ tel que r > r ′ > 1 l . Alors l > 1 r, pour tout n, sup{ p√ |a ′ p |,existe p n tel que√pnp n ≥ n et |a pn |r ′p n > 1, |apn |r ′p n> 1.p ≥ n} > 1 r ′ , ila:On construit par récurrence une suite (p k ) telle que p k+1 > p k pour tout k et |a pk |r ′p k|a pk |r p k>( rr ′ ) pk|apk |r ′p k>( rr ′ ) pk→ +∞> 1. Onet la suite (|a n |r n ) n’est pas bornée, r /∈ I. Donc 1 l ≥ R.Les cas l = 0 ou l = ∞ se démontrent de même, mais il n’y a qu’une inégalité à prouver.3. Opérations sur les séries entièresProlongeons à R l’ordre sur R en posant a < ∞ pour tout a de R. On peut alors parler demin{R, R ′ }, max{R, R ′ } si R et R ′ sont réels ou ∞.3