Groupes de réflexions et groupes de Coxeter - De l ... - DMA - Ens
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Diagramme <strong>de</strong> Cox<strong>et</strong>er<br />
W est fini, donc pour s, t ∈ S, on peut définir m s,t := m(H s , H t ).<br />
L’angle entre H s <strong>et</strong> H t vaut<br />
Définition<br />
π<br />
m s,t<br />
, <strong>et</strong> st est une rotation d’ordre m s,t .<br />
Le diagramme <strong>de</strong> Cox<strong>et</strong>er <strong>de</strong> W est le graphe défini ainsi :<br />
somm<strong>et</strong>s : <strong>réflexions</strong> <strong>de</strong> S ;<br />
arêtes étiqu<strong>et</strong>ées : si s, t ∈ S avec m = m s,t ≥ 3 (i.e. H s <strong>et</strong> H t<br />
non orthogonaux), alors on note<br />
m<br />
s t .<br />
Quels sont les diagrammes <strong>de</strong> Cox<strong>et</strong>er possibles Il est assez facile<br />
<strong>de</strong> trouver <strong>de</strong>s conditions nécessaires sur<br />
(<br />
les valeurs<br />
(<br />
<strong>de</strong>s m s,t .<br />
Précisément, on montre que la matrice − cos π<br />
m s,t<br />
))s,t∈S est<br />
nécessairement définie-positive.<br />
Vivien Ripoll (ENS - <strong>DMA</strong>) <strong>Groupes</strong> <strong>de</strong> <strong>réflexions</strong> <strong>et</strong> <strong>groupes</strong> <strong>de</strong> Cox<strong>et</strong>er 11 mai 2009 7 / 16
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