Séries enti`eres, fonctions holomorphes - Institut de mathématiques ...

PreuveC’est clair puisqu’on a pour tout t:f(z 0 + re it ) =∞∑a n r n e intn=0et que cette série converge normalement (en t), donc:∫ 2π0f(z 0 + re it )e −ikt dt =∫ 2π0∞∑a n r n e int e −ikt dt =n=0∞∑∫ 2πa n r n e i(n−k)t dt = 2πa k r k .n=00Théorème de Liouville (Une fonction entière et bornée est constante)Soit f une fonction holomoprhe sur tout C (on dit que f est entière) et bornée alors f estconstante.Preuvef se développe en 0 en f(z) = ∑ ∞n=0 a ,z n , le rayon de convergence de cette série est infini. Ilexiste M tel que |f(z)| ≤ M pour tout z de C.Soit r > 0, on écrit la formule ci-dessus en 0:Donc:a k = 12πr k ∫ 2π0|a k | ≤ 12πr k ∫ 2π0f(re it )e −ikt dt.|f(re it )| dt ≤ M r k .Ceci est vrai pour tout r > 0, donc si k > 0, si on fait tendre r vers l’infini, on voit que a k = 0pour tout k > 0,f(z) = a 0pour tout z, f est constante.Corollaire 1 (Le théorème de d’Alembert-Gauss)Tout polynôme non constant P à coefficient complexe a aumoins une racine.PreuveOn suppose que le polynômene s’annule pas. Alors la fonctionP (z) = a 0 + a 1 z + . . . + a n z n (n > 0, a n ≠ 0)f(z) = 1P (z)est bien définie sur C et dérivable en tout point. Le calcul usuel donne:f ′ (z 0 ) = − P ′ (z 0 )P 2 (z 0 ) .11