Séries enti`eres, fonctions holomorphes - Institut de mathématiques ...

que n(n−1)2prouvé que:( rr ′ ) n−2→ 0 et que |an |r ′ n−2 est le terme général d’une série convergente. On a doncf(z) − f(z 0 )∣ z − z 0−∞∑n=1na n−1 z n−10∞∑∣ ≤ |z − z 0|n=2n−1∑|a n |k=1kr n−2 = |z − z 0 |M(r).En faisant tendre |z − z 0 | vers 0, on obtient le théorème.En fait la réciproque est vraie: toute fonction holomorphe sur un ouvert U est développable ensérie entière au voisinage de chacun des points z de U.CorollaireSi f est la somme d’une série entière ∑ a n z n , de rayon de convergence R > 0, alors f estindéfiniment C-dérivable eta n = f (n) (0)∀n.n!PreuveC’est clair, puisqu’on vient de voir que f ′ (z) est la somme d’une série entière de même rayonde convergence que f. On peut donc recommencer k fois et on obtient:f (k) (z) = ∑ n≥kn(n − 1) . . . (n − k + 1)a n z n ,donc f (k) (0) = k!a k .5. Formule de CauchyThéorème (Formule de Cauchy)Soit f : D(0, R) −→ C une fonction holomorphe sur D(0, R) et telle que la fonction dérivée f ′de f soit continue sur D(0, R). C’est en particulier le cas si f(z) = ∑ n≥0 a nz n est la somme d’unesérie entière de rayon de convergence R. Soit 0 < r < R alors pour tout z de D(0, r),f(z) = r ∫ 2πf(re it )2π 0 re it − z eit dt.Ce théorème est un point essentiel de la théorie des fonctions holomorphes. Il est en fait vraimême si on ne suppose pas f ′ continue.PreuvePour tout x ∈ [0, 1], on pose:ϕ(x) = r ∫ 2π2π 0f ( z + x(re it − z) )re it − ze it dt.Remarquons que la fonction f étant continuement C-dérivable, la fonctionψ : (x, t) ↦→ f ( z + x(re it − z) )7