Séries enti`eres, fonctions holomorphes - Institut de mathématiques ...

La série ∑ c n z n est donc bien absolument convergente.4. Fonctions holomorphesDéfinition et Proposition (Série dérivée)Soit ∑ a n z n une série entière. On appelle série dérivée de cette série la série ∑ (n + 1)a n+1 z n .Si R est le rayon de convergence de la série ∑ a n z n , alors le rayon de convergence de sa sériedérivée est encore R.PreuveSoit r < R et r ′ tel que r < r ′ < R. La suite ((n + 1)|a n+1 |r n ) est majorée par:( r) n 1(n + 1)|a n+1 |r n = (n + 1)r ′ r ′ |a n+1|r ′ n+1 ≤ M|an+1 |r ′ n+1si M est un majorant de la suite ((n + 1) ( rr ′ ) n 1r ′ ) qui tend vers 0. Donc la suite ((n + 1)|a n+1 |r n )est bornée, le rayon de convergence R ′ de la série dérivée est tel que R ′ ≥ R.Si maintenant r > R, on sait que la suite (|a n |r n ) n’est pas bornée, donc la suite ((n +1)|a n+1 |r n = 1 r ((n + 1)|a n+1|r n+1 ) n’est pas bornée non plus, R ′ ≤ R, donc R ′ = R.Définition (Fonction holomorphe)Soit f une fonction complexe de la variable complexe. On dit que cette fonction est C-dérivableen un point z 0 s’il existe un nombre complexe noté f ′ (z 0 ) tel que:ou:f(z) − f(z 0 )lim= f ′ (z 0 ),z→z 0 z − z 0∀ε > 0, ∃η > 0 tel que ∀z, 0 < |z − z 0 | < η =⇒f(z) − f(z 0 )∣− f ′ (z 0 )z − z 0∣ < ε.Une fonction C-dérivable en tout point d’un ouvert U de C est dite holomorphe sur U. Lafonction z ↦→ f ′ (z) s’appelle la fonction dérivée de fSi on note z = x + iy, on peut considérer la fonction f comme une fonction F de U ⊂ R 2 dansR 2 en posant f(x + iy) = P (x, y) + iQ(x, y) ou :F (x, y) =[ ]P (x, y).Q(x, y)Dire que f ′ (z 0 ) = a + ib est la dérivée de f en z 0 = x 0 + iy[ 0 , c’est ] dire que F est différentiablea −ben (x 0 , y 0 ) et que sa matrice jacobienne en ce point est J = . En effet, d’une part |z| =]∥b a[ ]√ x2 + y 2 = ∥ x ∥∥∥ h∥[, d’autre part fy ′ (z 0 )(h + ik) = (a + ib)(h + ik) = ah − bk + i(ak + bh) = J .kDonc0 = limf(z 0 + (h + ik)) − f(z 0 )|h+ik|→0∣− (a + ib)h + ik∣∥ [ ]∥1 ∥∥∥= lim ]∥ h ∥∥∥]∥ ∥ h ∥∥∥ ∥ h ∥∥∥F (x 0 + h, y 0 + k) − F (x 0 , y 0 ) − J .k→0∥[∥[k k5