Groupes de réflexions et groupes de Coxeter - De l ... - DMA - Ens

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$Corps finis, corps de fractions rationnelles (TD4)$

Le cas du type A Le groupe de permutations sur n éléments S n se plonge canoniquement dans GL n (R) : σ ↦→ M σ avec (M σ ) i,j = δ i σ(j) . Ainsi, S n se voit comme une groupe de réflexions fini, dont les réflexions sont les transpositions : la transposition (i, j) correspond à la réflexion d’hyperplan d’équation x i = x j . On peut choisir comme ensemble de réflexions fondamentales S = {(1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n)} = {s 1 , s 2 , . . . , s n−1 }. Son diagramme de Coxeter est A n−1 : s 1 s 2 s ...... n−1 Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 12 / 16
Présentation de Coxeter Tout groupe de réflexions fini W possède une présentation remarquable, dite présentation de Coxeter : 〈 W ≃ S ∣ ∀s ∈ S, s2 = 1 ; ∀s, t ∈ S, sts } {{ . . } . = tst } {{ . . } . m s,t m s,t 〉 . Vivien Ripoll (ENS - DMA) Groupes de réflexions et groupes de Coxeter 11 mai 2009 13 / 16
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Un problème de miroirs On place 3
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