Séries enti`eres, fonctions holomorphes - Institut de mathématiques ...

Par exemple dans la formule de Cauchy, comme γ(t) = re it parcourt le cercle Γ r de centre 0 etde rayon r, lorsque t varie de 0 à 2π on écrit la formule de Cauchy sous la forme:f(z) = 1 ∫f(ζ)2iπ ζ − z dζ = 1 ∫f(ζ)2iπ ζ − z dζ,en sous-entendant que le cercle est parcouru dans le sens positif.γCorollaire (Une fonction holomorphe est développable en série entière en tout point)Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C et telle que la dérivée f ′ de f soit continue.Soit z 0 un point de U et R > 0 tel que D(z 0 , R) ⊂ U. Alors sur D(z 0 , R), f s’écrit:f(z) =Γ r∞∑a n (z − z 0 ) n ,n=0le rayon de convergence de cette série est au moins R.PreuveOn pose g(z) = f(z + z 0 ) Alors g est définie et continuement C-dérivable sur D(0, R). On écritdonc la formule de Cauchy:g(z) = 1 ∫ 2πf(re it re it)2iπre it − z dt= 12iπ= 12iπ∞∑=n=00∫ 2π0∫ 2π0z n [ 12iπf(re it 1)1 − ( ze−itr) dt∞∑( ) zef(re it −it n)dtrn=0∫ 2π0f(re it ) e−intr n]dt =∞∑a n z n ,La série converge en effet normalement sur [0, 2π], donc on peut inverser l’intégrale et la somme.La série converge pour tout z tel que |z| < r. Son rayon de convergence est donc au moins R.On en déduit que∞∑f(z) = g(z − z 0 ) = a n (z − z 0 ) n ,On dit que la fonction f est analytique sur U.n=06. Principe des zéros isolés, théorème de LiouvilleThéorème (Principe des zéros isolés)Soit ∑ a n z n une série entière de rayon de convergence positif et f sa somme:f(z) =∞∑a n z n .n=09n=0