Groupes de réflexions et groupes de Coxeter - De l ... - DMA - Ens

Groupes de réflexions et groupes de Coxeter
De l’autre côté des miroirs
Vivien Ripoll
École Normale Supérieure
Département de Mathématiques et Applications
11 mai 2009
Journée Mathématiques en mouvement
Fondation Sciences Mathématiques de Paris
Les miroirs feraient bien de réfléchir avant de renvoyer les images. (Jean Cocteau)
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 1 / 16

Un problème de miroirs
On place 3 miroirs dans l’espace. Dans quels cas a-t-on un nombre fini
d’images réfléchies
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 2 / 16

Un problème de miroirs
On place 3 miroirs dans l’espace. Dans quels cas a-t-on un nombre fini
d’images réfléchies
Cas de deux miroirs parallèles :
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 2 / 16

Un problème de miroirs
On place 3 miroirs dans l’espace. Dans quels cas a-t-on un nombre fini
d’images réfléchies
Cas de deux miroirs parallèles :
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Un problème de miroirs
On place 3 miroirs dans l’espace. Dans quels cas a-t-on un nombre fini
d’images réfléchies
Cas de deux miroirs parallèles :
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Un problème de miroirs
On place 3 miroirs dans l’espace. Dans quels cas a-t-on un nombre fini
d’images réfléchies
Cas de deux miroirs parallèles :
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Un problème de miroirs
On place 3 miroirs dans l’espace. Dans quels cas a-t-on un nombre fini
d’images réfléchies
Cas de deux miroirs parallèles :
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 2 / 16

Un problème de miroirs
On place 3 miroirs dans l’espace. Dans quels cas a-t-on un nombre fini
d’images réfléchies
Cas de deux miroirs parallèles :
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Miroirs non parallèles
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Miroirs non parallèles
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 3 / 16

Miroirs non parallèles
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 3 / 16

Miroirs non parallèles
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 3 / 16

Miroirs non parallèles
Principe du kaléidoscope.
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Groupe diédral
s
A
t
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Groupe diédral
sA
s
A
t
tA
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Groupe diédral
stA
sA
s
A
t
tA
tsA
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Groupe diédral
stsA
stA
sA
s
ststA
A
tA
t
tstsA
tstA
tsA
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Groupe diédral
stsA
stA
sA
s
ststsA
=
tststA
ststA
A
tA
t
tstsA
tstA
tsA
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Groupe diédral
stsA
stA
sA
ststsA
=
tststA
ststA
s
A
t
tA
On visualise l’orbite de A sous
l’action du groupe engendré par
les symétries s et t. On a
ststs = tstst
(équivalent à (st) 5 = Id).
tstsA
tstA
tsA
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Condition de finitude
Soient :
D s et D t les droites supportant les miroirs ;
θ l’angle entre les deux miroirs ;
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 5 / 16

Condition de finitude
Soient :
D s et D t les droites supportant les miroirs ;
θ l’angle entre les deux miroirs ;
r = s ◦ t la composée des deux symétries par rapport à D s et D t .
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 5 / 16

Condition de finitude
Soient :
D s et D t les droites supportant les miroirs ;
θ l’angle entre les deux miroirs ;
r = s ◦ t la composée des deux symétries par rapport à D s et D t .
r est une rotation d’angle 2θ, et doit être d’ordre fini :
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 5 / 16

Condition de finitude
Soient :
D s et D t les droites supportant les miroirs ;
θ l’angle entre les deux miroirs ;
r = s ◦ t la composée des deux symétries par rapport à D s et D t .
r est une rotation d’angle 2θ, et doit être d’ordre fini :
∃m ≥ 1, ∃k ∈ N, m × 2θ = 2kπ.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 5 / 16

Condition de finitude
Soient :
D s et D t les droites supportant les miroirs ;
θ l’angle entre les deux miroirs ;
r = s ◦ t la composée des deux symétries par rapport à D s et D t .
r est une rotation d’angle 2θ, et doit être d’ordre fini :
∃m ≥ 1, ∃k ∈ N, m × 2θ = 2kπ.
On note m(D s , D t ) le plus petit m possible (i.e. l’ordre de r).
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Groupes de réflexions finis
Soit V un R-espace vectoriel de dimension n ≥ 1.
Définition
Un groupe de réflexions fini W est un sous-groupe fini de GL(V )
engendré par des réflexions.
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Groupes de réflexions finis
Soit V un R-espace vectoriel de dimension n ≥ 1.
Définition
Un groupe de réflexions fini W est un sous-groupe fini de GL(V )
engendré par des réflexions.
Réflexion : symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, i.e.
s ↔
b.o.n
matrice Diag(−1, 1, . . . , 1)
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Groupes de réflexions finis
Soit V un R-espace vectoriel de dimension n ≥ 1.
Définition
Un groupe de réflexions fini W est un sous-groupe fini de GL(V )
engendré par des réflexions.
Réflexion : symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, i.e.
s ↔
b.o.n
matrice Diag(−1, 1, . . . , 1)
A := {hyperplans des réflexions de W } (“arrangement d’hyperplans”).
On fixe une chambre C de l’arrangement.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 6 / 16

Groupes de réflexions finis
Soit V un R-espace vectoriel de dimension n ≥ 1.
Définition
Un groupe de réflexions fini W est un sous-groupe fini de GL(V )
engendré par des réflexions.
Réflexion : symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, i.e.
s ↔
b.o.n
matrice Diag(−1, 1, . . . , 1)
A := {hyperplans des réflexions de W } (“arrangement d’hyperplans”).
On fixe une chambre C de l’arrangement.
S := {s 1 , . . . , s n } : réflexions par rapport aux murs de C.
Pour s ∈ S, on note H s son hyperplan associé : H s := Ker(s − Id V ).
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Diagramme de Coxeter
W est fini, donc pour s, t ∈ S, on peut définir m s,t := m(H s , H t ).
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Diagramme de Coxeter
W est fini, donc pour s, t ∈ S, on peut définir m s,t := m(H s , H t ).
L’angle entre H s et H t vaut
π
m s,t
, et st est une rotation d’ordre m s,t .
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 7 / 16

Diagramme de Coxeter
W est fini, donc pour s, t ∈ S, on peut définir m s,t := m(H s , H t ).
L’angle entre H s et H t vaut
Définition
π
m s,t
, et st est une rotation d’ordre m s,t .
Le diagramme de Coxeter de W est le graphe défini ainsi :
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 7 / 16

Diagramme de Coxeter
W est fini, donc pour s, t ∈ S, on peut définir m s,t := m(H s , H t ).
L’angle entre H s et H t vaut
Définition
π
m s,t
, et st est une rotation d’ordre m s,t .
Le diagramme de Coxeter de W est le graphe défini ainsi :
sommets : réflexions de S ;
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 7 / 16

Diagramme de Coxeter
W est fini, donc pour s, t ∈ S, on peut définir m s,t := m(H s , H t ).
L’angle entre H s et H t vaut
Définition
π
m s,t
, et st est une rotation d’ordre m s,t .
Le diagramme de Coxeter de W est le graphe défini ainsi :
sommets : réflexions de S ;
arêtes étiquetées : si s, t ∈ S avec m = m s,t ≥ 3 (i.e. H s et H t
non orthogonaux), alors on note
m
s t .
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 7 / 16

Diagramme de Coxeter
W est fini, donc pour s, t ∈ S, on peut définir m s,t := m(H s , H t ).
L’angle entre H s et H t vaut
Définition
π
m s,t
, et st est une rotation d’ordre m s,t .
Le diagramme de Coxeter de W est le graphe défini ainsi :
sommets : réflexions de S ;
arêtes étiquetées : si s, t ∈ S avec m = m s,t ≥ 3 (i.e. H s et H t
non orthogonaux), alors on note
m
s t .
Quels sont les diagrammes de Coxeter possibles Il est assez facile
de trouver des conditions nécessaires sur
(
les valeurs
(
des m s,t .
Précisément, on montre que la matrice − cos π
m s,t
))s,t∈S est
nécessairement définie-positive.
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Classification (Coxeter, 1934)
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 8 / 16

Classification (Coxeter, 1934)
Seuls les diagrammes suivants peuvent apparaître comme
composantes connexes d’un diagramme de Coxeter de groupe de
réflexions fini :
.....
A n
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 8 / 16
B
D
n
n
4
.
..... .
....
E E E
6 7 8
F
4
H
3
I (m)
2
4
5 5
H
m
4

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
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Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 9 / 16

Groupe de symétries du cube
t
u
angle(H s , H u ) = π 2 ⇒ m s,u = 2 ;
angle(H s , H t ) = π 4 ⇒ m s,t = 4 ;
angle(H t , H u ) = π 3 ⇒ m t,u = 3.
s
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Groupe de symétries du cube
t
u
angle(H s , H u ) = π 2 ⇒ m s,u = 2 ;
angle(H s , H t ) = π 4 ⇒ m s,t = 4 ;
angle(H t , H u ) = π 3 ⇒ m t,u = 3.
s
B 3
4
s t u
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Groupe diédral : symétries d’un m-gone
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 10 / 16

Groupe diédral : symétries d’un m-gone
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 10 / 16

Groupe diédral : symétries d’un m-gone
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 10 / 16

Groupes de symétries de polyèdres réguliers
Les 5 solides de Platon :
Cube
Dodécaèdre
Icosaèdre
Tétraèdre
Octaèdre
A 3 B
H 3 3
4 5
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 11 / 16

Le cas du type A
Le groupe de permutations sur n éléments S n se plonge
canoniquement dans GL n (R) :
σ ↦→ M σ avec (M σ ) i,j = δ i σ(j) .
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 12 / 16

Le cas du type A
Le groupe de permutations sur n éléments S n se plonge
canoniquement dans GL n (R) :
σ ↦→ M σ avec (M σ ) i,j = δ i σ(j) .
Ainsi, S n se voit comme une groupe de réflexions fini, dont les
réflexions sont les transpositions : la transposition (i, j) correspond à la
réflexion d’hyperplan d’équation x i = x j .
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 12 / 16

Le cas du type A
Le groupe de permutations sur n éléments S n se plonge
canoniquement dans GL n (R) :
σ ↦→ M σ avec (M σ ) i,j = δ i σ(j) .
Ainsi, S n se voit comme une groupe de réflexions fini, dont les
réflexions sont les transpositions : la transposition (i, j) correspond à la
réflexion d’hyperplan d’équation x i = x j .
On peut choisir comme ensemble de réflexions fondamentales
S = {(1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n)} = {s 1 , s 2 , . . . , s n−1 }.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 12 / 16

Le cas du type A
Le groupe de permutations sur n éléments S n se plonge
canoniquement dans GL n (R) :
σ ↦→ M σ avec (M σ ) i,j = δ i σ(j) .
Ainsi, S n se voit comme une groupe de réflexions fini, dont les
réflexions sont les transpositions : la transposition (i, j) correspond à la
réflexion d’hyperplan d’équation x i = x j .
On peut choisir comme ensemble de réflexions fondamentales
S = {(1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n)} = {s 1 , s 2 , . . . , s n−1 }.
Son diagramme de Coxeter est A n−1 :
s 1
s 2
s
...... n−1
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Présentation de Coxeter
Tout groupe de réflexions fini W possède une présentation
remarquable, dite présentation de Coxeter :
〈
W ≃ S
∣ ∀s ∈ S, s2 = 1 ; ∀s, t ∈ S, sts
} {{
. .
}
. = tst
} {{
. .
}
.
m s,t
m s,t
〉
.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 13 / 16

Présentation de Coxeter
Tout groupe de réflexions fini W possède une présentation
remarquable, dite présentation de Coxeter :
〈
W ≃ S
∣ ∀s ∈ S, s2 = 1 ; ∀s, t ∈ S, sts
} {{
. .
}
. = tst
} {{
. .
}
.
m s,t
Définition
m s,t
〉
Un groupe de Coxeter est un groupe (abstrait) W , pas nécessairement
fini, qui admet une présentation de Coxeter (pour un certain choix d’un
ensemble de générateurs S).
.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 13 / 16

Présentation de Coxeter
Tout groupe de réflexions fini W possède une présentation
remarquable, dite présentation de Coxeter :
〈
W ≃ S
∣ ∀s ∈ S, s2 = 1 ; ∀s, t ∈ S, sts
} {{
. .
}
. = tst
} {{
. .
}
.
m s,t
Définition
m s,t
〉
Un groupe de Coxeter est un groupe (abstrait) W , pas nécessairement
fini, qui admet une présentation de Coxeter (pour un certain choix d’un
ensemble de générateurs S).
Un groupe de Coxeter fini peut toujours se voir comme groupe de
réflexions fini d’un certain espace vectoriel.
.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 13 / 16

Présentation de Coxeter
Tout groupe de réflexions fini W possède une présentation
remarquable, dite présentation de Coxeter :
〈
W ≃ S
∣ ∀s ∈ S, s2 = 1 ; ∀s, t ∈ S, sts
} {{
. .
}
. = tst
} {{
. .
}
.
m s,t
Définition
m s,t
〉
Un groupe de Coxeter est un groupe (abstrait) W , pas nécessairement
fini, qui admet une présentation de Coxeter (pour un certain choix d’un
ensemble de générateurs S).
Un groupe de Coxeter fini peut toujours se voir comme groupe de
réflexions fini d’un certain espace vectoriel.
Dans le cas infini, certains peuvent être décrits comme groupes de
réflexions d’un espace affine ou hyperbolique.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 13 / 16
.

Groupes de Coxeter abstraits : questions actuelles
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 14 / 16

Groupes de Coxeter abstraits : questions actuelles
Problème d’isomorphisme :
Etant donné deux diagrammes de Coxeter quelconques, déterminer si
les groupes associés sont isomorphes.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 14 / 16

Groupes de Coxeter abstraits : questions actuelles
Problème d’isomorphisme :
Etant donné deux diagrammes de Coxeter quelconques, déterminer si
les groupes associés sont isomorphes.
Exemple
I 2 (6) (hexagone) ≃ A 2 × A 1 (prisme à base triangulaire).
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 14 / 16

Groupes de Coxeter abstraits : questions actuelles
Problème d’isomorphisme :
Etant donné deux diagrammes de Coxeter quelconques, déterminer si
les groupes associés sont isomorphes.
Exemple
I 2 (6) (hexagone) ≃ A 2 × A 1 (prisme à base triangulaire).
Le problème est résolu pour certaines classes de diagramme, mais
reste ouvert dans le cas général.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 14 / 16

Groupes de Coxeter abstraits : questions actuelles
Problème d’isomorphisme :
Etant donné deux diagrammes de Coxeter quelconques, déterminer si
les groupes associés sont isomorphes.
Exemple
I 2 (6) (hexagone) ≃ A 2 × A 1 (prisme à base triangulaire).
Le problème est résolu pour certaines classes de diagramme, mais
reste ouvert dans le cas général.
Problème du rang :
Le rang d’un groupe (abstrait) est la taille minimale d’un ensemble de
générateurs.
Étant donné un diagramme de Coxeter, que peut-on dire du rang du
groupe associé Quand est-il égal au rang de Coxeter (nombre de
sommets du graphe)
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 14 / 16

Groupes de réflexions complexes
Soit V un C-espace vectoriel (de dimension finie).
Définition
Un groupe de réflexions complexes (fini) est un sous-groupe fini de
GL(V ) engendré par des réflexions complexes.
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Groupes de réflexions complexes
Soit V un C-espace vectoriel (de dimension finie).
Définition
Un groupe de réflexions complexes (fini) est un sous-groupe fini de
GL(V ) engendré par des réflexions complexes.
Un élément s ∈ GL(V ) est une réflexion complexe si Ker(s − Id V ) est
un hyperplan (et s est d’ordre fini) :
s ↔
B
matrice Diag(ζ, 1, . . . , 1) , avec ζ racine de l’unité.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 15 / 16

Groupes de réflexions complexes
Soit V un C-espace vectoriel (de dimension finie).
Définition
Un groupe de réflexions complexes (fini) est un sous-groupe fini de
GL(V ) engendré par des réflexions complexes.
Un élément s ∈ GL(V ) est une réflexion complexe si Ker(s − Id V ) est
un hyperplan (et s est d’ordre fini) :
s ↔
B
matrice Diag(ζ, 1, . . . , 1) , avec ζ racine de l’unité.
Quid d’un analogue de la théorie de Coxeter, qui permette de
comprendre les groupes complexes de manière combinatoire
Topologie de l’arrangement d’hyperplans (groupe de tresses
associé...)
Comment trouver de “bonnes” présentations de ces groupes
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 15 / 16

Bibliographie restreinte
Roe Goodman, Alice through Looking Glass after Looking Glass : The
Mathematics of Mirrors and Kaleidoscopes, American Mathematical
Monthly, April 2004.
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 16 / 16

Bibliographie restreinte
Roe Goodman, Alice through Looking Glass after Looking Glass : The
Mathematics of Mirrors and Kaleidoscopes, American Mathematical
Monthly, April 2004.
Merci !
Kaléidoscope dodécaédral
(création Mark Newbold)
Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 16 / 16