Une théorie continue pour les équilibres de Wardrop : jeux, calcul ...

Modèles Discrets
Modèles Continus
Divergence Fixée et EDP
Dualité et discretisation
Une théorie continue
pour les équilibres de Wardrop :
jeux, calcul des variations, EDP et numérique
Filippo Santambrogio
Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud
http://www.math.u-psud.fr/∼santambr/
Dijon, 28 mars 2012 – Journées MODE
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Dualité et discretisation
1 Modèles discrets pour le trafic congestionné
Equilibres de Nash - Wardrop
Optimisation convexe
2 Modèles continus (avec G. Carlier et C. Jimenez)
Intensité de trafic
Equilibre et transport optimal
3 Equivalence avec un problème sous contrainte de divergence
(avec L. Brasco et G. Carlier, puis avec V. Vespri)
Intensité de trafic vectorielle et scalaire
Flots plus ou moins réguliers
EDP elliptiques très dégénérées
4 Problème dual et simulations numériques
(avec F. Benmansour, G. Carlier et G. Peyré)
Dualité
Discrétisation par Fast Marching
Simulations
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Modèles discrets
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L’idée
Supposons que deux routes mènent d’une même ville à une autre : l’une
est une autoroute toute droite, l’autre un chemin campagnard plus long.
Si tout le monde choisis la première, elle sera bientôt remplie et donc
moins efficace que l’autre. Au lendemain, tout le monde changera d’avis
et empruntera l’autre. Et ça sera encore pire !
Y a-t-il un équilibre
Est-ce que l’équilibre garantit le moindre temps de parcours (moyen ).
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L’idée
Supposons que deux routes mènent d’une même ville à une autre : l’une
est une autoroute toute droite, l’autre un chemin campagnard plus long.
Si tout le monde choisis la première, elle sera bientôt remplie et donc
moins efficace que l’autre. Au lendemain, tout le monde changera d’avis
et empruntera l’autre. Et ça sera encore pire !
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L’idée
Supposons que deux routes mènent d’une même ville à une autre : l’une
est une autoroute toute droite, l’autre un chemin campagnard plus long.
Si tout le monde choisis la première, elle sera bientôt remplie et donc
moins efficace que l’autre. Au lendemain, tout le monde changera d’avis
et empruntera l’autre. Et ça sera encore pire !
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Est-ce que l’équilibre garantit le moindre temps de parcours (moyen ).
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L’idée
Supposons que deux routes mènent d’une même ville à une autre : l’une
est une autoroute toute droite, l’autre un chemin campagnard plus long.
Si tout le monde choisis la première, elle sera bientôt remplie et donc
moins efficace que l’autre. Au lendemain, tout le monde changera d’avis
et empruntera l’autre. Et ça sera encore pire !
Y a-t-il un équilibre
Est-ce que l’équilibre garantit le moindre temps de parcours (moyen ).
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Ingrédients
Un graphe fini avec des arrêtes e ∈ E, un ensemble S de sources et
D de destinations,
l’ensemble C(s, d) = {σ de s à d} des chemins possibles de s à d,
une demande γ(s, d) qui donne la quantité de gens qui se rendent
de s ∈ S à d ∈ D,
une stratégie de repartition inconnue (ce que l’on cherche)
q = (q σ ) σ telle que ∑ σ∈C(s,d) q σ = γ(s, d),
une intensité de trafic qui en découle (et qui dépend de q)
i q = (i q (e)) e donnée par i q (e) = ∑ e∈σ q σ,
une fonction croissante g : R + → R + telle que g(i q (e)) modélise le
coût (par unité de longueur) de l’arrête e, si soumis à congestion,
le coût de chaque chemin σ, donné par
c(σ) = ∑ e∈σ g(i q(e)) long(e).
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Divergence Fixée et EDP
Dualité et discretisation
Equilibres de Wardrop
La stratégie globale q représente la distribution des choix des voyageurs.
Imposer un équilibre de Nash (personne ne veut changer d’avis si les
autres ne changent pas) donne lieu à la condition :
σ ∈ C(s, d), q σ > 0 ⇒ c(σ) = min{c(˜σ) : ˜σ ∈ C(s, d)}.
Cette condition est bien connue sous le nom d’équilibre de Wardrop.
L’existence d’au moins un équilibre vient du principe variationnel
suivant.
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Equilibres de Wardrop
La stratégie globale q représente la distribution des choix des voyageurs.
Imposer un équilibre de Nash (personne ne veut changer d’avis si les
autres ne changent pas) donne lieu à la condition :
σ ∈ C(s, d), q σ > 0 ⇒ c(σ) = min{c(˜σ) : ˜σ ∈ C(s, d)}.
Cette condition est bien connue sous le nom d’équilibre de Wardrop.
L’existence d’au moins un équilibre vient du principe variationnel
suivant.
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Principe Variationnel
Optimiser un coût global de congestion signifie minimiser une quantité
∑
H(i q (e)) long(e)
e
(H : R + → R + étant une fonction croissante : par exemple, avec
H(t) = tg(t) on trouve le coût total pour tous les voyageurs) parmi
toutes les stratégies possibles q.
Conditions d’optimalité : si q est optimal, alors il est un équilibre de
Wardrop pour g = H ′ .
Pour trouver un équilibre de Wardrop il est donc suffisant résoudre un
problème d’optimisation convexe (où H sera une primitive de g).
Sauf si g(t) = t p , ce problème ne correspond pas à minimiser le coût
total des voyageurs !
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Principe Variationnel
Optimiser un coût global de congestion signifie minimiser une quantité
∑
H(i q (e)) long(e)
e
(H : R + → R + étant une fonction croissante : par exemple, avec
H(t) = tg(t) on trouve le coût total pour tous les voyageurs) parmi
toutes les stratégies possibles q.
Conditions d’optimalité : si q est optimal, alors il est un équilibre de
Wardrop pour g = H ′ .
Pour trouver un équilibre de Wardrop il est donc suffisant résoudre un
problème d’optimisation convexe (où H sera une primitive de g).
Sauf si g(t) = t p , ce problème ne correspond pas à minimiser le coût
total des voyageurs !
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Principe Variationnel
Optimiser un coût global de congestion signifie minimiser une quantité
∑
H(i q (e)) long(e)
e
(H : R + → R + étant une fonction croissante : par exemple, avec
H(t) = tg(t) on trouve le coût total pour tous les voyageurs) parmi
toutes les stratégies possibles q.
Conditions d’optimalité : si q est optimal, alors il est un équilibre de
Wardrop pour g = H ′ .
Pour trouver un équilibre de Wardrop il est donc suffisant résoudre un
problème d’optimisation convexe (où H sera une primitive de g).
Sauf si g(t) = t p , ce problème ne correspond pas à minimiser le coût
total des voyageurs !
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Dualité et discretisation
Formulation avec les mesures
Dans un domaine Ω ⊂ R n la demande est représentée par des probas
γ ∈ P(Ω × Ω). On se donne un ensemble Γ ⊂ P(Ω × Ω) de demandes
admissibles : typiquement Γ = {γ} ou
Posons aussi
Γ = Π(µ, ν) = {γ ∈ P(Ω × Ω) : (π X ) ♯ γ = µ, (π Y ) ♯ γ = ν}.
C = {chemins Lipschitz σ : [0, 1] → Ω}
C(s, d) = {σ ∈ C : σ(0) = s, , σ(1) = d}.
On cherche une proba Q ∈ P(C) telle que (π 0,1 ) ♯ Q ∈ Γ.
On veut définir une intensité de trafic i Q ∈ M + (Ω) telle que
i Q (A) = “combien ” le mouvement se déroule en A . . .
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Formulation avec les mesures
Dans un domaine Ω ⊂ R n la demande est représentée par des probas
γ ∈ P(Ω × Ω). On se donne un ensemble Γ ⊂ P(Ω × Ω) de demandes
admissibles : typiquement Γ = {γ} ou
Posons aussi
Γ = Π(µ, ν) = {γ ∈ P(Ω × Ω) : (π X ) ♯ γ = µ, (π Y ) ♯ γ = ν}.
C = {chemins Lipschitz σ : [0, 1] → Ω}
C(s, d) = {σ ∈ C : σ(0) = s, , σ(1) = d}.
On cherche une proba Q ∈ P(C) telle que (π 0,1 ) ♯ Q ∈ Γ.
On veut définir une intensité de trafic i Q ∈ M + (Ω) telle que
i Q (A) = “combien ” le mouvement se déroule en A . . .
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Formulation avec les mesures
Dans un domaine Ω ⊂ R n la demande est représentée par des probas
γ ∈ P(Ω × Ω). On se donne un ensemble Γ ⊂ P(Ω × Ω) de demandes
admissibles : typiquement Γ = {γ} ou
Posons aussi
Γ = Π(µ, ν) = {γ ∈ P(Ω × Ω) : (π X ) ♯ γ = µ, (π Y ) ♯ γ = ν}.
C = {chemins Lipschitz σ : [0, 1] → Ω}
C(s, d) = {σ ∈ C : σ(0) = s, , σ(1) = d}.
On cherche une proba Q ∈ P(C) telle que (π 0,1 ) ♯ Q ∈ Γ.
On veut définir une intensité de trafic i Q ∈ M + (Ω) telle que
i Q (A) = “combien ” le mouvement se déroule en A . . .
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Formulation avec les mesures
Dans un domaine Ω ⊂ R n la demande est représentée par des probas
γ ∈ P(Ω × Ω). On se donne un ensemble Γ ⊂ P(Ω × Ω) de demandes
admissibles : typiquement Γ = {γ} ou
Posons aussi
Γ = Π(µ, ν) = {γ ∈ P(Ω × Ω) : (π X ) ♯ γ = µ, (π Y ) ♯ γ = ν}.
C = {chemins Lipschitz σ : [0, 1] → Ω}
C(s, d) = {σ ∈ C : σ(0) = s, , σ(1) = d}.
On cherche une proba Q ∈ P(C) telle que (π 0,1 ) ♯ Q ∈ Γ.
On veut définir une intensité de trafic i Q ∈ M + (Ω) telle que
i Q (A) = “combien ” le mouvement se déroule en A . . .
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Intensité de trafic et congestion totale
Pour φ : Ω → R et σ ∈ C posons
Définissons i Q par
L φ (σ) =
∫ 1
0
φ(σ(t))|σ ′ (t)|dt.
∫
< i Q , φ >= L φ (σ)Q(dσ).
C
(P) : Optimisation : on minimise la fonctionnelle convexe
{∫
H(iQ (x))dx si i Q 0).
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Intensité de trafic et congestion totale
Pour φ : Ω → R et σ ∈ C posons
Définissons i Q par
L φ (σ) =
∫ 1
0
φ(σ(t))|σ ′ (t)|dt.
∫
< i Q , φ >= L φ (σ)Q(dσ).
C
(P) : Optimisation : on minimise la fonctionnelle convexe
{∫
H(iQ (x))dx si i Q 0).
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Conditions d’optimalité
Soit Q un minimiseur et ξ = H ′ (i Q
). Pour ξ ≥ 0 posons
c ξ (s, d) =
inf L ξ(σ)
σ∈C(s,d)
(c’est en fait la métrique Riemannienne engendrée par ξ).
γ := (π 0 , π 1 ) # Q minimise ∫ c ξ
dγ sous la contrainte γ ∈ Γ,
Q−p.p. L ξ
(σ) = c ξ
(σ(0), σ(1)).
Donc γ résout un problème de transport (Kantorovitch) et presque
tout chemin est géodesique (c’est donc un équilibre de Wardrop avec
g = H ′ ).
Problème : ξ n’est pas du tout régulier, il est L p′ , que signifie-t-il c ξ
Solutions : travailler dur pour définir c ξ pour ξ ∈ L p′ ou bien prouver de
la régularité. . .
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Conditions d’optimalité
Soit Q un minimiseur et ξ = H ′ (i Q
). Pour ξ ≥ 0 posons
c ξ (s, d) =
inf L ξ(σ)
σ∈C(s,d)
(c’est en fait la métrique Riemannienne engendrée par ξ).
γ := (π 0 , π 1 ) # Q minimise ∫ c ξ
dγ sous la contrainte γ ∈ Γ,
Q−p.p. L ξ
(σ) = c ξ
(σ(0), σ(1)).
Donc γ résout un problème de transport (Kantorovitch) et presque
tout chemin est géodesique (c’est donc un équilibre de Wardrop avec
g = H ′ ).
Problème : ξ n’est pas du tout régulier, il est L p′ , que signifie-t-il c ξ
Solutions : travailler dur pour définir c ξ pour ξ ∈ L p′ ou bien prouver de
la régularité. . .
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Conditions d’optimalité
Soit Q un minimiseur et ξ = H ′ (i Q
). Pour ξ ≥ 0 posons
c ξ (s, d) =
inf L ξ(σ)
σ∈C(s,d)
(c’est en fait la métrique Riemannienne engendrée par ξ).
γ := (π 0 , π 1 ) # Q minimise ∫ c ξ
dγ sous la contrainte γ ∈ Γ,
Q−p.p. L ξ
(σ) = c ξ
(σ(0), σ(1)).
Donc γ résout un problème de transport (Kantorovitch) et presque
tout chemin est géodesique (c’est donc un équilibre de Wardrop avec
g = H ′ ).
Problème : ξ n’est pas du tout régulier, il est L p′ , que signifie-t-il c ξ
Solutions : travailler dur pour définir c ξ pour ξ ∈ L p′ ou bien prouver de
la régularité. . .
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Conditions d’optimalité
Soit Q un minimiseur et ξ = H ′ (i Q
). Pour ξ ≥ 0 posons
c ξ (s, d) =
inf L ξ(σ)
σ∈C(s,d)
(c’est en fait la métrique Riemannienne engendrée par ξ).
γ := (π 0 , π 1 ) # Q minimise ∫ c ξ
dγ sous la contrainte γ ∈ Γ,
Q−p.p. L ξ
(σ) = c ξ
(σ(0), σ(1)).
Donc γ résout un problème de transport (Kantorovitch) et presque
tout chemin est géodesique (c’est donc un équilibre de Wardrop avec
g = H ′ ).
Problème : ξ n’est pas du tout régulier, il est L p′ , que signifie-t-il c ξ
Solutions : travailler dur pour définir c ξ pour ξ ∈ L p′ ou bien prouver de
la régularité. . .
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Dualité et discretisation
Applications
Où utiliser un modèle continu plutôt que des réseaux
1) Dans le mouvement des foules et des pietons, par exemple.
2) En tant que limite à grande échelle des modèles pour les véhicules.
Voir aussi
1) les travaux récents sur le mouvement des foules (Maury et al.) et sur
les jeux à champs moyen (Lasry-Lions)
2) les travaux récents de Baillon-Carlier sur la limite du trafic sur les
réseaux et/ou des possibles homogénéisations stochastiques
G. Carlier, C. Jimenez , F. Santambrogio, Optimal transportation with traffic
congestion and Wardrop equilibria, SIAM Journal on Control and Opt., 2008.
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Dualité et discretisation
Applications
Où utiliser un modèle continu plutôt que des réseaux
1) Dans le mouvement des foules et des pietons, par exemple.
2) En tant que limite à grande échelle des modèles pour les véhicules.
Voir aussi
1) les travaux récents sur le mouvement des foules (Maury et al.) et sur
les jeux à champs moyen (Lasry-Lions)
2) les travaux récents de Baillon-Carlier sur la limite du trafic sur les
réseaux et/ou des possibles homogénéisations stochastiques
G. Carlier, C. Jimenez , F. Santambrogio, Optimal transportation with traffic
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Applications
Où utiliser un modèle continu plutôt que des réseaux
1) Dans le mouvement des foules et des pietons, par exemple.
2) En tant que limite à grande échelle des modèles pour les véhicules.
Voir aussi
1) les travaux récents sur le mouvement des foules (Maury et al.) et sur
les jeux à champs moyen (Lasry-Lions)
2) les travaux récents de Baillon-Carlier sur la limite du trafic sur les
réseaux et/ou des possibles homogénéisations stochastiques
G. Carlier, C. Jimenez , F. Santambrogio, Optimal transportation with traffic
congestion and Wardrop equilibria, SIAM Journal on Control and Opt., 2008.
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Applications
Où utiliser un modèle continu plutôt que des réseaux
1) Dans le mouvement des foules et des pietons, par exemple.
2) En tant que limite à grande échelle des modèles pour les véhicules.
Voir aussi
1) les travaux récents sur le mouvement des foules (Maury et al.) et sur
les jeux à champs moyen (Lasry-Lions)
2) les travaux récents de Baillon-Carlier sur la limite du trafic sur les
réseaux et/ou des possibles homogénéisations stochastiques
G. Carlier, C. Jimenez , F. Santambrogio, Optimal transportation with traffic
congestion and Wardrop equilibria, SIAM Journal on Control and Opt., 2008.
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Divergence fixées et EDP
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Dualité et discretisation
Problème vectoriel
Définissons une espèce d’intensité de trafic vectorielle : soit λ Q ∈ M n (Ω)
donnée par
∫ (∫ 1
)
< λ Q , φ >= φ(σ(t)) · σ ′ (t) dt Q(dσ)
C
pour tout φ ∈ C 0 (Ω; R n ).
On peut vérifier ∇ · λ Q = (π 0 ) # Q − (π 1 ) # Q = µ − ν. De plus,
|λ Q | ≤ i Q .
0
Question : peut-on remplacer i Q avec |λ Q | peut-on minimiser parmi
tous les λ ∈ M n (Ω) avec ∇ · λ = µ − ν
Soit H(z) = H(|z|) : on considère
∫
(PV ) : min H(λ) : ∇ · λ = µ − ν.
Attention : ceci marche pour Γ = Π(µ, ν) seulement.
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Dualité et discretisation
Problème vectoriel
Définissons une espèce d’intensité de trafic vectorielle : soit λ Q ∈ M n (Ω)
donnée par
∫ (∫ 1
)
< λ Q , φ >= φ(σ(t)) · σ ′ (t) dt Q(dσ)
C
pour tout φ ∈ C 0 (Ω; R n ).
On peut vérifier ∇ · λ Q = (π 0 ) # Q − (π 1 ) # Q = µ − ν. De plus,
|λ Q | ≤ i Q .
0
Question : peut-on remplacer i Q avec |λ Q | peut-on minimiser parmi
tous les λ ∈ M n (Ω) avec ∇ · λ = µ − ν
Soit H(z) = H(|z|) : on considère
∫
(PV ) : min H(λ) : ∇ · λ = µ − ν.
Attention : ceci marche pour Γ = Π(µ, ν) seulement.
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Dualité et discretisation
Problème vectoriel
Définissons une espèce d’intensité de trafic vectorielle : soit λ Q ∈ M n (Ω)
donnée par
∫ (∫ 1
)
< λ Q , φ >= φ(σ(t)) · σ ′ (t) dt Q(dσ)
C
pour tout φ ∈ C 0 (Ω; R n ).
On peut vérifier ∇ · λ Q = (π 0 ) # Q − (π 1 ) # Q = µ − ν. De plus,
|λ Q | ≤ i Q .
0
Question : peut-on remplacer i Q avec |λ Q | peut-on minimiser parmi
tous les λ ∈ M n (Ω) avec ∇ · λ = µ − ν
Soit H(z) = H(|z|) : on considère
∫
(PV ) : min H(λ) : ∇ · λ = µ − ν.
Attention : ceci marche pour Γ = Π(µ, ν) seulement.
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Dualité et discretisation
Problème vectoriel
Définissons une espèce d’intensité de trafic vectorielle : soit λ Q ∈ M n (Ω)
donnée par
∫ (∫ 1
)
< λ Q , φ >= φ(σ(t)) · σ ′ (t) dt Q(dσ)
C
pour tout φ ∈ C 0 (Ω; R n ).
On peut vérifier ∇ · λ Q = (π 0 ) # Q − (π 1 ) # Q = µ − ν. De plus,
|λ Q | ≤ i Q .
0
Question : peut-on remplacer i Q avec |λ Q | peut-on minimiser parmi
tous les λ ∈ M n (Ω) avec ∇ · λ = µ − ν
Soit H(z) = H(|z|) : on considère
∫
(PV ) : min H(λ) : ∇ · λ = µ − ν.
Attention : ceci marche pour Γ = Π(µ, ν) seulement.
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Dualité et discretisation
Equivalence
Evidemment on a (PV ) ≤ (P). Prenons λ un minimiseur de (PV ) et
construisons un Q tel que i Q ≤ |λ|. Cela est possible, mais il faut suivre
le flot d’un champ de vecteur obtenu à partir de λ :
{
σ ′ x(t) =
σ x (0) = x.
λ(σx (t)),
(µ t(σ x (t))
µ t = (1 − t)µ + tν),
Tout marcherait si λ/µ t était Lipschitz.
λ satisfait ∇H(λ) = ∇u (perturbations à divergence nulle).
λ = ∇H ∗ (∇u); ∇ · ∇H ∗ (∇u) = µ − ν.
Si H(t) = t 2 : régularité elliptique standard !
Si H(t) = t p : p ′ −Laplacien !
Et si H(t) = t + t p Dans ce cas H ∗ (z) = 0 pour tout z ∈ B 1 .
Moins que Lipschitz peut suffire oui, on peut se contenter de la théorie
de DiPerna-Lions. On supposera µ, ν ≥ c > 0 et µ, ν Lipschitz ; il faut
λ ∈ W 1,1 ∩ L ∞ .
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Equivalence
Evidemment on a (PV ) ≤ (P). Prenons λ un minimiseur de (PV ) et
construisons un Q tel que i Q ≤ |λ|. Cela est possible, mais il faut suivre
le flot d’un champ de vecteur obtenu à partir de λ :
{
σ ′ x(t) =
σ x (0) = x.
λ(σx (t)),
(µ t(σ x (t))
µ t = (1 − t)µ + tν),
Tout marcherait si λ/µ t était Lipschitz.
λ satisfait ∇H(λ) = ∇u (perturbations à divergence nulle).
λ = ∇H ∗ (∇u); ∇ · ∇H ∗ (∇u) = µ − ν.
Si H(t) = t 2 : régularité elliptique standard !
Si H(t) = t p : p ′ −Laplacien !
Et si H(t) = t + t p Dans ce cas H ∗ (z) = 0 pour tout z ∈ B 1 .
Moins que Lipschitz peut suffire oui, on peut se contenter de la théorie
de DiPerna-Lions. On supposera µ, ν ≥ c > 0 et µ, ν Lipschitz ; il faut
λ ∈ W 1,1 ∩ L ∞ .
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Equivalence
Evidemment on a (PV ) ≤ (P). Prenons λ un minimiseur de (PV ) et
construisons un Q tel que i Q ≤ |λ|. Cela est possible, mais il faut suivre
le flot d’un champ de vecteur obtenu à partir de λ :
{
σ ′ x(t) =
σ x (0) = x.
λ(σx (t)),
(µ t(σ x (t))
µ t = (1 − t)µ + tν),
Tout marcherait si λ/µ t était Lipschitz.
λ satisfait ∇H(λ) = ∇u (perturbations à divergence nulle).
λ = ∇H ∗ (∇u); ∇ · ∇H ∗ (∇u) = µ − ν.
Si H(t) = t 2 : régularité elliptique standard !
Si H(t) = t p : p ′ −Laplacien !
Et si H(t) = t + t p Dans ce cas H ∗ (z) = 0 pour tout z ∈ B 1 .
Moins que Lipschitz peut suffire oui, on peut se contenter de la théorie
de DiPerna-Lions. On supposera µ, ν ≥ c > 0 et µ, ν Lipschitz ; il faut
λ ∈ W 1,1 ∩ L ∞ .
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Modèles Discrets
Modèles Continus
Divergence Fixée et EDP
Dualité et discretisation
Equivalence
Evidemment on a (PV ) ≤ (P). Prenons λ un minimiseur de (PV ) et
construisons un Q tel que i Q ≤ |λ|. Cela est possible, mais il faut suivre
le flot d’un champ de vecteur obtenu à partir de λ :
{
σ ′ x(t) =
σ x (0) = x.
λ(σx (t)),
(µ t(σ x (t))
µ t = (1 − t)µ + tν),
Tout marcherait si λ/µ t était Lipschitz.
λ satisfait ∇H(λ) = ∇u (perturbations à divergence nulle).
λ = ∇H ∗ (∇u); ∇ · ∇H ∗ (∇u) = µ − ν.
Si H(t) = t 2 : régularité elliptique standard !
Si H(t) = t p : p ′ −Laplacien !
Et si H(t) = t + t p Dans ce cas H ∗ (z) = 0 pour tout z ∈ B 1 .
Moins que Lipschitz peut suffire oui, on peut se contenter de la théorie
de DiPerna-Lions. On supposera µ, ν ≥ c > 0 et µ, ν Lipschitz ; il faut
λ ∈ W 1,1 ∩ L ∞ .
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Evidemment on a (PV ) ≤ (P). Prenons λ un minimiseur de (PV ) et
construisons un Q tel que i Q ≤ |λ|. Cela est possible, mais il faut suivre
le flot d’un champ de vecteur obtenu à partir de λ :
{
σ ′ x(t) =
σ x (0) = x.
λ(σx (t)),
(µ t(σ x (t))
µ t = (1 − t)µ + tν),
Tout marcherait si λ/µ t était Lipschitz.
λ satisfait ∇H(λ) = ∇u (perturbations à divergence nulle).
λ = ∇H ∗ (∇u); ∇ · ∇H ∗ (∇u) = µ − ν.
Si H(t) = t 2 : régularité elliptique standard !
Si H(t) = t p : p ′ −Laplacien !
Et si H(t) = t + t p Dans ce cas H ∗ (z) = 0 pour tout z ∈ B 1 .
Moins que Lipschitz peut suffire oui, on peut se contenter de la théorie
de DiPerna-Lions. On supposera µ, ν ≥ c > 0 et µ, ν Lipschitz ; il faut
λ ∈ W 1,1 ∩ L ∞ .
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le flot d’un champ de vecteur obtenu à partir de λ :
{
σ ′ x(t) =
σ x (0) = x.
λ(σx (t)),
(µ t(σ x (t))
µ t = (1 − t)µ + tν),
Tout marcherait si λ/µ t était Lipschitz.
λ satisfait ∇H(λ) = ∇u (perturbations à divergence nulle).
λ = ∇H ∗ (∇u); ∇ · ∇H ∗ (∇u) = µ − ν.
Si H(t) = t 2 : régularité elliptique standard !
Si H(t) = t p : p ′ −Laplacien !
Et si H(t) = t + t p Dans ce cas H ∗ (z) = 0 pour tout z ∈ B 1 .
Moins que Lipschitz peut suffire oui, on peut se contenter de la théorie
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λ ∈ W 1,1 ∩ L ∞ .
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Dualité et discretisation
Besoin de régularité : voilà
Régularité pour une équation très dégénérée :
∇ · G(∇u) = f
avec G(z) = (|z| − 1) p′ −1 z
+ |z| et f ∈ W 1,p : G(∇u) ∈ W 1,2 ∩ L ∞ . Pour la
preuve : adaptation des méthodes des incréments pour le p−Laplacien,
stress regularity (Carstensen-Müller, Fonseca-Fusco-Marcellini). . .
L. Brasco, G. Carlier, F. Santambrogio, Congested traffic dynamics, weak flows
and very degenerate elliptic equations, J. Math. Pures et Appl., 2010.
∇ · G(∇u) = f
avec G =∇H, D 2 H(z)≥c δ I n sur B c 1+δ , f ∈L2+ε , n =2 : G(∇u)∈W 1,2 ∩L ∞
⇒ g(∇u) ∈ C 0 pour tout g ∈ C 0 (R 2 ) avec g = 0 sur B 1 .
F. Santambrogio, V. Vespri, Continuity in two dimensions for a very degenerate
elliptic equation, Nonlinear Analysis, 2010.
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avec G(z) = (|z| − 1) p′ −1 z
+ |z| et f ∈ W 1,p : G(∇u) ∈ W 1,2 ∩ L ∞ . Pour la
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∇ · G(∇u) = f
avec G =∇H, D 2 H(z)≥c δ I n sur B c 1+δ , f ∈L2+ε , n =2 : G(∇u)∈W 1,2 ∩L ∞
⇒ g(∇u) ∈ C 0 pour tout g ∈ C 0 (R 2 ) avec g = 0 sur B 1 .
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avec G(z) = (|z| − 1) p′ −1 z
+ |z| et f ∈ W 1,p : G(∇u) ∈ W 1,2 ∩ L ∞ . Pour la
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avec G =∇H, D 2 H(z)≥c δ I n sur B c 1+δ , f ∈L2+ε , n =2 : G(∇u)∈W 1,2 ∩L ∞
⇒ g(∇u) ∈ C 0 pour tout g ∈ C 0 (R 2 ) avec g = 0 sur B 1 .
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avec G(z) = (|z| − 1) p′ −1 z
+ |z| et f ∈ W 1,p : G(∇u) ∈ W 1,2 ∩ L ∞ . Pour la
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avec G =∇H, D 2 H(z)≥c δ I n sur B c 1+δ , f ∈L2+ε , n =2 : G(∇u)∈W 1,2 ∩L ∞
⇒ g(∇u) ∈ C 0 pour tout g ∈ C 0 (R 2 ) avec g = 0 sur B 1 .
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∇ · G(∇u) = f
avec G(z) = (|z| − 1) p′ −1 z
+ |z| et f ∈ W 1,p : G(∇u) ∈ W 1,2 ∩ L ∞ . Pour la
preuve : adaptation des méthodes des incréments pour le p−Laplacien,
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and very degenerate elliptic equations, J. Math. Pures et Appl., 2010.
∇ · G(∇u) = f
avec G =∇H, D 2 H(z)≥c δ I n sur B c 1+δ , f ∈L2+ε , n =2 : G(∇u)∈W 1,2 ∩L ∞
⇒ g(∇u) ∈ C 0 pour tout g ∈ C 0 (R 2 ) avec g = 0 sur B 1 .
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∇ · G(∇u) = f
avec G(z) = (|z| − 1) p′ −1 z
+ |z| et f ∈ W 1,p : G(∇u) ∈ W 1,2 ∩ L ∞ . Pour la
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and very degenerate elliptic equations, J. Math. Pures et Appl., 2010.
∇ · G(∇u) = f
avec G =∇H, D 2 H(z)≥c δ I n sur B c 1+δ , f ∈L2+ε , n =2 : G(∇u)∈W 1,2 ∩L ∞
⇒ g(∇u) ∈ C 0 pour tout g ∈ C 0 (R 2 ) avec g = 0 sur B 1 .
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Dualité et discretisation
Le problème dual
Dans le cas discret (réseaux) c’est le problème dual, posé sur la métrique
ξ, qu’on étudie numériquement au lieu du primal. D’un ξ optimal on peut
retrouver la densité de trafic par H ′ (i Q ) = ξ. Ici :
∫
(P) = min
Q admissible Ω
∫
(D) = max − H ∗ (ξ) +
ξ≥0
H(i Q );
(
min
γ∈Γ
∫
)
c ξ dγ .
Si Γ = Π(µ, ν) alors min γ∈Γ
∫
cξ dγ = W cξ (µ, ν) est la valeur d’un
problème de transport.
Si Γ = {γ} on a évidemment (D) = max ξ≥0 − ∫ H ∗ (ξ) + ∫ c ξ dγ.
Dualité :
(P) = (D).
Remarque : (DV ) = max u
∫
uf −
∫
H ∗ (∇u); et, si Γ = Π(µ, ν),
(D) = max u,ξ : |∇u|≤ξ
∫
uf −
∫
H ∗ (ξ).
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Le problème dual
Dans le cas discret (réseaux) c’est le problème dual, posé sur la métrique
ξ, qu’on étudie numériquement au lieu du primal. D’un ξ optimal on peut
retrouver la densité de trafic par H ′ (i Q ) = ξ. Ici :
∫
(P) = min
Q admissible Ω
∫
(D) = max − H ∗ (ξ) +
ξ≥0
H(i Q );
(
min
γ∈Γ
∫
)
c ξ dγ .
Si Γ = Π(µ, ν) alors min γ∈Γ
∫
cξ dγ = W cξ (µ, ν) est la valeur d’un
problème de transport.
Si Γ = {γ} on a évidemment (D) = max ξ≥0 − ∫ H ∗ (ξ) + ∫ c ξ dγ.
Dualité :
(P) = (D).
Remarque : (DV ) = max u
∫
uf −
∫
H ∗ (∇u); et, si Γ = Π(µ, ν),
(D) = max u,ξ : |∇u|≤ξ
∫
uf −
∫
H ∗ (ξ).
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Le problème dual
Dans le cas discret (réseaux) c’est le problème dual, posé sur la métrique
ξ, qu’on étudie numériquement au lieu du primal. D’un ξ optimal on peut
retrouver la densité de trafic par H ′ (i Q ) = ξ. Ici :
∫
(P) = min
Q admissible Ω
∫
(D) = max − H ∗ (ξ) +
ξ≥0
H(i Q );
(
min
γ∈Γ
∫
)
c ξ dγ .
Si Γ = Π(µ, ν) alors min γ∈Γ
∫
cξ dγ = W cξ (µ, ν) est la valeur d’un
problème de transport.
Si Γ = {γ} on a évidemment (D) = max ξ≥0 − ∫ H ∗ (ξ) + ∫ c ξ dγ.
Dualité :
(P) = (D).
Remarque : (DV ) = max u
∫
uf −
∫
H ∗ (∇u); et, si Γ = Π(µ, ν),
(D) = max u,ξ : |∇u|≤ξ
∫
uf −
∫
H ∗ (ξ).
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Le problème dual
Dans le cas discret (réseaux) c’est le problème dual, posé sur la métrique
ξ, qu’on étudie numériquement au lieu du primal. D’un ξ optimal on peut
retrouver la densité de trafic par H ′ (i Q ) = ξ. Ici :
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(P) = min
Q admissible Ω
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(D) = max − H ∗ (ξ) +
ξ≥0
H(i Q );
(
min
γ∈Γ
∫
)
c ξ dγ .
Si Γ = Π(µ, ν) alors min γ∈Γ
∫
cξ dγ = W cξ (µ, ν) est la valeur d’un
problème de transport.
Si Γ = {γ} on a évidemment (D) = max ξ≥0 − ∫ H ∗ (ξ) + ∫ c ξ dγ.
Dualité :
(P) = (D).
Remarque : (DV ) = max u
∫
uf −
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(D) = max u,ξ : |∇u|≤ξ
∫
uf −
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Dualité et discretisation
Dualité et numérique
Le problème dual (moins couteux dimensionnellement) demande le calcul
des distances géodésiques selon ξ, (solution de viscosité de |∇u| = ξ).
Calcul numérique par Fast Marching Method : résolution du système
(D 1 u(x 1 , x 2 )) 2 + (D 2 u(x 1 , x 2 )) 2 = h 2 (ξ(x 1 , x 2 )) 2 ,
D i u(x) := max{u(x)−u(x −e i ), u(x)−u(x +e i ), 0} x = (x 1 , x 2 ), i = 1, 2
On veut calculer u x0,ξ(x) et puis laisser ξ varier, en dérivant les calculs du
FMM. Une formule itérative existe, et calcule ∇ ξ u(x) dans le même cycle
du FMM (en temps O(N 2 ln N)). En suite, un algorithme de
sous-gradient permet d’approximer le minimiseur du problème discretisé.
F. Benmansour, G. Carlier, G. Peyré, F. Santambrogio,
Numerical Approximation of Continuous Traffic Congestion Equilibria, Net.
Het. Media, 2009.
Derivatives with respect to metrics and applications : Subgradient Marching
Algorithm, Num. Math., 2010.
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Dualité et numérique
Le problème dual (moins couteux dimensionnellement) demande le calcul
des distances géodésiques selon ξ, (solution de viscosité de |∇u| = ξ).
Calcul numérique par Fast Marching Method : résolution du système
(D 1 u(x 1 , x 2 )) 2 + (D 2 u(x 1 , x 2 )) 2 = h 2 (ξ(x 1 , x 2 )) 2 ,
D i u(x) := max{u(x)−u(x −e i ), u(x)−u(x +e i ), 0} x = (x 1 , x 2 ), i = 1, 2
On veut calculer u x0,ξ(x) et puis laisser ξ varier, en dérivant les calculs du
FMM. Une formule itérative existe, et calcule ∇ ξ u(x) dans le même cycle
du FMM (en temps O(N 2 ln N)). En suite, un algorithme de
sous-gradient permet d’approximer le minimiseur du problème discretisé.
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Numerical Approximation of Continuous Traffic Congestion Equilibria, Net.
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des distances géodésiques selon ξ, (solution de viscosité de |∇u| = ξ).
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(D 1 u(x 1 , x 2 )) 2 + (D 2 u(x 1 , x 2 )) 2 = h 2 (ξ(x 1 , x 2 )) 2 ,
D i u(x) := max{u(x)−u(x −e i ), u(x)−u(x +e i ), 0} x = (x 1 , x 2 ), i = 1, 2
On veut calculer u x0,ξ(x) et puis laisser ξ varier, en dérivant les calculs du
FMM. Une formule itérative existe, et calcule ∇ ξ u(x) dans le même cycle
du FMM (en temps O(N 2 ln N)). En suite, un algorithme de
sous-gradient permet d’approximer le minimiseur du problème discretisé.
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Numerical Approximation of Continuous Traffic Congestion Equilibria, Net.
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Le problème dual (moins couteux dimensionnellement) demande le calcul
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Calcul numérique par Fast Marching Method : résolution du système
(D 1 u(x 1 , x 2 )) 2 + (D 2 u(x 1 , x 2 )) 2 = h 2 (ξ(x 1 , x 2 )) 2 ,
D i u(x) := max{u(x)−u(x −e i ), u(x)−u(x +e i ), 0} x = (x 1 , x 2 ), i = 1, 2
On veut calculer u x0,ξ(x) et puis laisser ξ varier, en dérivant les calculs du
FMM. Une formule itérative existe, et calcule ∇ ξ u(x) dans le même cycle
du FMM (en temps O(N 2 ln N)). En suite, un algorithme de
sous-gradient permet d’approximer le minimiseur du problème discretisé.
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Calcul numérique par Fast Marching Method : résolution du système
(D 1 u(x 1 , x 2 )) 2 + (D 2 u(x 1 , x 2 )) 2 = h 2 (ξ(x 1 , x 2 )) 2 ,
D i u(x) := max{u(x)−u(x −e i ), u(x)−u(x +e i ), 0} x = (x 1 , x 2 ), i = 1, 2
On veut calculer u x0,ξ(x) et puis laisser ξ varier, en dérivant les calculs du
FMM. Une formule itérative existe, et calcule ∇ ξ u(x) dans le même cycle
du FMM (en temps O(N 2 ln N)). En suite, un algorithme de
sous-gradient permet d’approximer le minimiseur du problème discretisé.
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