1t:3 - IREM de Grenoble - Université Joseph Fourier

JOURNAL POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES DU
PREMIER CYCLE DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE
Ouverture vers les Sciences et les Technologies
petit x
1996-1997 n° 44
Comité de rédaction
René Berthelot
IUFM d'Aquitaine
Centre de Pau
Annie Bessot
Laboratoire Leibniz
Université J. Fourier - Grenoble
I.R.E.M. de Grenoble
Antoine Bodin
Collège d'Ornans
I.R.E.M. de Besançon
Bernard Capponi
Lycée Aristide Bergés, Seyssinet
Laboratoire Leibniz
I.R.E.M. de Grenoble
Gérard Chauvat
IUT GE II
Tours
François Conne
Chercheur en didactique des mathématiques
La Romanèche
Etoy (Suisse)
Ruhal Floris
Collège Voltaire et FAPSE Université de Genève
Carouge (Suisse)
Régis Gras
I.R.M.A.R. Campus de Beaulieu
Rennes
Denise Grenier
Laboratoire Leibniz
Université J. Fourier - Grenoble
Paule Kober
IUFMdeNice
Alain Mercier
Ecole Nationale de formation agronomique .
Castanet
Nadine Milhaud
I.P.R.
Rectorat de Toulouse
Robert Noirfalise
IREM de Clermont-Ferrand
Marie-Jeanne Perrin-Glorian
I.R.E.M. - Université Paris VII
Paris
Jean Portugais
Didactique des mathématiques
Université de Montréal
Jean-Claude Rauscher
Collège Martin Schongauer, Ostwald
!REM de Strasbourg
Secrétariat de rédaction: Annie Bessot et Bernard Capponi
I.R.E.M. de Grenoble
B.P. 41 - 38402 Saint-Martin-d'Hères Cedex
© 1996-1997 - I.R.E.M. de Grenoble - Tous droits réservés pour tous pays.
ISSN 0759-9188. Directeur de publication le Directeur de l'I.R.E.M. Claude MOSER
Composition, Annie Bicais, I.R.E.M. de Grenoble.

petit x
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En Suisse*, à François CONNE ou Ruhal FLORIS.
Au Canada **,à Jean PORTUGAIS.
* François CONNE, Chercheur en didactique des mathématiques, La Romachère, Etoy.
Ruhal FLORIS, Didactique des mathématiques, équipe de Jean Brun, FAPSE, Université de Genève, 9, route de
Drize, CH-1227 Carouge. Tél. (41) 22-705-98-36. Fax (41) 22-300-14-82. E-mail. floris@fapse.unige.ch
** Jean PORTUGAIS, Université de Montréal, Faculté des sciences de l'éducation, Département de didactique, C.P.
6128, succursale Centre-ville, Montréal (Québec) H3C 317. Tél. (514) 343-7102. Fax (514) 34~-7286. E-mail.
portugai@ere.umontreal.ca

SOMMAIRE
Cohabitation entre le calcul numérique et la calculatrice. Le point de vue du contrat
didactique (A.Birebent)......................................................................................................................................... 5
Activité Valeur exacte ou approchée 33
À propos de charades dont la solution est un système d'équations à deux inconnues
(G.Didierjean, C.Dupuis, R.Duval, M-A.Egret, D.Kremer, G.Robert, B.Wenner,
M.Ziegler)....................................................................................................................................................................... 35
Activité. .. deux pamllèles et une sécante
. 49
Activité. " deux tangentes : : .. 50
Actlvlte
.. ,
projectI
..
ons
d
ans un tnang
. 1 e .. 52
De l'économie et de l'écologie du travail avec le logiciel cabri-géomètre (T.Assude,
B.Capponi, P. Bertomeu, J-F. Bonnet)
53
Liste des auteurs
80

4
Le journal « petit x» :un journal pour le collège
Le journal «petit x» a été créé en 1983 par l'IREM de Grenoble pour favoriser la
diffusion de réflexions, de comptes rendus de travaux et d'activités réalisés dans les
classes du premier cycle de l'enseignement secondaire principalement dans le domaine
des mathématiques mais avec une ouverture vers les sciences physiques et la technologie.
Ses principaux objectifs sont:
- en ouvrant largement ses pages à des approches diverses, de constituer un lieu
d'échanges et de débats sur les problèmes soulevés par l'apprentissage et l'enseignement
des sciences au collège.
- d'ajouter un moyen nouveau de formation continue à ceux déjà disponibles dans
les IREM, et de constituer ainsi un complément aux stages de formation et aux
publications thématiques déjà existantes. La revue « petit x » est ainsi un outil précieux
pour les professeurs enseignant dans les IUFM.
- de constituer plus particulièrement un moyen de diffusion des travaux sur
l'enseignement notamment en ce qui concerne les recherches en didactique des
mathématiques. La revue « petit x » constitue un lieu d'interactions entre les enseignants
et les chercheurs.
Les articles publiés sont pour l'essentiel des types suivants:
- Vécu dans les classes: présentation et description d'activités ou de séquences
d'enseignement effectivement réalisées dans les classes de collège.
- Outils et documents: dans chaque numéro présentation d'activités directement
exploitables dans les classes et régulièrement de documents et de commentaires sur des
aspects historiques de notions.
- Recherches et réflexions : compte rendus de travaux portant sur des
problèmes d'enseignement ou d'apprentissages en mathématiques.
La revue « petit x » examine aussi tous les articles qui rentrent dans le cadre de ses
préoccupations et décide ou non de leur publication, éventuellement sous la forme de
courrier des lecteurs ou de tribune libre.
PROPOSITION DIARTICLE
Les articles soumis pour publication dans la revue « petit x» doivent être envoyés
en trois exemplaires à l'adresse de l'IREM de Grenoble que vous trouverez dans ce
numéro. Indiquer si l'article a déjà été publié ou s'il a été proposé à d'autres revues.
, Les textes sont examinés par deux lecteurs au moins. Dans le cas où ils sont
acceptés pour publication, il est demandé à l'auteur de fournir le texte définitif sous la
forme d'un fichier informatique dans un traitement de texte courant.
Copyright:
Le « copy right» de la revue est détenu par l'IREM de Grenoble qui accordera cependant aux auteurs, sur demande
et sans frais, l'autorisation de faire ré-imprimer leurs articles. Ils devront mentionner « petit x» pour première
publication, ainsi que le fait que c'est l'IREM de Grenoble qui détient le Copyright.

Encore un article sur les calculatrices !
La provocation sera de courte durée; l'artifice rhétorique sert d'avertissement au lecteur: qu'il ne
cherche pas dans cet article le prosélytisme d'un professeur de mathématiques persuadé des bienfaits du
bon usage des calculatrices en classe. Un titre plus sérieux et plus explicite serait:
COHABITATION ENTRE LE CALCUL NUMÉRIQUE
ET LA CALCULATRICE
LE POINT DE VUE DU CONTRAT DIDACTIQUE
Alain BIREBENT
Lycée Pierre du Terrail, Pontcharra
didactique des mathématiques, Laboratoire Leibniz
Cette cohabitation commença il y a vingt ans. La belle machine, apte à faire de
belles mathématiques aux yeux d'un amateur de mathématiques, en quoi pouvait-elle
servir le professeur de mathématiques et ses élèves D'engagements en désillusions,
d'innovations en résistances, les années qui suivirent l'intrusion de la calculatrice dans
le monde des mathématiques scolaires, démontrèrent que des questions didactiques
aussi simples, au premier abord, que l'intégration d'un instrument de calcul dans une
classe comportaient de redoutables écueils.
L'un de ces écueils, et non le moindre, réside dans l'inflation des opinions qui
viennent de toutes parts sur le sujet. Monsieur tout le monde: " Avec les calculatrices,
ils ne savent plus calculer de tête". Le professeur, votre collègue: "Pour la plus petite
addition, ils se précipitent sur leur calculatrice, quand ils en ont une; cela favorise la
paresse intellectuelle" ou bien "Il faudrait leur apprendre à se servir d'une calculatrice
mais..." ou bien encore "La calculatrice tue le calcul algébrique ". Le constructeur de
calculatrices: "La calculatrice demande à l'élève une rigueur tant sur la manière
d'exprimer un problème, que sur la façon d'aborder les simulations numériques; très
vite cette demande amène l'élève à faire une analyse détaillée des situations..... En tant
qu'outil individuel, l'élève est confronté à un choix de solutions, son initiative étant
sanctionnée par sa seule autocritique, il doit s'auto-évaluer pour, en final, ne proposer
que la solution optimale". Le parent d'élève: "Sans la calculatrice la plus performante,
mon enfant risque d'être pénalisé".
Analyser ces opinions pour en faire autre chose que des opinions, parce que les
questions didactiques sous-jacentes ne devraient pas rester des affaires d'opinion, c'est
un peu ce qui motive mon entrée en Didactique; et le travail que je présente s'inscrit
« petit x » nO 44, pp. 5 à 32, 1996 - 1997

6
dans l'ambition de transfonner certaines questions didactiques en questions de la
Didactique!.
Première partie
Vingt ans déjà, disions-nous; on peut penser que l'intrusion des calculatrices dans
la classe de mathématiques a changé les pratiques de calcul, notamment les pratiques de
calcul numérique. Et voilà notre première restriction : nous nous en tiendrons à cette
partie des mathématiques appelée communément calcul numérique et identifiée à la
gestion des nombres à partir de leurs représentations symboliques. Justifions cette
restriction par l'idée que la fonction première de la calculatrice est de calculer avec des
nombres.
Le calcul numérique comprend les opérations numériques et leurs différentes
techniques (mentales, écrites ou instrumentales), les transfonnations d'expressions
numériques et les règles afférentes, le traitement des égalités et inégalités numériques,
les approximations. Cette gestion, originellement conçue au service d'autres activités
mathématiques, (compter, mesurer, repérer, comparer, évaluer, numéroter, partager,
ordonner, etc....), a développé ses propres finalités et défini un territoire mathématique
et didactique. L'enseignement français lui offre une place considérable dans les
programmes du secondaire. En témoigne l'exposé des objectifs et des capacités
valables pour le programme de la classe de seconde : "Les problèmes et méthodes
numériques doivent être largement exploités ; ils jouent un rôle essentiel dans la
compréhension de nombreuses notions mathématiques et dans les différents secteurs
d'intervention des mathématiques; ils pennettent aussi d'entraîner les élèves à
combiner l'expérimentation et le raisonnement en mathématiques et concourent au
développement des qualités de soin et de rigueur. Il convient, en outre, de mettre en
valeur les aspects algorithmiques des problèmes étudiés, notamment à propos de la
gestion de calculs... ".
La richesse du calcul numérique, qui peut tout aussi bien s'incarner dans du
"quotidien" que s'inscrire dans les constructions théoriques les plus fonnalisées, est
travaillée par la transposition didactique 2 . C'est ainsi que nous interprétons
l'élaboration successive de systèmes de nombres 3
- qui sont autant de réservoirs numériques dans lesquels on puise les solutions
numériques des problèmes
1. mémoire de D.E.A.(juillelI996), réecril el condensé.
2 Chevallard (1985) : "Toul projel social d'enseignemenl el d'apprenlissage se conslilue
dialectiquemenl avec l'idenlification el la désignalion de contenus de savoirs comme conlenus à
enseigner ... Un contenu de savoir ayant élé désigné comme savoir à enseigner subil dès lors un
ensemble de transformalions adaplalives qui vonl le rendre aple à prendre place parmi les objels
d'enseignemenl. Le travail qui d'un objel de savoir à enseigner fail un objel d'enseignemenl esl appelé
la transposition didactique".
3. Chevallard (1989) : "On appelle ici syslème de nombres lOul ensemble de nombres sur lequel on a
défini une addilion, une multiplicalion, une relalion d'ordre lolal... avec des propriélés qui aUlorisenl
loule équation du premier degré, qui n'esl pas une idenlité, à posséder une solulion unique... el en font
un domaine d'intégrité donlla forme rappelle celle d'un corps algébrique clos".

7
- qui sont autant de pré-structures sur lesquelles on appuie le calcul algébrique 4.
L'ensemble des entiers naturels, celui des entiers relatifs, celui des décimaux, celui des
rationnels sont les représentants les plus voyants de ces systèmes de nombres; nous
pouvons y ajouter les ensembles Di (D3 contient tous les décimaux avec exactement 3
chiffres derrière la virgule) et certains sous-corps de R comme Q( ..fi.).
Soulignons que cette élaboration débouche sur l'ensemble des nombres réels, R,
espace mythique que tout élève de troisième et de seconde se doit d'explorer pour être
en mesure d'affronter l'étude des fonctions numériques définies et continues sur les
intervalles de R. La bijection entre l'ensemble R et l'ensemble des points d'une droite,
la complétude de R qui répare les insuffisances des ensembles D et Q à résoudre les
équations et à intégrer plus tard les limites de fonctions sont autant de pré-requis
supposés acquis lorsque débute l'Analyse.
Et voici notre deuxième restriction : nous travaillerons au niveau des classes de
troisième et de seconde, là où s'engage (et se termine officiellement) la construction de
l'ensemble R.
Dans le même exposé des objectifs et capacités valables pour le programme de
seconde, on peut lire : "L'emploi des calculatrices scientifiques vient renforcer les
possibilités d'étude des questions numériques, aussi bien pour effectuer des calculs
que pour vérifier des résultats ou alimenter le travail de recherche. En particulier.. .les
élèves doivent savoir, au moyen de leur calculatrice, effectuer des calculs
numériques..."
Nous assistons à un lent mouvement qui pousse les enseignants et les élèves,
confrontés à l'enjeu didactique que représente le calcul numérique, à installer la
calculatrice comme partenaire particulier de leurs ébats.
Quel que soit le devenir de ce mouvement, il nous semble opportun d'en examiner
les mécanismes, de décrire les rapports que construit l'institution scolaire pour faire
vivre ensemble le calcul numérique et la calculatrice. Nous choisissons d'étudier, plus
précisément, le contrat didactique qui a le mérite, à nos yeux, d'objectiver les actes
d'enseignement et les pratiques de classe:
- d'une part en les inscrivant dans un ensemble de contraintes qui s'imposent aux
partenaires (enseignants et élèves) dans le fonctionnement didactique
- d'autre part en décrivant les comportements de ces partenaires dans des règles
contractuelles qu'ils reconnaissent.
Résumons-nous sous la forme d'une question: quel est le contrat actuel, spécifique
à la calculatrice, pour du calcul numérique en classe de troisième ou de seconde
4. Chevallard (1989) : "Le calcul algébrique constituera le mobile essentiel et l'outil fondamental de la
construction des systèmes de nombres successifs".

8
Deuxième partie
Où traquer ce contrat Dans des lieux et à des moments où il officie: dans les
instructions officielles, dans les programmes scolaires, dans les manuels scolaires,
dans l'évaluation scolaire 5 , dans les activités de classe.
Voici un premier exemple pris dans l'évaluation organisée par le ministère de
l'Éducation Nationale à l'entrée en seconde (septembre 1996)
Calculer la valeur arrondie à 10- 3 de: 4,7 x 6, 7~ 0,95 2
4 7 x 6,76 - 0,95 2 ""
, ..f5+1
5 +1
Selon ses concepteurs, "cet item teste l'utilisation de la calculatrice dans un calcul
relativement complexe. Aucune erreur significative ne peut être retenue; de par sa
complexité même, l'expression proposée contient plusieurs sources d'erreurs. En
début de seconde, les élèves ne maîtrisent pas toujours l'usage de leur calculatrice. Les
résultats de la classe 6 à cet item permettront d'apprécier le temps qu'il faudra consacrer
à la prise en charge de cet apprentissage". .
Que doit faire l'élève Le choix des nombres (décimaux non entiers et irrationnel),
l'absence d'encadrement ou de valeur approchée disponibles pour ..f5, la demande
d'une valeur arrondie du résultat, tout pousse l'élève dans les bras d'une calculatrice.
Il devra alors transformer l'expression numérique en une suite d'instructionsmachine,
lire le résultat à l'écran et le tronquer pour obtenir 8,507. Dispose-t-il de
moyens de contrôle capables, notamment, de valider le dernier chiffre En tout cas, la
valeur exacte de
d'aucun secours.
110121 .
16000
x (..f5 -1), écnte dans Q(..f5) ) lui est inaccessible et
Regardons maintenant dans des manuels.
Nous espérons trouver dans le choix des exercices, la formulation des énoncés, les
relations entre le cours et .les exercices, des manifestations contractuelles entre l'auteur
du manuel (l'enseignant) et l'élève.
En effet, le contrat didactique gouverne la répartition des tâches entre deux pôles
caractérisés: le cours que l'enseignant doit présenter et que l'élève doit savoir (c'est le
5. Joshua et Dupin (1993) "Bien que l'évaluation ne résume pas le contrat didactique, elle en est
révélatrice en certains aspects importants. L'évaluation ne sert pas seulement à jugerde la conformité
de la production d'élèves avec ce qui est attendu par le professeur. Elle sert aussi à une précision fine
des aspects de l'objet d'enseignement traité qui seront réellement de la responsabilité de l'élève. Un
aspect de l'objet non inscrit aux contrôles, si cette absence est systématique, se dissout comme base du
contrat didactique. Ceci esl vrai, même si par ailleurs, une part importante de l'activité de la classe lui
est consacrée."
6. 19% de réussite pour le lycée de Pontcharra

9
savoir institutionnel, de l'institution collège ou lycée), les exercices que l'enseignant
doit fabriquer et que l'élève doit réussir 7 •
- Voici deux exercices, typiques des entraînements au calcul numérique en classes
de troisième et seconde.
• (P2, p.15)8 Calculer a, b, c. Les résultats seront donnés sous forme defractions
irréductibles.
5 3 2 35 4 9 6 4 3
a=-+---' b=-x-x-' c=-+--­
6 4 3' 36 7 10' 5 3 2
• (n, p.15) Simplifier l'écriture des quotients suivants:
3-~ 4 x9 + 1
A
- __l_·B- 7·C-~5 __
-1 l' - 2' -7
-+­ 5-­ -x9+1
3 5 7 6
Ces énoncés proposent la même activité calculatoire, faite de manipulations sur les
fractions de nombres entiers; l'un d'entre euX parle d'un jeu d'écriture et l'autre d'un
calcul assorti d'une condition d'écriture sur le résultat. Les rédactions d'énoncés ne
sont pas innocentes et fonctionnent comme des codes intégrés dans le contrat. Ici,
l'insistance sur l'écriture des nombres guide l'élève sur des méthodes dites de
simplification.
Remarquons aussi que l'écriture fractionnaire imposée, avec des nombres entiers,
invite l'élève à ne pas utiliser la calculatrice. Pour nous en persuader, remplaçons le
calcul
Al = A par le calcul A 2
= 1+ (l + 3 + 1+ 5) dont la présentation linéaire invite
-+­
3 5
(à table) la calculatrice pour tout élève qui sait (et c'est le cas en troisième ou seconde)
que la calculatrice respecte les priorités opératoires. Mais cet élève ne pourra pas écrire
" Al =A = 1,8175 grâce à ma calculatrice" sans s'opposer implicitement à une
-+­
3 5
démarche simplificatrice qu'il doit lire dans l'énoncé et qu'il doit respecter pour faire
valoir son travail.
Enhardissons-nous en concevant l'exercice suivant:
• Utiliser une calculatrice pour donner le nombre a suivant sous forme de fraction
irréductible:
7. Etonnant paradoxe: ce que l'élève ne produit pas (le cours), il doit le savoir; ce qu'il produit (la
résolution de l'exercice), il peut l'oublier. Mais la réussite de l'élève à l'exercice lui permet d'assumer
pleinement, de son poinl de vue, sa part du contrat. Il revienl à l'enseignant de désigner les savoirs en
jeu, de les opérationnaliser en exercices pour lesquels la réussite de l'élève prouve l'acquisition de
connaissances sur les savoirs visés.
8. P2= Pythagore seconde, T3= Terracher troisième etc...Ces manuels ont été choisis pour leur
renommée dans le milieu enseignant.

10
532
a=-+--­
643
L'élève pourrait effectuer à la calculatrice la séquence suivante:
5+6+3+4-2+3=xI2=, lire 11 et écrire a=.!...!.. Le fera-t-il Nous en
12
doutons fortement. Les parties cours des manuels ne comportent aucune théorisation
susceptible d'appuyer une telle démarche. Ce sont les activités préparatoires, les
travaux pratiques commentés et les "points-méthodes" qui, en marge du cours, se
risquent à présenter l'usage d'une calculatrice mais en le restreignant à l'exécution du
calcul sous la forme d'une suite d'instructions directement issue des priorités
opératoires (voir annexe 1).
- Une autre situation algébrique 9 concerne les puissances.
• (P2, p.118) Donner l'écriture simplifiée de l'expression :
5 13 3 16 2 11
A =215 X 514 X 315
• (T2, p.27) Simplifier_au maximum:
B =(0,6- 3 )3 X( _~JIO
Interrogeons-nous: simplifier se comprend comme effectuer des simplifications
successives selon des règles connues (ou à connaître) tandis que donner une écriture
simplifiée indique la simplicité de l'écriture finale.
Pour A cette simplicité est-elle réalisée par 2 2 X 3 1 X 5- 1 1O par ~ par 2,4
5
D'autre part cet accès à la simplicité du résultat final est de fait quasiment interdit de
calculatrice à cause de la complexité de l'écriture initiale.
Toujours pas de référence officielle dans les manuels pour la place des calculatrices
sinon en marge du cours. Seuls quelques exercices isolés, clairement étiquetés
proposent d'employer la calculatrice. C'est le cas de l'exercice résolu suivant,
accompagné d'un point méthode:
• (TI, p.21) Effectuer les calculs suivants à l'aide de la calculatrice et présenter les
résultats en notation scientifique:
A = (~ X 10- 3 Y- 2,2 x 6,1 X 10-4
B = 3,01 X 10- 2 + 0,73 x 10- 1
95,2 X 10 3
où toute tentative de simplification serait suicidaire!
9. Nous qualifions ainsi une situation où l'enjeu mathématique réside dans la mise en oeuvre de règles
de simplification liées à la structure sous-jacente au système de nombres. Nous distinguerons les
situations algébriques, géométriques, graphiques et statistiques.
10. Dans quel système numérique l'élève est-il invité à travailler

11
- Puis les calculs comportant des radicaux:
• (P3, p.43) Simplifier ~
• (P3, p.46) Calculer et écrire sous la forme la plus simple possible (3-J7 + 1)2
De nouveau des formulations langagières qui se réfèrent à la simplification pour
désigner le calcul. Il s'agit de persuaderl'élève "calculateur" que les bons résultats sont
ceux qui s'expriment àvec des nombres entiers, de discréditer en conséquence la
calculatrice sous le prétexte qu'elle ne peut pas fournir de tels résultats, handicapée
qu'elle est par ses approximations. Pour ces raisons, l'exercice suivant:
• (T3, p.55) "Prouver que A = ...J8 x.fi - 2...fi5 + 5& est un nombre entier"
devra être compris par l'élève comme interdit à sa calculatrice qui pourtant lui fournit
aisément le résultat (exact).
L'autorisation d'utiliser sa calculatrice viendra avec l'exercice (spécifique à la
calculatrice) :
• Vérifier, avec une calculatrice, que: .,J45 -..J8i5 +..J5 = 0
Mais vérifier n'est pas prouver!
Laissons la parole au manuel T2, p.24 qui, dans un point-méthode, nous explique
le mot simplifier:
"Sans autre précision, dans le contexte où nous sommes, cela voudra dire: obtenir
l'écriture la plus lisible, accessible et immédiate possible (sans radicaux au
dénominateur, en préférant 4...J3 à ..J48, avec le moins de symboles -( possible,
etc....)" et qui note: "certaines expressions ne peuvent être simplifiées telles 3 - -J7,
-,.5+2...J3 , .fi+...J3.,,11
Cette note technique peut-elle lever les réticences des élèves à manipuler les
écritures numériques sous les formes simplifiées proposées Nous en doutons et
nous proposons deux raisons:
1. Ces écritures sont simples pour le mathématicien savant car il les envisage au
sein d'une structure algébrique stable pour certaines opérations (Q, Q (.fi» dont
l'intérêt mathématique n'est pas dégagé ici. Pourrait-il l'être Dans quel type de
problème autre que celui de structure, cette simplification est- elle fonctionnelle
2. Ces écritures ne sont pas simples pour l'élève mathématicien de troisième ou de
seconde qui vient de les découvrir et qui surtout dispose d'une autre écriture simple
qu'il connaît bien, l'écriture décimale (avec des points de suspension, si nécessaire 12 ).
Cette écriture décimale est stable pour toutes les opérations et l'apparence de stabilité
est renforcée chez l'élève par l'usage des calculatrices.
11. Il faut apprécier les efforts d'explicitations présents dans ce manuel et quasi-inexistants dans
d'autres.
12. Il faut imaginer un système numérique hybride de D...

12
Nous rejoignons l'hypothèse que la décimalisation des nombres, conçue par
juxtaposition ou même par emboîtement 13 des systèmes de nombres Di, constitue un
obstacle (épistémologique ) au passage conceptuel de l'ensemble D à l'ensemble R.
Voici des exercices où le calcul numérique produit une signification géométrique car
les nombres et les opérations renvoient à des grandeurs et à des manipulations de
nature géométrique. La plupart des activités géométriques qui travaillent le théorème de
Thalès, celui de Pythagore et la trigonométrie comportent des calculs de longueurs,
d'aires, de volumes, d'angles. Ainsi:
• (P3, p.52) Un rectangle a pour dimensions 28m et 63m :
a) Calculer le diamètre du cercle circonscrit au rectangle,
b) Un carré a la même aire que celle du rectangle. Calculer le périmètre du carré.
• (P3, p.52) Une couturière doit coudre un galon tout autour d'une nappe circulaire
de 2m 2 . Quelle longueur de galon doit-elle prévoir
• (P3, p.1) La figure ci-dessous représente un triangle ABC rectangle en A tel
que BC = lOcm et AC = 3cm.
a) Calculer AB.
b) Calculer cos C ; en déduire une mesure de C à 1 0 près.
c) Sachant que H est le projeté orthogonal de A sur BC, calculer une valeur
approchée à0,1 cm près de AH.
Remarquons tout de suite la demande de valeurs approchées pour que les résultats
retrouvent une intelligibilité liée à la situation géométrique. Comment expliquer.
autrement la présence des unités de longueur et d'angles Cette présence "appelle"
celle des nombres décimaux alors que les résultats des calculs ne le sont pas
nécessairement.
Dans le premier exercice, la question a) n'attend certainement pas la réponse
D = -J97 mètres mais plutôt D=68,94 mètres obtenue directement par exécution de
~632 + 28 2 sans simplification.
Dans le deuxième exercice, nous n'imaginons pas la couturière couper
21tH mètres de galon mais plutôt 503 centimètres. La touche 1t de la calculatrice f~it
affaire, à la place du nombre 1t. Le couple exact-inexact des exercices précédents a
laissé place au couple approché-inexact car la valeur exacte, non décimale, ne présente
plus d'intérêt. Au jeu numérique d'approximation, la calculatrice s'impose d'emblée
car il n'est pas question de construire des encadrements de 21t~ même après sa
transformation en ..j8ii. Et pourtant, quel crédit apporter à la calculatrice La
deuxième décimale après la virgule est-elle saine si oui, pourquoi
13. Hypothèse déjà formulée par Izorche en 1977 et Margolinas en 1988 et travaillée par Branner
(1997).

13
Dans le troisième exercice, posé au Brevet des Collèges en 1990, il était possible en
utilisant des relations métriques· ( AH x BC =AB x AC ) de conduire l'élève au résultat
exact AH = ..../819 . 11 Ya volonté manifeste de passer par les angles quitte à valider la
10
démarche par le recours à la calculatrice. On a alors :
AH = ACxsin(cos-10,3) = 2,8à'1O- 1 près par défaut.
La calculatrice, maintenant admise, ou justifie une valeur approchée ou réalise un
calcul jugé impossible sans elle, ou exécute un calcul jugé inintéressant.
Les parties cours, maintenant, mentionnent le recours à la calculatrice (les tables
trigonométriques d'autrefois) et les points-méthodes y reviennent longuement (T3
p.202, P3 p.169-l70).
Mais pas plus que dans les situations algébriques susmentionnées, la pertinence de
son usage n'est éclairée ni justifiée.
Tenninons cette analyse préalable par un sourire:
(TI 10)V "fi '1 1 1" (21,08+2,44)x(61,7-8,5) 1995
• , p. en 1er a a ca cu atrIce que: =
1,12xO,56
Par quel miracle mathématique, des calculs si compliqués avec des nombres
décimaux non entiers peuvent-ils donner un nombre entier Faut-il croire la
calculatrice, elle d'ordinaire si suspecte de trahisons dans les divisions" Changeons
l'exercice qui devient:
• Expliquer qu'il faut avoir confiance dans la calculatrice quand elle fournit l'égalité
. (21,08+2,44)x(61,7-8,5) 1995
SUIvante: =
1,12xO,56
mais qu'il ne faut pas garder' cette confiance quand elle indique que
123456,23 + 991 =123457.
1287
Troisième partie
NouS sommes en mesure maintenant de présenter deux hypothèses conjointes pour
décrire le contrat:
- il intègre l'appréciation, par chacun des partenaires, du pouvoir mathématique de
l'instrument de calcul,
- il intègre la distinction, dans le calcul numérique, entre exécution et simplification.
Cette description du contrat, autour de deux sources de contraintes, condense
plusieurs constats:
- la dualité du calcul numérique, à la fois outil de résolution de problèmes et objet
d'étude pour impulser ou appuyer des démarches algébriques;

14
.: l'existence de systèmes de nombres choisis pour leur plasticité didactique, soit
réselVoirs numériques, soit pré-structures algébriques;
- la prééminence théorique de l'ensemble préconstruit R ;
- les capacités, actuelles, des calculatrices, essentiellement axées sur l'exécution des
calculs dans un système numérique inclus dans l'ensemble D ;
- l'obligation de mener des approximations numériques avec de faibles bagages
théoriques.
Présentons chacune des deux hypothèses de façon plus détaillée.
Première hypothèse (centrée sur la calculatrice)
La calculatrice dispose d'une autorité mathématique dans la mesure où ce qu'elle
affiche peut faire autorité. Cette autorité relève d'un pouvoir mathématique qui
s'impose de facto aux élèves et à l'enseignant. Ceux-ci, conjointement ou séparément
selon les situations, composent avec ce pouvoir.
La reconnaissance du pouvoir
Dans l'exercice de P3 p.177, présenté précédemment, la longueur AH s'obtient par
3 xsin(cos- 1 0,3) et chacun s'en remet à la calculatrice en ne doutant pas qu'elle
fournisse un résultat conforme aux exigences mathématiques.
L'égalité ou la suite d'égalités qui résume mathématiquement le calcul de
l'expression numérique devient une suite d'instructions que réalise la machine. Ce
travail effectué par la machine apparaît à tous comme un travail mathématique et il est
d'autant plus digne d'intérêt que la machine le fait vite et qu'elle est la seule, dans
certaines circonstances, à pouvoir le faire.
Que la calculatrice agisse comme une boîte noire importe peu, puisqu"'elle a la
courtoisie de ne rien laisser paraître - ou presque - du travail mathématique cristallisé en
elle." (Chevallard, 1987). Cela se passait ainsi avec les tables trigonométriques. Cela
se passe encore ainsi avec la plupart des algorithmes d'opérations qui, une fois
enclenchés, fournissent un résultat incontesté.
La quantité de mathématiques invisibles qu'elle contient renforce le pouvoir de la
machine.
La remise en cause du pouvoir
La calculatrice ne donne du pouvoir qu'à celui qui la courtise: l'utilisateur doit
élaborer les instructions, les saisir; il doit lire le résultat et le communiquer; il doit
maîtriser l'instrument et même apprendre son fonctionnement 14.
14. Rabardel (1995) décrit l'impact d'un instrument sur l'activité cognitive de son utilisateur et
conclut ainsi: " le contrôle de l'ouverture du champ des actions possibles comme de l'activité requise
(activité du sujet exigée par l'instrument pour son utilisation et son appropriation) constituent deux
dimensions importantes de l'usage éducatif des instruments". Il précise auparavant: "Disposer d'une
machine "à forte puissance de calcul peut aussi bien permellre d'explorer des types de tâches
mathématiques autrement inaccessibles, que supprimer des activités en elle-même formatives. De la
même façon, les dimensions de structuration de l'action dont est porteur l'instrument ont la même
ambivalence. Elles rendent possibles pour le sujet de nouvelles modalités d'organisation de son action,
renouveler par exemple les conditions d'implications réciproques des buts et des moyens,

15
De plus la machine travaille en laissant peu de traces si bien que la vigilance
mathématique change de nature et de forme. Elle ne peut plus s'exercer continûment
sur le processus de calcul lui-même (la suite d'égalités) mais en deux temps distincts,
l'un en amont (quelles instructions ), l'autre en aval (quel résultat ). Le contrôle sur
les instructions nécessite des apprentissages (et des enseignements) nouveaux, le
contrôle sur le résultat lui-même requiert souvent des connaissances mathématiques
différentes de celles qui sont en jeu dans le calcul lui-même (appartenance du nombre à
un ensemble, ordre de grandeur, valeurs approchées, etc....).
N'oublions pas qu'un calcul numérique ne possède d'existence mathématique qu'au
sein d'un système de nombres qui englobe tant les nombres de l'expression numérique
que le nombre appelé résultat de calcul. Même si le système de nombres n'est pas
toujours explicité (en fin de troisième et en seconde, c'est souvent l'ensemble R, par
défaut), il n'est pas absent. Celui de la calculatrice n'est ni Q, ni R et encore moins
l'ensemble D, contrairement aux apparences. Aucun des nombres de la calculatrice n'a
les propriétés mathématiques du nombre auquel il emprunte son écriture décimale. La
calculatrice fournit un modèle de R très performant dans de nombreux calculs mais ce
modèle ne peut être confondu avec l'ensemble R officialisé dès la classe de troisième.
Deuxième hypothèse (centrée sur le calcul numérique)
Un calcul est une succession d'opérations sur des nombres dont l'aboutissement est
le résultat. Nous appelons simplification du calcul toute conduite qui inscrit la totalité
des opérations dans un système de nombres considéré comme une structure algébrique
et qui identifie le résultat à un élément de cette structure. Nous appelons exécution du
calcul toute conduite qui consiste à produire un nombre reconnu comme le meilleur
représentant du résultat dans un système de nombres considéré comme un réservoir
numérique.
L'exécution du calcul
Elle obéit à la nécessité de disposer du résultat du calcul sans vraiment s'intéresser
au calcul lui-même. Cette nécessité presque toujours dictée par l'intégration du calcul
dans une autre activité (mathématique ou non) conduit à trouver une valeur 15 (dite
exacte ou dite approchée). Nous l'avons rencontrée dans les situations géométriques
mais elle existe aussi en analyse (les valeurs d'une fonction numérique), en statistiques
(la valeur moyenne d'une série). L'exécution est réalisée essentiellement grâce aux
règles ~e priorité et à divers procédés d'approximation décimale, si besoin est. Dans ce
mode, le calcul peut être interprété comme une suite d'instructions disponibles sur
toute calculatrice scientifique. Il suffit d'identifier, entre autres, le signe = avec la
touche EXE. Avec les éditeurs d'expression actuels, la transformation du calcul
ressemble à un recopiage, à condition d'avoir linéarisé l'expression numérique.
d'enchaînement des bulS et souS-bulS, de contrôle de l'action, mais elles fennent la porte à d'autres
possibles."
15 La valeur d'un nombre n'est pas le nombre lui-même. A la question "combien vaut .fi 7", est-il
possible de répondre" .fi"7 C'est le système numérique choisi (grâce au contexte) qui "valorise" le
nombre.

16
L'ensemble D fait office de réservoir numérique, ce qui renforce la décimalisation des
nombres réels 16 , vivace chez les élèves jusque dans l'enseignement supérieur.
La simplification du calcul
Elle obéit à la nécessité de consolider les liens entre les différents nombres et de
construire des structures numériques, le plus souvent des sous-corps de R. Cette
nécessité souvent dictée par des sollicitations algébriques conduit à trouver un
nombre 17 (élément d'un ensemble numérique structuré ). La simplification est réalisée
essentiellement grâce aux règles de simplification (appelées onnules au lieu de
théorèmes et présentées avec des lettres comme (a x b)2 =a 2 x b2) et rarement suivie
de procédures d'approximation qui pourraient obliger à sortir du système de nombres
choisi. Dans ce mode, la transfonnation du calcul pour le rendre réalisable par la
calculatrice, passe par l'élaboration de programmes spécifiques, à moins de disposer
d'une calculatrice dont les capacités en calcul fonnel couvrent toutes les gammes
imaginables de simplification. Les nombres entiers sont privilégiés même dans R. Les
fonnes ~,a..,Jb, c + a..,Jb , où a, b, c sont des entiers, indiquent l'arrêt du calcul pour
b
empêcher son exécution ou sa simplification abusive. Exécuter 2 + 3-fi est un crime
car le résultat décimal ne contient plus les bonnes informations sur la place du nombre
2 + 3-fi dans l'ensemble structuré R. Simplifier 2 +3-fi en 5-fi renie les règles de
priorités opératoires. Ces mêmes nécessités conduisent à sanctifier le nombre 1t et plus
tard le nombre e qui ne sont pas réductibles dans leur écriture à des entiers.
Ces deux modes, parce qu'ils n'insèrent pas le calcul numérique de la même façon
dans la mathématique, sont distingués au point d'être séparés et même opposés dans
les démarches didactiques. L'exécution y apparaît comme la production d'une valeur,
la simplification comme la production d'égalités numériques. Par la première, le calcul
numérique sert d'outil de résolution d'un problème qui lui est extérieur; par la
seconde, il est traité comme un objet 18 dont les propriétés, au regard de la structure
algébrique, et non les usages, sont jugées intéressantes.
La concurrence pour ne pas dire l'opposition entre les deux modes de calcul est une
création de la transposition didactique; on ne la retrouve pas dans les activités
mathématiques libérées des finalités didactiques qui, au contraire, mobilisent la
concourance des deux modes.
Cette concurrence rejaillit sur les rapports entre l'homme calculateur et la machine
calculatrice. Pour caricaturer, l'exécution est machinale et la simplification est réfléchie.
16. Neyret (1995), en étudiant les rapports aux systèmes des nombres à la fin du collège et à l'entrée à
1'1.U.F.M.( Institut de Formation des Maîtres), montre la force el la persiSLance de ce phénomène.
17. Plutôt que de trouver un nombre, il s'agit de retrouver le nombre sous un autre habillage, une autre
écriture.
18. Nous faisons réference à la notion de dialectique oUlil-objet que Douady (1986) décrit ainsi: "c'est
un processus cyclique organisant les rôles respectifs des enseignants et des élèves, au cours duquel les
concepts mathématiques jouent alternativement le rôle d'outil pour résoudre un problème et d'objet
prenant place dans la construction d'un savoir organisé".

17
Quatrième partie
Comment le contrat didactique, tel que nous le présentons, régit-il les rapports
calculs-calculatrices dans le quotidien des classes de troisième ou de seconde
Essentiellement, en produisant des normes, des règles, des codes générateurs de
conduites chez les élèves et les professeurs. Nous regroupons quelques-unes de ces
règles autour de deux lignes de force.
La territorialité de la calculatrice
Sur initiative de l'enseignant, la calculatrice est écartée de certains calculs et l'élève
apprend à respecter publiquement cette territorialité, notamment dans la résolution
d'exercices. Cette territorialité cherche, d'une part, à interdire de calculatrice tout calcul
que l'enseignant conçoit comme une simplification, d'autre part, à recommander la
calculatrice s'il s'agit d'une exécution jugée difficilement accessible voire inaccessible à
la main. Cette construction est lisible:
- dans les consignes péremptoires du type "calculer sans calculatrice" ou "calculer
avec calculatrice",
- dans les stratégies langagières déployées par les auteurs de manuels : calculer
devient simplifier, écrire, ... ou bien calculer devient calculer une valeur approchée
de ...,
- dans l'insistance sur les expressions 'valeurs exactes', 'valeurs approchées',
- dans le choix des nombres et des symboles présents dans les calculs : petits
nombres entiers (2 chiffres au plus) ou nombres décimaux non entiers, écriture
fractionnaire ou écriture décimale, etc....,
- dans le choix du résultat attendu: obtenir un nombre entier, c'est un indice de
bonne conduite "simplificatoire" !
Cette territorialité différencie les conduites calculatoires qui deviennent soit
"simplificatoires", soit "exécutoires". Calculer ~+ 2 relève d'un algorithme manuel
3 4
(dont la machine est exclue; son intervention est acceptée, à la rigueur, dans un
contrôle final) et calculer 4 7t (1,5)3 relève d'un algorithme conçu pour la machine;
3
l'intervention humaine est cantonnée à la mise en place de cet algorithme et acceptée, à
la rigueur, dans le contrôle final).
Nous appelons algorithmes machinistes (ou calculogrammes ou séquencesmachines)
les organisations des calculs directement intégrables en machine. Par
4 .
exemple: -7t(1,5)3 = 4+ 3 x 7t x 1,5x Y 3 "" 14,14.
3
Ces algorithmes ont remplacé les méthodes de calcul numérique approché bâties sur
les notions d'encadrement, d'erreur absolue, d'erreur relative et sur l'utilisation de
tables ou de règles à calcul 19; ne subsistent que la notion d'ordre de grandeur et de
19. A disparu également l'algorithme manuel d'extraction d'une racine carréé qui fournissait
"automatiquement" la valeur décimale approchée par défaut avec la précision désirée. Cet algorithme,

18
chiffres significatifs. L'élève doit apprendre, sans justification théorique sous-jacente,
à se débarrasser de chiffres encombrants et douteux grâce aux troncatures et aux
arrondis 20 .
Les trois états du résultat
Le calcul d'une expression numérique se termine avec la production d'un unique
nombre appelé résultat.
Voici une affirmation dont les fondements théoriques ne sont pas explicités en
classe mais qui agit comme une règle contractuelle entre l'enseignant et l'élève
"calculateurs. L'unicité du résultat qui réalise le calcul (il lui restitue sa réalité) en
permet, en effet, la critique objective. Elle autorise à la fois la contestation et la
validation du résultat mais elle doit s'accommoder de la multiplicité des écritures du
nombre. Le professeur rejette 5,828 qui ne remplace pas 3+ 2.J2 comme résultat de
(1 + .J2)2 et il accepte 3+ -VS. Notons que la calculatrice maintient l'unicité du résultat
au prix d'une décimalisation qui fournit prétexte à de nombreuses contestations.
Une deuxième règle contractuelle intervient alors: le résultat est soit exact, soit
approché, soit inexact.
Ces trois états distincts du résultat (aussi appelés valeurs) organisent la coexistence
entre l'exactitude et l'approximation (ou plutôt la proximité), coexistence mise à mal
par l'usage de la calculatrice. Les contestations sur l'exactitude du résultat proposé
n'aboutissent pas nécessairement à son rejet car elles peuvent s'accommoder de
l'annonce publique d'une approximation. L'enjeu est alors quelquefois reporté sur la
précision de cette approximation. La précision devient le chemin vers l'exactitude.
Dans le calcul de (l + .J2)2, s'il annonce 5,82842712474, avec tous les chiffres de
sa calculatrice, l'élève manifeste sa volonté de répondre le plus exactement possible et
espère que le professeur appréciera ce souci d'exactitude. Mais ce dernier n'accepte pas
la remise en cause du contrat de simplification s'il juge qu'il n'y avait pas de doute sur
ses intentions.
La règle n'est pas employée seulement par l'élève qui "fuit" ses responsabilités. Elle
sert aussi au professeur qui demande de calculer avec le nombre x de l'intervalle [0 ;
7t/2], dont le cosinus est 0,3 (x = cos- 1 0,3), qui sait ne pas disposer d'autres écritures
pour engager des procédures de simplification (avec les nombres transcendants, il
faudrait des outils plus perfectionnés comme les nombres complexes ou les séries
entières) et qui va se contenter, sans justifier pleinement sa démarche, de la valeur
approchée fournie par la calculatrice.
Un contrat fonctionne d'autant mieux qu'il peut s'articuler autour de quelques
règles pérennes qui permettent aux partenaires (élèves et enseignant) de penser et
comme celui de la division, normalisait l'approximation sous sa forme décimale et éludait ainsi la
délicate question de la recherche de la précision obtenue par un algorithme.
20. Notons que certaines calculatrices proposent des algorithmes pour simplifier (simplifier les
fractions mais aussi au-delà pour la nouvelle TI-92). Outre que leurs performances et leurs champs
d'action sont encore très limités (nombre de chiffres par exemple), elles présentent, aux yeux de
l'enseignant, le vice rédhibitoire d'opacifier la démarche mathématique, de transformer la simplification
en exécution dont les qualités formatrices sont jugées douteuses.

19
d'agi~l. Ces règles ne reçoivent pas de consécration 'officielle, elles sont sujettes à des
évolutions et à des adaptations locales, elles acceptent des interprétations différentes
chez les uns et chez l'autre, mais, par leur prégnance, elles servent de références pour
la poursuite de l'enseignement et constituent autant de "significations didactiques"
(Joshua, 1988) du savoir concerné.
Celles que nous avons dégagées ici, à partir des hypothèses présentées
précédemment, nous paraissent suffisamment stables et générales pour traduire un
large éventail de comportements. Malgré leurs effets contradictoires, elles peuvent
coexister dans une même situation didactique.
Cinquième partie
Pour pouvoir observer certaines manifestations du contrat, nous avons imaginé
pour des élèves de seconde une série d'exercices qui croise deux méthodes:
- placer les élèves hors du contrat habituel,
- obliger les élèves à un débat suivi d'une décision.
Aussi certains exercices ont été conçus avec l'idée que l'élève cherchera à inscrire sa
réponse dans les règles du contrat alors que la question rompt avec le contrat. Des
qualités de cette rupture dépend la possibilité pour nous d'interpréter la réponse 22 .
D'autres exercices provoquent un débat entre deux élèves confrontés à deux résultats
différents et nous essayons de comprendre la décision prise par les deux protagonistes.
Nous reproduisons, dans l'annexe 2, l'ensemble des fiches fournies aux élèves lors
de cette expérimentation, présentée aux élèves et aux professeurs comme une séance
modulaire (durée de la séance: 1 h 20 ; nombre d'élèves ~ 18). Sept classes du lycée
Pierre du Terrail à Pontcharra, soit un peu plus de 200 élèves y ont participé, en février
1996.
L'expérimentation contient dix expressions numériques à calculer. Dans un premier
temps, chaque expression (E) reçoit deux réponses RA et RB de la part de deux élèves
A et B. L'élève A dispose d'une feuille de brouillon sans calculatrice tandis que l'élève
B dispose d'une calculatrice sans feuille de brouillon. Les deux élèves A et B
fournissent des résultats individuels puis sont réunis en paires A-B. Dans un deuxième
temps,. chaque paire A-B, disposant de calculatrices et de feuilles de brouillon, examine
les réponses RA et RB puis produit une réponse RAB.
21. Nous pourrions parler de clauses mais ce terme juridique évoque des engagements écrits et des
signatures que l'on chercherait en vain dans notre contrat. Citons de nouveau Chevallard (1988) : "De
l'entrée dans le contral procède un savoir qui ne peut être mis en texte. Savoir pratique par excellence
(comme dirait Bourdieu), exemplairement rebelle à toute recension qui se voudrait exhaustive, il tire de
cela même son efficacilé particulière. Toute objectivation intempestive (et nécessairement locale.
partielle) en brouilleraille fonctionnement".
22. D'après Schubauer-Leoni (1988) : "C'est en effet dans ces cas de violation du pacte, que certaines
règles sont alors énoncées et que la nature du contrat apparaît...Etudier ce qui est implicite dans la
gestion contracluelle de la relation tripolaire (enseignant. élève, savoir), nécessite la mise en oeuvre de
démarches, de recherches aptes à atteindre le jeu des attentes mutuelles sans pour autant en entraver le
fonctionnement" .

20
Nous présentons, ici, un extrait de cette expérimentation, autour des trois prenùers
exercices.
Analyse des exercices
Tous les exercices sont bâtis sur le même socle mathématique contenu dans la
consigne : calculer une expression numérique (Ei). L'usage ou le non-usage de la
calculatrice est imposé et la rédaction d'explications est fortement suggérée.
En décidant d'indiquer l'action mathématique par le seul verbe calculer, nous
réduisons pour l'élève les possibilités d'interpréter l'intention didactique. Il lui reste la
consigne sur la calculatrice -interdiction ou autorisation - et l'écriture de l'expression
numérique dont nous pensons qu'elle sert de balise fortement ancrée au contrat.
Pour cette écriture, nous avons croisé- deux variables : la nature des nombres
(entier, décimal non entier, non décimal) et les symboles opératoires (division avec
trait de fraction, division avec le symbole: puissances, radicaux).
Nous avons aussi, par référence à nos hypothèses, utilisé la variable "territorialité"
avec trois valeurs: territoire interdit à la calculatrice (Tl), territoire recommandé à la
calculatrice (T2), territoire autorisé à la calculatrice (TI). Nous avons évité que les
calculs soient réalisables mentalement tout en les laissant à la portée d'un élève de
niveau moyen.
Nous vérifions l'activité des règles contractuelles repérées précédemmment en
examinant les conduites des élèves A, des élèves B, celles des paires A-B et leurs
choix. Par exemple, le calcul de 19 - 12: 7 s'intègre, d'après nos hypothèses, dans un
contrat d'exécution dans l'ensemble D, que nous appelons contrat décimal, avec
calculatrice autorisée voire recommandée. Ce contrat induit chez l'élève, même démuni
de calculatrice, une conduite décimale. C'est en interdisant la calculatrice à l'élève que
nous dévoilons le contrat car l'effet contractuel continue à s'exercer, en produisant des
nombres d eclmaux " au )' leu de-.
121
7
Détaillons les réponses possibles pour chacun des trois calculs choisis,
-(El) 19-12:7
Élève A - Cette division "qui ne tombe pas juste" doit quand même être effectuée
sinon il serait écrit 19 - ~. Telle devrait être la réaction de cet élève. Restera le choix
7
du nombre de chiffres après la virgule. On peut donc s'attendre principalement aux
réponses suivantes:
17,2 ; 17,28; 17,285 ] conduite décimale
121
Jconduite fractionnaire
7
mais aussi à 1 par refus de priorité ou par évitement de la division ; et
accessoirement à 17,285714 qui traduit une connaissance sur les écritures décimales
illinùtées des nombres rationnels.

21
Élève B - Pour cet élève, il suffit d'exécuter le calcul et de choisir le nombre de
chiffres après la virgule en arrondissant ou pas.
L'absence de consigne et de renseignement concernant la précision attendue
conduira, soit à la mise en évidence de tous les chiffres de la calculatrice (l'exactitude
assurée à force de précision), soit au choix d'une approximation décimale
"raisonnable" (10-2 , 10- 3 , •• ).
Paire A-B - Nous déduisons de nos analyses préalables que la lecture décimale de
l'expression va primer la lecture fractionnaire et que l'efficacité d'une calculatrice
emportera la conviction de tous ceux qui n'associent pas l'exactitude à l'écriture
fractionnaire. Nous envisageons aussi une remise en cause locale de l'unicité du
121
résultat sous la forme d'une fausse égalité comme - = 17 285 ou comme
121 "" 17,285.
7
47 1
-+­
13 21
5 12
---
7 39
7 '
Voici un exercice au coeur du contrat fractionnaire habituel exprimé généralement
par le verbe simplifier qui va conduire l'élève A vers 1000 ou toute autre écriture
111
fractionnaire exacte ou inexacte mais gêner l'élève B qui n'imagine pas de se retrouver
seul avec la calculatrice pour réussir ce calcul. Le recours aux parenthèses ou aux
mémoires de la machine lui est pénible. Pourtant 13x21=7x39 et il reste à effectuer
d'une part, 47x21+l3, d'autre part, 5x39-12x7 pour obtenir l'écriture \~. En fait,
la calculatrice est là pour obtenir de "bonnes" valeurs approchées décimales et on peut
s'attendre à toutes les écritures décimales possibles comme 9 ou 9,009 ou 9,1 ; etc....
Lors de la confrontation A-B, l'écriture fractionnaire devrait nettement plus se
maintenir que dans l'exercice (El) puisque l'expression numérique à calculer ne
comporte que des fractions.
• (8) 15: 7
14:5
La présence du trait de fraction peut conduire l'élève A, malgré la mixité de
l'écriture (a + b et a), sur les schèmes contractuels de la simplification et aboutir à des
b
, 75. 3 2 6
reponses exactes - ou mexactes -, -, .
98 2 3
L'élève B devrait en rester à une exécution du calcul soit sous forme linéaire
(15 + 7) + (14 + 5) soit sous forme arborescente du type:

22
15 + 7 EXE 2,14 _
1 ----------> 2,14+ 2,7
14+ 5 EXE 2,7 -------­
75 .
La confrontation A-B consistera, d'après nous, à vérifier que 98 = 0,765... et
l'importance relative du choix de 75 indiquera l'attractivité du contrat fractionnaire.
98
Sixième partie
Nous disposons de deux sources d'infonnations sur le comportement de l'élève ou
de la paire d'élèves: d'une part, le résultat qu'il ou elle présente pour l'expression
désignée, d'autre part, les commentaires et explications qu'il ou elle accepte de fournir
sous la fonne de calculs intennédiaires, de calculogrammes ou de commentaires. Il faut
y ajouter quelques indiscrétions orales recueillies par les professeurs qui nous furent
transmises et une séance d'enregistrements de certains débats chez les paires A-B 23.
S'il est assez facile de recenser et de dénombrer les résultats, il s'avère plus délicat de
prendre en compte les explications associées car elles sont brouillonnes et très
diverses. Nous nous efforcerons cependant d'en intégrer quelques unes dans notre
analyse.
Pour chaque expression numérique (Ei), nous présentons:
- un tableau des effectifs (ramenés à 100) des types de réponses des élèves A et B
- un exemple de réponse d'une paire A-B.
~ mmm
IIM
A B A·B
23 6 20
53 58 52
18 12
0 3 3
21 14 7
3 1 0
0 0 6
100 100 100
23. Cene séance a eu lieu fin octobre 1996. Son exploitation n'est pas intégrée dans cet article.
24. 11 s'agit des valeurs décimales approchées, par défaut ou par excès, à lO- n près où n est un entier
naturel.

23
A
B
A-B
17,3
~=17 ; 19-1,7 = 17,3
7 '
17,29
17,29
19-12: 7 = 17,29
nous avœs drisi e caW. avec ~ JD'Ce qœ e caW. nurrMJue ne
peIlmJŒœcrriner ~2 œquifausse~t111I1tereiUhat
A-B
B
8 21
2 5
41 34
11 9
11 7
19 19
1 4
7 1
nx~ 100 100 100
A
1

24
75
15 14 15 5
A - -:-=-x-=
98 7 5 7 14
B 0,765305122449 (15 :7) :(14: 5) on nelX'Jt~ faire defiafuns
A-B 0,765305122449 nftœsItsubats sur ActB (Aen valaIr~)
rmiliœB +decmrrm:s.
Quelques commentaires
L'élève A, privé de calculatrice, réagit en respectant la consigne incluse dans les
symboles opératoires ; sa conduite est fractionnaire, là où les fractions sont
identifiables. L'élève B, la calculatrice en main, choisit une conduite décimale. La
confrontation A-B effrite sensiblement la conduite fractionnaire au profit de la
décimalisation du résultat. Les autres exercices nous conduisent aux mêmes
constatations. Dès que la consigne professorale, directement ou par interprétation,
donne pouvoir à la calculatrice, ce pouvoir n'est guère contesté. Pour preuve,
l'exercice(E6) où presque toutes les réponses proposées par les paires A-B proviennent
d'une exécution par la calculatrice sans recherche apparente du résultat exact. Mais, si
la consigne professorale fait fortement référence au mode de simplification, comme
dans l'exercice (E8), le pouvoir de la calculatrice est remis en cause : le résultat
proposé peut être celui de la simplification après contrôle, grâce à la calculatrice, de son
identification avec le résultat décimal obtenu par exécution. Ces observations
s'inscrivent dans nos hypothèses.
Par contre, l'expérimentation nous pousse à revenir sur les règles contractuelles que
nous avons formulées en intégrant plus lisiblement la double constatation suivante:
l'élève traduit la recommandation d'utiliser la calculatrice, et encore plus l'obligation,
comme un droit à afficher, pour lieu et place du résultat du calcul, le nombre décimal
obtenu par lecture directe de l'écran et il agit comme si l'évaluation professorale portait
sur le maniement de la calculatrice alors que l'attente professorale concerne ce que le
professeur appelle la maîtrise du calcul à l'aide de la calculatrice. L'élève donne à la
calculatrice la responsabilité du travail mathématique inscrit dans le calcul pour ne
prendre à sa charge qu'un travail de transcription du calcul en une suite d'instructions
pour la machine (un calculogramme, dont la ressemblance avec un programme de
calcul ne doit pas faire illusion mathématique.
Nous mettons le doigt sur un des effets du contrat, qui, dans. sa nature actuelle,
développe très peu d'interactivité mathématique entre le calculateur et la calculatrice.
Septième partie
A parler de présence didactique de la calculatrice, nous refusions d'emblée l'idée de
la neutralité de la calculatrice dans les actes d'enseignement et les processus
d'apprentissages. La calculatrice, comme instrument de calcul, vit dans
l'enseignement actuel du calcul numérique, sous le gouvernement d'un contrat
didactique qui lui est spécifique, dont notre étude a recherché les ressorts. Sa

25
spécificité tient, nous pensons l'avoir montré, dans la définition d'un rôle pour la
calculatrice et dans l'organisation des jeux de ce rôle.
Les jeux du rôle: se taire dans les calculs dont on attend le résultat exact; intervenir
rapidement et sûrement dans les calculs, dont on n'attend pas le résultat exact, pour
fournir une valeur décimale approchée fiable de ce résultat.
Par l'analyse des manuels et avec l'aide de l'expérimentation, nous avons dégagé
les actes de ce contrat, à savoir les règles reconnues par l'enseignant et les élèves
comme régissant leur travail en commun sur le calcul numérique. Cette étude
débouche, nous semble-t-il, sur une meilleure connaissance du contrat qui devrait nous
permettre d'expliquer certains comportements des enseignants et des élèves dans des
situations didactiques mettant en jeu du calcul numérique et l'usage de la calculatrice.
Elle rebondit alors sur d'autres questions: ce contrat peut-il évoluer ce contrat doit-il
évoluer questions auxquelles il serait prétentieux de répondre en restant dans le cadre
originel de cet article. En guise de conclusion et pour ne pas esquiver lâchement le
débat, il nous semble qu'on n'échappera pas à une étude plus approfondie de la
transposition didactique.
Un des problèmes majeurs de la transposition didactique est la construction de
l'ensemble R. Ce que nous révèle notre étude, c'est la domination des systèmes de
nombres D et Di qui diabolisent les ensembles Q et R et réduisent la construction de R
à l'adjonction de nombres non décimaux à l'ensemble D. De là découle l'incongruité de
R par absence de sens pour les nombres réels. En effet, la nécessité de R n'est révélée
qu'au travers de nombres non décimaux présentés comme exceptionnels et traités, soit
par les règles de simplification limitées aux fractions et aux radicaux, soit par la
décimalisation. L'accent mis sur la simplification pour s'opposer à la décimalisation
dévolue aux calculatrices, tente en vain de remplacer une construction de R capable de
donner un sens numérique au concept de nombre réel; nous ne sommes pas sûrs que
le passage par le cadre géométrique, sous la forme d'une bijection entre l'ensemble des
points d'une droite et celui des nombres réels, suffise à combler ce vide numérique.
Un autre problème majeur de la transposition didactique est le calcul approché. Ce
que nous révèle aussi notre étude, c'est l'effacement de la notion d'approximation qui
se confond maintenant avec celle de valeur décimale approchée. L'obligation faite à
l'enseignement du calcul numérique, d'utiliser et d'interpréter les résultats décimaux
des calculatrices, peut expliquer ce phénomène ; le calcul approché, dans
l'enseignement secondaire, privé de légitimité, se meurt lentement, entraînant dans son
agonie, savoirs et pratiques qui lui étaient attribués. C'est l'analyse numérique qui
reprend, à sa charge, les besoins en calcul approché et le report, sur la classe de
seconde des premiers contacts avec la valeur absolue, renforce ce transfert.
Mais nous ne devrions pas enfermer notre réflexion au seul niveau de la
transposition didactique. Dégager des repères épistémologiques sur la nature du calcul
numérique 27 et ses rapports avec d'autres sciences, notamment l'algorithmique et
l'informatique, visiter l'histoire comparée du calcul numérique et des instruments de
27. Le calcul d'un nombre dérivé, celui d'une intégrale, celui de la somme d'une série relèvent-ils du
calcul numérique

26
calcul 28 , suivre l'introduction dans l'enseignement secondaire de la nouvelle
génération de calculatrices capables de calculs formels, prendre en compte les
conditions et les conséquences de l'appropriation d'un instrument de calcul 29 ,
poursuivre l'analyse. des conceptions des élèves et des enseignants sur le calcul
numérique et sur les calculatrices, construire des situations didactiques nouvelles avec
les calculatrices, voilà autant d'approches croisées pour enrichir nos connaissances sur
l'objet premier de notre étude: la cohabitation, dans l'enseignement secondaire, entre
le calcul numérique et la calculatrice.
Bibliographie
ASSUDE T. (1994) Écologie de l'objet "racine carrée" et analyse du curriculum, Petit
x, nO 35, IREM de Grenoble
BIREBENT A (1996) Cohabitation dans l'enseignement secondaire entre le calcul
numérique et la calculatrice: le point de vue du contrat didactique, DEA de didactique
des disciplines scientifiques, Université Joseph Fourier, Grenoble
BESSOT A, LE TH] HOAI A. (1993-94) Une étude du contrat didactique à propos
de la racine carrée, Petit x, nO 36, IREM de Grenoble
BRONNER A. (1997) Étude didactique des nombres réels: idécimalité et racine
carrée, Thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble 1
BROUSSEAU G. (1986) Fondements et méthodes de la didactique des·
mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques, vol 7/2, La Pensée
Sauvage : Grenoble
CHEVALLARD Y. (1985) La transposition didactique. Du savoir savant au savoir
enseigné, (2nde édition, 1991). La Pensée Sauvage: Grenoble
CHEVALLARD Y. (1987) Sociétés, mathématisations, mathématiques, sociétés,
Publication de l' LU.F.M. d'Aix-Marseille.
CHEVALLARD Y. (1988) Deux études sur les notions de contrat ou de situation,
Publication de l' IREM d'Aix-Marseille.
CHEVALLARD Y. (1989) Le passage de l'arithmétique à l'algébrique dans
l'enseignement des mathématiques au collège, petit x, nOS, n019, n023, IREM de
Grenoble
28. Dans quelle mesure l'invention d'un instrument de calcul agit-elle sur la production mathématique
en accompagnant son intégmtion sociale
29 Nous pensons aussi aux procédures langagières (les caculogrammes, par exemple) sans lesquelles il
n'y a pas d'accès à la calculatrice; dispose-t-on, avec les calculatrices, d'un nouveau registre dans le
langage symbolique mathématique

27
CLAROU P. (1994-995) Réflexions à propos de l'utilisation des calculatrices dans
l'enseignement, Petit x, n039, IREM de Grenoble
CLAROU P. (1995-996) Réflexions à propos de l'utilisation des calculatrices dans
l'enseignement, Petit x, n040, IREM de Grenoble
C.O.P.R.E.M. (1987) Contributions à l'enseignement mathématique contemporain. Le
calcul numérique, C.N.D.P.
DOUADY R. (1986) Jeux de cadres et dialectique outil-objet, Recherches en
didactique des mathématiques, vol 7/2, La Pensée Sauvage: Grenoble
IZORCHE M.L. (1977) Les réels en classe de seconde, Mémoire de D.E.A.
Université de Bordeaux 1
JACQUIER 1. (1996) Quelles conceptions des nombres chez les élèves de troisième
Petit x, nO 41, IREM de Grenoble
JOSHUA S. (1988) Le contrat didactique et l'analyse des phénomènes didactiques,
Interactions Didactiques Recherches, n08. Université de Genève.
JOSHUA S., DUPIN J.J. (1993) Introduction à la didactique des sciences et des
mathématiques, Presses Universitaires de France : Paris
KUNTZ G. (1993) L'outil informatique ne peut donner que ce qu'il a, Repères IREM,
nO11
MARGOLINAS C. (1988) Une étude sur les difficultés d'enseignement des nombres
réels, Petit x, nO 16, IREM de Grenoble
NEYRET R. (1995) Contraintes et déterminations des processus de formations des
enseignants: nombres décimaux, rationnels, réels dans les Instituts Universitaires de
Formation des Maîtres, Thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble 1
OLIVIER Y., BOUVIER J.P. (1994) Calculatrices en mathématiques, C.R.D.P.
Poitou-Charentes.
RABARDEL P. (1995) Qu'est-ce-qu'un instrument Les dossiers de l'Ingénierie
éducative, n019. C.N.D.P.
ROBERT A. (1993) Éléments de réflexion sur l'utilisation des calculatrices
programmables en première S et en terminale C et D, Repères IREM, n O ll
SCHUBAUER-LÉONI M.L.(1988) Le contrat didactique dans une approche psychosociale
des situations d'enseignement, Interactions Didactiques Recherches, nO 8,
Université de Genève.
TROUCHE L. (1994) Calculatrices graphiques, la grande illusion, Repères IREM,
n014.

28
Annexe 1
Extrait de Terracher (1994) Maths Seconde, éd Hachette, pp. 19 et 21
B - PRAllQUE DU CALCUL NUMÉRIQUE
1 1 Cela est sûr: le calcul est l'activité de base dans tous les problèmes numériques. D'où la présence ici
• de quelques problèmes calculatoires, mais pas n'importe comment...
L'échantillon de tels problèmes est certes modeste, mais veuf être sign((icat(f de la diversité des
réponses qu'amènent le calcul exal'1 (

29
2 LE CALCUL-MACHINE
Exercice Effectuer les calculs suivants à l'aide de la calculatrice et présenter les résultats en
résolu notation scientifique:
3,01 x 10 - 2 + 0,73 x 10 - 1
A= -x
5 10- )2 3 -22x61 x IO-~' B = ------~--
( 3 ' , 95,2 X 10 3
• Calculons A par la séquence-machine suivante:
5 EXP] 3 + / -] ....:::..J 3 ....:..J ..L:..J ~ 2,2 ~ 61 EXP] 4 .:.L.::J ....:..J .
Vient à l'affichage - :=: •:=::::: '-:: -; .::.•
Et donc, en notation scientifique, A = -
1. J-t 1il x 10 - 2 •
• Le calcul de B pourra s'effectuer par la séquence :
3,01 EXP] 2 .:.L.::J ....:::..J 0,73 EXP] 1 +/-] ....:..J ....:::..J 95,2 Expl 3 ....:..J .
Le résultat affiché :. :=: :::: .::' .:: :::: -, est en rotation scientifique. Nous écrirons :
II:::::: 1,082 98 x 10 - 1••
Aussi sophistiquée soit-elle, une calculatrice ne pense pas!
C'est à nous de réfléchir et, pour le moins, sur les deux points suivants :
• L'organisation des calculs
Une séquence-machine doit respecter les priorités algébriques du calcul :
touches fonctionnelles d'abord ('1/X] , : ;r'] , ~x-2l ); ensuite et dans l'ordre:
les puissances 2!J ;
les produits et quotients'~ et :-+-1 ;
les sommes et différences ;....::.J et r-.: ].
Noter que l'instruction ;-;;] permet d'effectuer un calcul partiel sans avoir recours
aux parenthèses W et r- ï] .
• Lecture du résultat
Le résultat n'est pas toujours exprimé en notation scientifique.
Certaines calculatrices travaillent en notation scientifique dans un «mode» spécial
(MODE SCI) qui permet de choisir le nombre de chiffres significatifs désirés.
En tout état de cause, il n'est que temps de retrouver le manuel d'utilisation de sa
calculatrice.
lrp
[ï] Écrire en notation scientifique :
- 519; 0,00085; 471,08.
"~4
~ Quels sont les nombres à l'affichage
-. ,-,:.0,1. :...: -cs
- '.'-.'-.' ,'-."-.'
Il' Une des trois égalités ci-contre est
fausse. Laquelle
a) 29,1 x 10- 3 - 1,05 X 10- 1
= - 7,59 x 10 - 2 ;
b) (41,5 X 10- 7 ) X (- 9 x lOS)
= - 747 x 200 -) ;
c) 51 x 10 - 4 + 51 x 10 4 = 0 .
Il Écrire a et b en notation scientifique :
a= (~x 10 _4)2 - 51 73 x 10 -6.
7 ' ,
10- 7 - 3 X 10- 6
b= .
10- 7 + 3 x 10.- 6

30
Annexe 2
Fiches élèves
Seconde... - Modules de mathématiques - Janvier 1996
Calculs numériques avec ou sans calculatrice
Première partie (25 - 35 minutes)
Il vous est demandé de calculer chacune des dix expressions numériques. Vous disposez d'une feuille
de brouillon sans calculatrice. Présentez les résultats sur le tableau de résultats nO 1, en les
accompagnant de quelques calculs intermédiaires et des commentaires que vous jugez nécessaires.
47 1
-+­
(El) 19-12:7 (E2) 13 21
5 12
---
7 39
(E5) 1,26 x 6,5
2,1 x 0,26
(E7)
31250 25 X 0,04 75
lA Il
15:7
(E3) -­ (E4) (9~ - 1285) x 7000
14:5
(E6) ( 5 213 865,813 + 4786 134,18721 ) : ( 3 712458 + 6287542 )
(E9)
1t:3 x 2,5 2 x 2,4
(1t+5 1-1t) 3
(ElO) ----- x­
(E8) ..fi +-J9S 6· 2 2
TABLEAU DE RÉSULTATS N° 1
El
E2
E3
E4
ES
E6
E7
E8
E9
Elü
Résultats
Calculs intermédiaires et commentaires

31
Seconde ... - Modules de mathématiques - Janvier 1996
Calculs numériques avec ou sans calculatrice
Première partie (25 - 35 minutes)
Il vous est demandé de calculer chacune des dix expressions numériques. Vous disposez d'une
calculatrice sans feuille de brouillon. Présentez les résultats sur le tableau de résultats nO l, en les
accompagnant des calculogrammes (séquences de touches de la calculatrice) et des commentaires que
vous jugez nécessaires.
lB 1 1
(E7)
(E9)
31250 25 X 0,04 75 1t :3 x 2,5 2 x 2,4
(EIO) (1t+5 ----- 1-1t) x­ 3
47 1
-+­
3) 15 :7
(El) 19 -12:7 (E2)
13 21
5 12 (E 14:5
---
7 39
(E4) (9~ - 1285) x 7000
(E5) 1,26 x 6,5
2,1 x 0,26
(E6) (5213865,813 + 4786 134,18721 ): (3712458 + 6 287 542)
(E8) "fï +.../98 6 2 2
TABLEAU DE RÉSULTATS N° 1
El
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E1ü
Résultats
CalculoRrammes et commentaires

32
Seconde... - Modules de mathématiques - Janvier 1996
Calculs numériques avec ou sans calculatrice
IAB 1 1
Deuxième partie (15 - 25 minutes)
Il vous est demandé de comparer vos résultats de la première partie. Vous disposez de calculatrices
sans feuille de brouillon. Après discussion entre vous, vous inscrivez sur le tableau de résultats nO 2
un seul résultat par expression numérique et vous accompagnez votre choix d'une courte
explication. Notez que ce choix peut différer des deux résultats obtenus dans la première partie.
(E7)
(E9)
31250 25 X 0,04 75 1t:3 X 2,5 2 X 2,4
(ElO) (1t+5 ----- I-1t) x­ 3
47 1
-+­ 15:7
(El) 19-12:7 (E2) 13 21
5 12
(E3) 14 :5
---
7 39
(E4) (9~ - 1285) x 7000
(ES) 1,26 x 6,5
2,1 x 0,26
(E6) (5213 865,813 + 4786134,18721): (3712458 + 6287542)
(E8) -fi +.../98 6 2 2
TABLEAU DE RESULTATS N°2
El
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E1Ü
Résultats
Explications

ACTIVITÉ
VALEUR EXACTE OU APPROCHÉE
Philiben CLAPPONI
!REM de Grenoble .
J. Exact ou approche
1. Sans calculer le nombre 665 857 2 précise quel est le chiffre de ses unités.
2. À l'aide de ta càlculatrice, calcule 665857 2 . Le nombre obtenu est-i1le résultat exact
ou approché
II. Mulhpllcahon exacte
1. Observe la disposition suivante. Complète-la pour obtenir le résultat exact de
123456 x 789 870 (tu peux utiliser la calculatrice pour les résultats intermédiaires).
"
123 456 x
789
870
190 720
À l'aide de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, justifie pourquoi
cette disposition permet d'obtenir le produit de deux nombres.
« petit x » nO 44, pp. 33 à 34, 1996 - 1997

34
2. Utilise la même disposition pour trouver la valeur exacte de 665 857 2 . Compare avec
le résultat obtenu sur une calculatrice.
x
- -­
III. "./ 2 a-t-if une écriture fractionnaire
. 1" d d"' 665 857 "1 1 h'
En partICU 1er on se eman e ICI: 470 832 est-I une va eur exacte ou approc ee
de...J2
1. Avec ta calculatrice
665 857
Compare
470832
2. Sans la calculatrice
et
Cherche à répondre à la question précédente sans utiliser directement la calculatrice.
3. Défi
. . 886731 088 897 ,
Tu peux aUSSI chercher SI 627 013 566048 est une valeur exacte ou approchee de
{2.

À PROPOS DE CHARADES DONT LA SOLUTION EST
UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES.
Geneviève DIDIERJEAN, Claire DUPUIS,
Raymond DUVAL, Marie-Agnès EGRET,
Daniel KREMER, Gilles ROBERT,
Brigitte WENNER, Michèle ZIEGLER.
IREM de Strasoourg
Il Ya dans l'enseignement des mathématiques'des points sensibles sur lesquels il faut
passer sans appuyer si l'on veut éviter tout désagrément aux élèves comme aux
enseignants. La démonstration en est un, bien connu, la résolution des problèmes de mise
en équations en est un autre.
D'un point de vue mathématique, l'enjeu peut sembler de moindre importance pour les
problèmes de mise en équations que pour la démonstration. Il ne s'agit, après tout, que
d'appliquer des techniques algébriques élémentaires à des problèmes extramathématiques.
Et si les élèves, de troisième, de seconde et parfois de première, qui ont
appris avec pas mal de succès à résoudre des équations et des systèmes, échouent quand il
s'agit d'écrire un système d'équations à partir d'un énoncé, ne sommes-nous pas là aux
marges d'une activité proprement mathématique Et la faute, n'en déplaise aux
enseigna;nts de français, n'en reviendrait-elle pas à des difficultés de langage ou de
compréhension des textes
Du point de vue du rôle que les mathématiques peuvent jouer dans la formation
générale de base des élèves, l'enjeu apparaît bien plus important, car il s'agit pour le
moins de montrer à quoi peuvent servir les mathématiques que l'on apprend. Et l'on
connaît la vague de fond, qui dans beaùcoup de pays, tend à porter au premier rang un
enseignement des mathématiques qui serait effectué à partir de leurs applications concrètes
et qui serait centré sur ces applications. Demain, il n'y aura peut-être de mathématiques
socialement et éducativement acceptables qu'appliquées. Dans ces conditions...
Il ya là matière à débat. Mais un tel type de débat surgit souvent comme un écran pour
éviter le problème de fond que posent les difficultés systématiquement rencontrées par les
« petit x » nO 44, pp. 35 à 48, 1996 - 1997

36
élèves pour «écrire un système d'équations» : quelles sont les opérations requises pour
effectuer cette tâche, ou en quoi consiste la complexité de cette tâche Tant qu'on ne
dispose pas d'éléments de réponse précis pour ce problème, toute proposition de
méthodes pour apprendre à mettre en équations ne peut que relever d'une démarche un
peu aveugle.
C'est à cette question qu'est consacrée la brochure (Problèmes de mise en équations,
groupe Math-Français de l'IREM de Strasbourg 1 , 1996) sur laquelle s'appuie cet article.
Nous ne reprendrons pas ici le premier chapitre de la brochure qui présente un bilan
critique des méthodes de mise en équations que l'on trouve dans les manuels.
L'apprentissage de la mise en équations, c'est-à-dire du passage du texte de l'énoncé à
l'équation ou au système d'équations est trop souvent court-circuité. Tout se passe comme
si donner un énoncé était une formalité obligée, les choses sérieuses intellectuellement et
mathématiquement ne commençant qu'avec la résolution technique des équations!
Pour dégager toutes les opérations, explicites ou implicites, que l'on effectue quand on
passe d'un énoncé à l'écriture d'un système, nous n'avons pas pu nous contenter
d'utiliser des exemples de problèmes mais nous avons dû déterminer un ensemble
d'énoncés de problèmes possibles. Car d'un énoncé à un autre, il peut y avoir des
variations qui vont modifier radicalement la complexité de la tâche. Nous avons également
pris en compte un autre passage: le passage de ce que nous avons appelé «la présentation
complète» d'une situation extra-mathématique à l'écriture de plusieurs systèmes
différents 2 . L'examen de ces passages nous permet de voir que les problèmes de mise en
équations mobilisent des opérations discursives de désignation d'objet et d'expression de
relations à l'aide de mots comme à l'aide de symboles. Ces opérations sont beaucoup plus
fines que celles habituellement mobilisées dans la lecture courante d'un texte ou dans la
manipulation calculatoire d'équations. Et nous touchons là quelque chose d'essentiel pour
l'apprentissage des mathématiques. Car cette mobilisation des opérations discursives de
désignation d'objets n'a pas seulement un intérêt pour la mise en équations, elle est
également requise pour que l'introduction des écritures littérales ou que l'exigence d'un
langage précis aient un sens aux yeux des élèves.
Naturellement nous ne négligeons pas la question pratique, : comment faire pour
apprendre aux élèves à résoudre les problèmes de mise en équations Mais nous ne
développerons pas ce sujet dans le présent article 3 .
1 Les auteurs en sont: Isabelle Beek, Nicole Cordier, Geneviève Didierjean, Claire Dupuis, Raymond
Duval, Marie-Agnès EgreL, Daniel Kremer, Gilles Robert, Michèle Vaillant, Brigitte Wenner, Ghislaine
Werguet, Michèle Ziegler.
2 Voir dans op. cit.
3 On trouvera dans la brochure (op. cit.) la suite de l'analyse développée ici et la description de séquences
de travail pratiquées par des membres du groupe dans leurs classes.

37
1. De la lecture de l'énoncé à l'écriture du système
d'équations
La question essentielle concernant les problèmes de mise en équations est celle-ci :
comment passe-t-on de la lecture de l'énoncé du problème à l'écriture du système
d'équations
Généralement les enseignants regardent à peine l'énoncé. Un bref regard sur les deux
ou trois lignes pour repérer les inconnues, un peu comme on cherche un article sur un
rayon, et ils savent écrire le système. Pour eux, hormis le cas où il y des astuces, un
énoncé en vaut un autre: non seulement la distance qui sépare l'énoncé et l'écriture du
système ne change pas mais elle se franchit sans qu'on s'en aperçoive. Alors pourquoi
tant d'élèves restent-ils «plantés» devant l'énoncé Pour expliquer cette difficulté et pour
la faire surmonter, il ne s'agit pas de décrire un algorithme performant qui peut-être
n'existe pas, ni d'analyser toutes les erreurs observables des élèves, il s'agit d'abord de
comprendre la tâche cognitive que constitue ce passage.
Arrêt sur lecture: J'énoncé
Deux remarques sur la compréhension des énoncés de problèmes vont guider l'analyse
de ce passage:
1. D'une façon générale, la compréhension d'un énoncé de problème consiste
dans l'identification des objets que l'énoncé décrit et dans l'identification des relations
qu'il établit entre ces objets.
Ce ne sont ni les mêmes objets ni les mêmes relations que l'on identifie dans un énoncé
de problème, s'il s'agit de comprendre la situation extra-mathématique décrite ou évoquée
par l'énoncé ou s'il s'agit d'écrire un traitement mathématique à partir de l'énoncé: par
exemple un système d'équations.
2. Dans les problèmes de mise en équations, les objets à identifier sont des
quantités inconnues ,. les relations entre ces objets sont les relations qui permettent
d'articuler en une équation les quantités inconnues identifiées.
Les quantités inconnues ne sont pas ce que l'on appelle habituellement les
«inconnues», et que l'on représente dans l'écriture des équations par les lettres x et y. Un
système d'équations à deux inconnues requiert généralement, comme nous le verrons plus
loin, quatre quantités inconnues exprimées à l'aide des deux dénominations de base x et y.
Ces quantités inconnues peuvent être décrites ou désignées par des expressions
linguistiques à chaque fois différentes ou par des expressions linguistiques ayant une
partie commune. Nous appellerons «dénomination de base» une expression désignant ou
décrivant une quantité inconnue. Un énoncé peut donc présenter deux dénominations de
base ou quatre dénominations de base.
Comprendre l'énoncé consiste donc d'abord à identifier les expressions linguistiques

38
décrivant les quantités inconnues.
Les relations entre les quantités inconnues sont des relations d'égalité ou des relations
qui articulent des quantités, connues ou inconnues, en un membre d'équation.
L'analyse du passage de l'énoncé à l'écriture du système d'équations doit donc porter
sur deux points :
- l'identification des quantités inconnues décrites ou désignées dans l'énoncé et la
conversion de leur expression linguistique en une expression algébrique,
- l'identification des expressions correspondant aux relations.
Nous verrons qu'il s'agit là de deux opérations totalement indépendantes l'une de
l'autre. Les difficultés auxquelles elles peuvent donner lieu ne sont pas de même nature
car elles ne relèvent pas des mêmes fonctions discursives.
1.1. L'identification des quantités inconnues et la conversion de leur
expression linguistique
Cette première opération cognitive comprend deux étapes très différentes:
La première porte directement sur l'énoncé. Elle suppose une lecture dirigée par
une liste de questions pour identifier toutes les quantités inconnues qui sont désignées ou
décrites dans l'énoncé et il est possible 4 de donner un moyen de faire générer ces
questions par l'élève lui-même, ceci sans lui donner une liste de questions toutes prêtes à
l'emploi et qui ne seraient pas utilisables pour un autre type d'énoncé.
La deuxième étape porte sur la conversion du texte en écriture algébrique et
comporte une difficulté spécifique. Comment traduire les expressions linguistiques
décrivant les quantités inconnues en expressions algébriques décrivant ces mêmes
quantités, étant donné que l'on ne dispose pas nécessairement du même nombre de
dénominations de base dans chacun des deux registres En effet, l'écriture algébrique
d'un système de deux équations n'autorise que deux dénominations de base, deux lettres
désignant les deux inconnues, pour exprimer les quatre quantités inconnues, alors que le
nombre de dénominations de base utilisés dans l'énoncé peut varier.
Deux cas peuvent alors se présenter:
a) L'énoncé exprime lui aussi les quatre quantités inconnues à l'aide de deux
dénominations de base. Et alors, la conversion des expressions linguistiques en
expressions algébriques est immédiate. A la lecture, l'identification des quantités
inconnues coïncide avec le choix des inconnues. C'est le cas de transparence.
Problème 1
Un bassin est alimenté par deux fontaines A et B. Si on laisse couler A pendant 4 h et B pendant 2 h,
on obtient 64 1. Si on laisse couler A pendant 3 h et B pendant 4 h, on obtient 62 1. Quel est le débit de
chaque fontaine
. 4 Voir le chapitre IV de la brochure (op. cil.)

39
Dans cet énoncé, les quantités inconnues sont exprimées par des propositions qui
présentent deux à deux une même dénomination de base :
« A coule pendant 4h », « A coule pendant 3h ». (Dénomination de base: A coule ... (débit de la
fontaine A»
« B coule pendant 2h », « B coule pendant 4h ». (Dénomination de base: B coule ... (débit de la
fontaine B»
Ces quatre expressions désignent quatre quantités inconnues différentes à partir de
deux dénominations de base (en caractère gras ci-dessus). La conversion est donc
immédiate. En redésignant ces deux dénominations de base respectivement par x et par y
on a les quatre désignations algébriques: 4x. 3x, 2y. 4y.
b) L'énoncé exprime les quatre quantités inconnues en recourant à plus de deux
dénominations de base. Un travail de redésignation de deux des quantités inconnues est
alors nécessaire pour passer aux expressions algébriques. C'est le cas d'opacité.
Problème 2
Un vélomoteur monte une colline à la vitesse de 15 mètres par seconde; puis il redescend de l'autre
côté à la vitesse de 21 mètres par seconde. Le parcours total a duré 270 secondes. et la montée est de 126
mètres plus longue que la descente. Combien de temps a duré la montée
Dans cet énoncé les quantités inconnues sont désignées par des expressions n'ayant
aucune dénomimition de base commune:
« Le parcours total a duré.... » qui se nominalise en «la durée de la montée» et la « la durée de la
descente»
« la montée est de 126 mètres plus longue que la descente» qui exprime une comparaison entre « la
longueur de la montée» et « la longueur de la descente ».
Le problème que soulève la formulation de l'énoncé n'est pas à chercher dans les
légères modifications des deux propositions de la seconde phrase, mais dans le fait que
nous avons quatre dénominations de base. Une conversion immédiate, comme dans le
problème 1 ci-dessus, nous donnerait une désignation algébrique des quantités inconnues
par quatre inconnues. Ce qui conduirait au système d'équations suivant:
x + y = 270
z =w + 126
Ce système a quatre quantités inconnues; il faut donc, pour pouvoir écrire un système
d'équations pouvant être résolu, redésigner deux des quatre quantités inconnues de façon
à ne plus avoir que deux dénominations de base au lieu de quatre. Par exemple « la
longueur de la montée» équivaut à « la durée de la montée multipliée par la vitesse de la montée» et
« la longueur de la descente» équivaut à «la durée de la descente multipliée par la vitesse de la
descente ». Cette redésignation est une opération de réduction à deux dénominations de
base: «la durée de la montée» et la «la durée de la descente». L'expression algébrique des quatre
quantités inconnues de l'énoncé devient alors immédiat: x, y, 15x, 21y .
Le dessin ci-dessous, fait par un élève de seconde, illustre bien deux choses:
- l'hésitation entre les objets extra-mathématiques (montée, descente) et les objets
mathématiques (quantités inconnues) auxquels l'énoncé réfère,
- la confusion entre les dénominations de base et l'expression des quantités inconnues

40
Extrait du travail d'un élève de seconde:
"Nous interprétons les données par un dessin
explicatif:
15m+21 m: 2705
Nous choisissons x pour la longueur de la descente et y pour le temps.
Nous avons trouvé: (126 + x )15 y + x + 21y =270s."
On remarque que la redésignation des quatre quantités inconnues se fait dans ce
problème en fonction d'une relation multiplicative entre deux grandeurs de nature
différente, relation correspondant à la notion de vitesse: v =dit. Mais cette redésignation
peut aussi se faire en fonction d'une relation additive comme dans le problème suivant:
Problème 3
Trouver un nombre de deux chiffres sachant que la somme des deux nombres que ces chiffres
représentent est 13, et que la différence entre le nombre cherché et le nombre obtenu en permutant les deux
chiffres est 45.
Il Ya quatre quantités inconnues: « un nombre de deux chiffres» (= « le nombre cherché »),
« les deux nombres que ces chiffres représentent », c'est-à-dire « le nombre représenté par le premier
chiffre» et « le nombre représenté par le deuxième chiffre », « le nombre obtenu en permutant les deux
chiffres ». La désignation de ces quatre quantités inconnues se fait à partir des
dénominations de base dont une est implicite: les deux chiffres, le nombre représenté par
les deux chiffres, et la position des chiffres (dizaine, unité). Pour opérer la réduction, il
faut donc utiliser la relation additive qui permet de convertir « le nombre représenté par les
deux chiffres» en « lOx +y » et « le nombre obtenu en permutant les deux chiffres» en 10y + x.
Pas un scientifique ne confond un objet et sa dénomination. Pas un mathématicien ne
confond un nombre et un chiffre. On pourrait donc s'attendre naturellement à ce qu'aucun
enseignant ne confonde les quantités inconnues, qui sont des objets pouvant être décrits
linguistiquement et redésignés algébriquement, et les «inconnues» qui sont des
dénominations de base pour désigner algébriquement des quantités inconnues. Pourtant
on parle allègrement de « commencer par choisir les (deux) inconnues ». Qu'est-ce que
cela veut dire commencer par choisir des dénominations de base (lesquelles ne sont pas
des objets) Identifier ces (quatre) objets que sont les quantités inconnues Redésigner

41
algébriquement ces objets
Dans le cas transparent, il n'y a pas à se poser ce genre de questions, puisque
l'expression linguistique des quatre quantités inconnues se fait à partir de deux
dénominations de base que l'on peut mettre directement en correspondance avec les deux
inconnues marquées par deux lettres. Le choix des dénominations de base, l'identification
des quantités inconnues et la redésignation algébrique se confondent dans une seule et
même étape.
Il n'en va plus de même dans le cas opaque, si on ne s'autorise que l'écriture d'un
système à deux inconnues. L'énoncé utilise plus de deux dénominations de base pour
décrire ou désigner les quantités inconnues. Il faut donc opérer une réduction à deux
dénominations de base pour avoir une correspondance avec les deux «inconnues». Or,
pour pouvoir être effectuée, cette réduction requiert deux conditions:
- avoir pris conscience de la différence entre le choix de deux dénominations de base
pour désigner les quantités inconnues et la désignation des objets que sont les quantités
inconnues. De même que 6 ou 9 peuvent être deux chiffres permettant d'écrire des
nombres (699, 969...) ou deux nombres, de même x et y peuvent être deux
dénominations de base ou deux expressions de quantités inconnues (cf. problème 3)
- avoir pris conscience qu'un même objet, ici une quantité inconnue, peut être désigné
defaçon très différente selon les dénominations de base choisies, et cela aussi bien dans le
registre de la langue naturelle que dans celui de l'écriture algébrique. Et cela renvoie à une
opération discursive fondamentale qui ne relève pas d'une question de bonne ou mauvaise
connaissance du français (Duval 1995, p.99-100).
1.2. L'identification des relations
L'identification des quantités inconnues auxquelles les formulations de l'énoncé
réfèrent et leur conversion en expressions algébriques ne sont pas des opérations
suffisantes pour écrire l'équation. Il faut aussi identifier les relations que l'énoncé établit
entre ces quantités inconnues et qui vont permettre d'identifier les membres de chaque
équation. Ces relations sont, d'une part, celles articulant deux quantités inconnues en un
membre d'équation et, d'autre part, les plus importantes, celles qui désignent les relations
d'égalité. Deux cas peuvent se présenter:
1.2.1. Cas de marquage explicite des relations
Reprenons l'énoncé du problème 1 ci-dessus:
Si on laisse couler A pendant 4 h et B pendant 2 h, on obtient 64 I.
+ =
Si on laisse couler A pendant 3 h et B pendant 4 h, on obtienl62 I.
+ =
Nous avons mis en caractère italique les expressions qui marquent les relations
pertinentes pour l'écriture de l'équation. Le marquage ne peut pas être plus explicite
puisque la relation d'égalité est exprimée ici par le verbe de la proposition principale et que
la conjonction « et » se convertit directement en un signe d'addition! En réalité, le cas

42
explicite classique est celui où d'une part, nous avons une phrase (ou une proposition
indépendante) par équation, et où, d'autre part, l'organisation syntaxique de la phrase peut
être mise en correspondance terme à terme avec l'organisation de l'équation. Très
souvent, le marquage de la relation d'égalité est donnée dans une proposition qui exprime
une relation additive entre les deux situations décrites. C'est le cas, par exemple, de
l'énoncé du problème 2:
la montée est de 126 mètres plus longue que la descente
se traduit par
longueur montée = 126 + longueur descente.
et
le parcours total a duré 270s
peut être paraphrasé par
la somme des durées est égale à 270s.
Cet exemple permet en outre de voir que les énoncés peuvent être opaques pour
l'identification des objets et transparents ou explicites pour l'identification des relations.
Ce sont là deux facteurs totalement indépendants pour la compréhension et la conversion
des énoncés.
Dans le problème ci-dessus, les quantités sont continues mais on peut avoir la même
situation avec des quantités discrètes:
Problème 4
Un enfant dispose de 15 jetons blancs et de 12 jetons noirs. Les jetons de la même couleur ont le
même diamètre. Le diamèLre d'un jeton blanc mesure 6 mm de plus que le diamètre d'un jeton noir. La
rangée des 15 jetons blancs alignés côte à côte dépasse de 144 mm la rangée des 12 jetons noirs alignés
côte à côte.
Quel est le diamètre d'un jeton blanc
Dans cet exemple les quantités inconnues sont: «le diamètre d'un jeton blanc», «le diamètre
d'un jeton noir», «la longueur de la rangée des jetons blancs», «la longueur de la rangée des jetons noirs».
Les relations entre les quantités inconnues sont données par:
la rangée des 15 jetons blancs alignés côte à côte dépasse de 144m la rangée des 15 jetons noirs alignés
côte à côte
qui se traduit par
longueur de la rangée des jetons blancs = 144 + longueur de la rangée des jetons noirs.
Le diamètre d'un jeton blanc mesure 6 mm de plus que le diamètre d'un jeton noir
qui se traduit par
le diamètre d'un jeton blanc = 6 + le diamètre d'un jeton noir
1.2.2. Cas de marquage semi-implicite ou entièrement implicite
des relations
problème 5
Une usine fabrique deux sortes d'objets A et B. L'objet A nécessite 2,4 kg d'acier et 3 h de fabrication.
L'objet B nécessite 4 kg d'acier et 2 h de fabrication. Calculer le nombre d'objets de chaque sorte sachant
que l'on a utilisé, pour les produire, 80 kg d'acier et 67 h de travail.

43
Cet énoncé est intéressant puisqu'il rentre dans le cas transparent, pour l'identification
des objets. En revanche, les relations nécessaires pour écrire l'équation ne sont pas toutes
marquées explicitement. La proposition « on a utilisé pour les produire» permet d'identifier
la relation d'égalité pour les deux équations. Mais il faut paraphraser l'expression « le
nombre d'objets de chaque sorte... » par « le nombre d'objets de A et le nombre d'objets de B»
pour constituer le premier membre de chaque équation. En outre la conjonction «et»
fonctionne comme un séparateur des quantités inconnues pour chacune des deux
équations. Ici l'emploi de la conjonction «et» peut donc être trompeur, car cette indication
ne sert à rien pour écrire le système d'équations. L'organisation de l'énoncé correspond
en réalité à une description du tableau suivant:
(SITUATION 1 ) L'objet A nécessite 2,4 kg d'acier (et) 3 h de fabrication.
(SITUATION 2) L'objet B nécessite 4 kg d'acier (et) 2 h de fabrication
Le nombre d'objets de chaque sorte... 80 kg d'acier (et) 67 h de travail
pour les produire...
« Production des objets A 2,4 nA + 4 no = 80
et
des objets B »
(Relation entre les deux situations)
Voici maintenant un exemple d'énoncé où le marquage de la relation principale est
complètement implicite.
Problème 6
Un avion décolle de sa base à 7 h, vole en ligne droite jusqu'à une balise radio, retourne vers sa base et
atterrit à 10 h 30 min. A l'aller la vitesse de l'avion était de 960 km/h, au retour de
no km/h.
Calculer les temps mis pour aller à la balise puis pour retourner à la base.
Dans cet énoncé, qui relève du cas opaque pour l'identification et la désignation des
quantités inconnues, la relation permettant d'écrire l'une des équations est: «la distance de la
base à la balise est la même que la distance de la balise à la base».
On voit donc la différence entre l'identification des quantités inconnues et
l'identification des relations. Alors que la désignation des quantités inconnues est toujours
explicite, même si elle n'est pas toujours directement utilisable, en revanche le marquage
des relations non seulement n'est pas toujours explicite, mais il peut parfois être omis,
ceci sous prétexte d'évidence.
Avant d'en finir avec notre arrêt sur lecture, rappelons que les énoncés de problèmes
de mise en équations présentent deux types de difficultés entièrement indépendantes l'une
de l'autre. La première est générale: c'est le caractère explicite ou implicite des
informations. Pour les problèmes de mise en équations cette difficulté porte très
exactement sur les informations relatives aux relations. En revanche, la seconde est
spécifique aux problèmes de mise en équations: c'est la différence entre les inconnues
qui sont des dénominations de base dans le registre de l'écriture algébrique et dont le

44
nombre est déterminé par le nombre d'équations, et les quantités inconnues qui sont les
objets décrits dans l'énoncé à l'aide de dénominations de base dans le registre linguistique
et dont le nombre est variable.
2. A propos des énoncés de problèmes de mise en équations
2.1. Classification des énoncés de problèmes de mise en équations
Les exemples de problèmes que nous venons d'analyser suffisent à montrer que les
énoncés de problèmes ne sont pas du tout équivalents. L'importance des variations que
nous venons de dégager joue qualitativement (nature des opérations à effectuer, addition
ou multiplication) et quantitativement (distance entre la lecture de l'énoncé et l'écriture du
système d'équations) sur la complexité de la tâche globale de résolution. Il est donc
important de disposer d'une catégorisation des différents types d'énoncé possibles de
problème de mise en équations.
Pour déterminer le type d'un énoncé, il faut se poser deux questions:
1. La conversion requiert-elle une réduction à deux des dénominations de base des
quantités inconnues (et si oui, la redésignation se fait-elle en utilisant une procédure
additive ou une procédure multiplicative)
2. Le marquage linguistique des relations est -il explicite ou non
Selon les réponses à ces questions, on obtient un énoncé qui est de l'un des six
types suivants:
EXPRESSION DES QUANTITÉS INCONNUES
Transparente Opaque
(réduction à deux dénominations de base)
quantités discrètes qui
pennetlent
le recours à une
procédure additive
quantités continues
qui obligent
le recours à une
procédure multiolicative
INDICATIONS
RELATIVES
explicite
et
conversion immédiate
Pb. 1
A.I
Pb. 4
B.J
Pb.2
C.I
AU
MARQUAGE
DES
RELATIONS
partiellement implicite ou
complètement implicite
(relativement à une relation
d'égalité)
Pb.5
A.2
Pb.3
B.2
Pb.6
C.2
Les caractères italiques, dans chaque case, désignent chacun un type de problème.

45
On peut éventuellement envisager d'autres variations, comme par exemple la présence
de pourcentages: «si la longueur d'un rectangle augmente de 10 %... ». Mais ces
variations ne concernent plus la structure de l'énoncé ou du système d'équations mais
seulement la présentation de l'une des quantités connues ou inconnues.
On voit tout de suite que le type de conversion à effectuer change selon la rédaction de
l'énoncé. On peut avoir un passage direct et immédiat dans le cas de problèmes du type
Al ou au contraire un passage exigeant un détour par une représentation intermédiaire
dans le cas des problèmes du type B ou C.
Pour les problèmes du type A2, cela peut dépendre des indications relatives aux
relations que la rédaction laisse implicites. Rappelons que le degré d'implicite ne concerne
pas les quantités inconnues mais les indications relatives aux relations.
Le passage de l'énoncé à l'écriture du système d'équations dépend du degré de
correspondance entre l'organisation de l'énoncé qui est proposé comme problème et celle
du système d'équations à écrire.
Représentation intermédiaire:
organisation des quantités
Inconnues en tableau
Problèmes t B, C
(et A2 complète ent implicites)
(ENONCE)I------------I.. ~r SYSTEME D'EQUATIONS
- - Problèmes type Al
et type A2 partiellement implicites
La compréhension des problèmes de mise en équations ne dépend pas d'une
« compétence» générale de lecture des énoncés de problème, comme cela est quelque
fois affirmé, mais d'un développement intériorisé d'une organisation en tableau de
données relatives à des grandeurs, qu'elles soient reliées ou non par une relation
multiplicative.
Ces remarques sont importantes car elles permettent de mieux analyser la nature des
difficultés rencontrées pour la mise en équations de ces problèmes. Et elles montrent aussi
que proposer de commencer par « choisir les inconnues» est un non-sens. D'ailleurs ce
conseil aveugle est non seulement inefficace mais il peut conduire à renforcer des
comportements de choix impressionnistes chez les élèves qui vont associer les inconnues
à un mot de l'énoncé, celui-ci étant en général choisi dans la question posée.
2.2. Aperçu des variations possibles d'énoncés de problèmes
extraits d'une même situation
A partir d'une situation complète, donnée sous la forme d'un texte descriptif ou narratif
ou sous la forme d'un tableau, on peut construire différents types d'énoncés. Voici par
exemple la présentation complète sous forme de tableau d'une situation comportant les

46
valeurs numériques de six objets ainsi que les relations entre les objets de même nature (le
problème 2 ci-avant est un des problèmes que l'on peut construire à partir de cette
~ituation) :
vitesse en mis durée en s distance en m
montée VI = 15 tl = 161 dl = 2415
descente vz= 21 tz = 109 dz = 2289
relations vz - VI = 6 tl + tz =270 dl - dz = 126
Il Ya évidemment un saut cognitif important quand on passe de la forme textuelle à la
forme tabulaire pour la présentation complète d'une situation. Dans un cas, les données
sont mélangées et, dans l'autre, elles sont classées. Qu'il faille ou non faire travailler les
élèves sur ce saut est évidemment une question importante qui est abordé au chapitre IV de
la brochureS.
Mais la présentation complète d'une situation ne constitue pas un problème. Pour que
la situation présentée devienne la matière d'un problème, il faut choisir parmi les données,
celles qui figureront dans le texte de l'énoncé et celles qui seront des quantités inconnues.
Ainsi, à partir d'une même situation, nous pouvons générer des problèmes très différents
les uns des autres 6 .
Il ne resterait plus pour fermer la boucle qu'à analyser les énoncés de ces problèmes en
fonction de la classification proposée. Et on aurait alors une vue globale et précise de tout
le fonctionnement cognitif impliqué par les problèmes de mise en équations.
3. Conséquences et perspectives pour l'enseignement
Nous venons de voir la complexité du passage d'un énoncé à l'écriture d'un système
d'équations. Il n'est donc pas surprenant que les élèves ne le réussissent pas après
quelques conseils ou quelques exemples ! Car un tel passage, dans le cas opaque,
présente plein de fausses pistes. On peut d'abord se tromper sur la nature des objets à
identifier: on établit alors une correspondance représentative entre les objets physiques
(montée-descente, aller-retour...) de la description de la situation extra-mathématique
évoquée et les objets qui sont pertinents pour la conversion en équations, à savoir des
quantités inconnues. Mais de façon plus subtile et plus durable, on peut confondre les
dénominations de base utilisées pour désigner les quantités inconnues et les objets qu'elles
permettent de désigner: on établit alors de fausses correspondances entre les inconnues,
c'est-à-dire les deux lettres utilisées comme dénominations de base dans l'écriture
algébrique (pour un système de deux équations), et certains mots ou certaines expressions
linguistiques qui, elles, désignent les quatre quantités inconnues.
5 Op. cit.
6 Voir page 40 de la même brochure (op. cit.)

47
On ne peut donc pas être surpris de voir les élèves emprunter toutes les fausses pistes
possibles. Elles conduisent à une grande variété d'erreurs que l'on retrouve toujours pour
les énoncés qui relèvent du cas d'opacité. Dans son travail de thèse, Kourkoulos (1990)
en a établi une typologie de base. Il les a caractérisées comme des «défauts de
représentation» des élèves. Vu la complexité de la tâche cognitive requise, dans le cas
d'opacité, pour passer de l'énoncé à l'écriture du système d'équations, et en l'absence
d'un apprentissage spécifiquement adapté à cette tâche, ces erreurs sont inévitables. Et il y
a peu de chances que la plupart des élèves les surmontent au fur et à mesure qu'ils
avancent dans le curriculum. On peut donc se poser une première question: comment
apprendre aux élèves à /ire les énoncés, dont les rédactions peuvent beaucoup varier, de
façon à ce qu'ils deviennent capables de reformuler sous une forme algébrique les
informations lues, c'est-à-dire sélectionnées
Toute lecture intégrée à une tâche implique que cette lecture se fasse de manière plus ou
moins interrogative; car c'est en fonction de cette interrogation que les informations en
relation avec la tâche à effectuer peuvent être sélectionnées. En d'autres termes, cela
implique que le lecteur ait, implicitement ou explicitement, une grille de questions en tête.
C'est en fonction de cette grille qu'il « voit» se détacher de l'énoncé les informations qui
lui paraissent devoir ou pouvoir être utilisées. Nous pouvons donc préciser la première
question en une deuxième: quelle grille de questions peut-on construire pour la tâche de
reformulation sous forme algébrique et comment les élèves peuvent-ils se l'approprier
En ce qui concerne la première partie de cette question, on voit que la grille de
questions doit être orientée vers deux types d'informations:
(1) les informations concernant les quantités inconnues ainsi que celles concernant les
relations que l'énoncé établit ou présuppose entre ces quantités inconnues,
(2) les informations permettant d'organiser toutes les informations de (1) sous une
forme qui permette un traitement dans le registre d'arrivée, à savoir un système
d'équations.
Pour véritablement discriminer le type d'informations décrit en (1), c'est-à-dire pour
être en mesure de comprendre les questions pouvant s'y rapporter, il faut avoir pris
conscience de la distinction entre les objets désignés (les quatre quantités inconnues) et
les dénominations que l'on utilise respectivement pour les désigner dans l'énoncé et dans
l'écriture du système d'équations. Le point délicat consiste dans le fait que les
«dénominations de base» (le lexique) utilisables dans l'écriture algébrique pour
désigner les objets est plus restreint que celui qui est utilisé dans l'énoncé. Et pour
véritablement discriminer le type d'informations décrit en (2), il faut avoir pris conscience
que les objets désignés dans l'énoncé le sont en fonction de deux dimensions sémantiques
(durée et distance, être un chiffre et représenter un nombre, nombre d'objets produits et ce
que nécessite cette production, pour reprendre les énoncés cités plus haut), et que la
reformulation sous fomle algébrique doit conserver cette désignation en fonction de deux
dimensions sémantiques.
Cette double prise de conscience, qui doit se faire simultanément, s'explicite dans une
grille de questions ou peut émerger dans une activité où l'on apprend un type de
questionnement orienté vers ces deux types d'informations. Une grille de questions ne
saurait donc être codifiée à l'avance une fois pour toutes. C'est pourquoi, le biais du

48
recours à la représentation de type tableau s'avère précieux.
Il n'est pas besoin d'expliquer pourquoi ce type de représentation s'impose
structurellement par rapport à d'autres types de représentations comme celles auxquelles
certains élèves recourent spontanément pour constater ensuite qu'ils sont en impasse (cf.
l'exemple plus haut où est produite l'image de la montée et de la descente). En revanche,
il est important de préciser que ce n'est pas tant le tableau qui importe que la fonction
qu'on lui donne dans l'organisation des activités. Il ne s'agit pas de donner un tableau
déjà rempli, ou même à remplir. Car alors tout le travail de prise de conscience relatif à la
génération d'un grille de questions serait court-circuité. Il s'agit, au contraire, de faire
construire le tableau, ce qui implique que l'on s'interroge sur la nature des infonnations à
mettre dans les marges (détenninations sémantiques) et dans les cases (les quantités
inconnues refonnulées en fonction d'un lexique à deux lettres). Bref, il ne s'agit pas de
faire utiliser des tableaux déjà partiellement construits (activité en aval de la représentation)
mais de le faire construire (activité en amont). Car en amont on ne travaille plus sur un
seul registre de représentation, l'énoncé pris en lui-même ou le tableau seul en oubliant le
texte, on travaille sur la conversion des représentations. M. Kourkoulos (1990) et plus
explicitement N. Cordier (1993) ou, plus récemment, une équipe d'enseignants (op. cit.)
ont élaboré et expérimenté dans des classes des séquences d'apprentissage allant dans ce
sens. C'est à ce stade d'une construction de tableau, en tant qu'elle porte sur une activité
de conversion et sur les moyens pour effectuer l'opération discursive de désignation
d'objets dans chacun des deux registres, que se fait la réelle compréhension de la mise en
équations. Naturellement, on peut vouloir ignorer l'importance de cette tâche, mais alors
autant donner directement le système d'équations à résoudre et ne pas donner un (pré)texte
comme énoncé de problème.
Bibliographie
CORDIER N. (1993) Les problèmes de mise équation en troisième et en seconde,
. Annales de didactique et de sciences cognitives, IREM de Strasbourg, n05
DUVAL R. (1995) Sémiosis et pensée humaine, Peter Lang.
GROUPE MATH-FRANCAIS de l'IREM de STRASBOURG (1996) Problèmes de mise
équations: ces charades dont la solution est un système d'équations à deux inconnues,
IREM de Strasbourg
KOURKOULOS M. (1990) Modélisation mathématique de situations aboutissant à des
équations du premier degré, Strasbourg, thèse Université Louis Pasteur

ACTIVITÉ •.. DEUX PARALLÈLES ET UNE SÉCANTE
Philibert CLAPPONI
IREM de Grenoble
Construis un segment [CD] et deux droites parallèles (d) et (d').
A est un point quelconque.
Construis une droite (e) sécante aux droites (d) et (d') qui coupe (d) en E et (d') en F de
facon que le segment [CD] ait le même longueur que le segment [EP].
Explique soigneusement ta construction.
Justifie.
« petit x » n° 44, pp. 49 à 52, 1996 - 1997

50
ACTIVITÉ ... DEUX TANGENTES ...
Philibert CLAPPONI
IREM de Grenoble
Construis un triangle équilatéral ABC et le cercle (C) de centre C passant par B.
Le cercle (C) passe-t-il par A pourquoi
Construis la tangente au cercle (C) en A. Elle coupe la droite (BC) au point P.
Construis la tangente en B au cercle (C). S est un point quelconque de cette tangente.
Que peut-on dire du triangle SPC Justifie soigneusement.

51
ACTIVITÉ ... DEUX TANGENTES
Philibert CLAPPONI
lREM de Grenoble
[Ax et [Ay sont 2 demi droites et 1 un point du plan.
Construis un parallelogramme ABCD qui vérifient les conditions suivantes:
• B est sur Ax
• D est sur Ay
• 1est le centre du parallélogramme.
x
B r------__ c
. 1
A-·------;D~-~Y---
Justifie soigneusement ta construction.

52
ACTIVITÉ ... PROJECTIONS DANS UN TRIANGLE
Philibert CLAPPONI
lREM de Grenoble
Construis un triangle ABC et les milieux E et F de [AC] et [AB].
Construis la projection orthogonale K de E sur [Bc].
Construis la projection orthogonale H de F sur [Bc].
1 - EFHK est-il un rectangle Pourquoi
A
c
H
B
2 - Compare l'aire du triangle ABC et du quadrilatère EFHK.
3 - Soit J le milieu de [BC]. E et J se projettent orthogonalement en G et L sur [AB].
Compare les aires des quadrilatères EFHK et EJLG.

DE L'ÉCONOMIE ET DE L'ÉCOLOGIE DU TRAVAIL
AVEC LE LOGICIEL CABRI-GÉOMÈTRE
Teresa ASSUDE, Bernard CAPPONI
Laboratoire Leibniz, Grenoble 1
Pierre BERTOMEU, Jean-François BONNET
IREMdeNice
Introduction
Dans cet article, nous voulons donner quelques exemples de l'articulation entre
l'économie et l'écologie du travail avec Cabri-géomètre. Pour cela, nous exposerons tout
d'abord ce que nous entendons par ces termes d'économie et d'écologie. Ensuite, à l'aide
d'exemples observés, vécus ou pris dans d'autres travaux, nous essayerons de montrer
comment ces deux notions interagissent à la fois dans le travail de l'élève et dans
l'évolution du type de problèmes géométriques proposés en classes de Collège. Précisons
tout de même que cet article n'est pas une étude exhaustive car il s'appuie sur un travail de
recherche actuellement en cours; ainsi certaines de nos affirmations ne sont que des
hypothèses, et elles demandent à être soumises encore au contrôle de l'expérience.
Par économie du travail (relativement à des objets de savoir) nous entendons à la fois :
-la manière de gérer les savoirs dans un certain système didactique (et dans notre cas
un système didactique où on utilise Cabri-géomètre) ce qui va nous renvoyer, en
particulier, aux conditions de travail;
- la manière de gérer les savoirs dans ses multiples parties (au sens où on dira
"l'économie du corps humain") ce qui nous renvoie, entre autres, à la possibilité d'une
organisation "économe" (à savoir celle qui permet de faire des économies).
Dans ce sens, nous ne pouvons pas alors séparer l'économie du travail de son écologie,
c'est-à-dire l'étude des relations entre le savoir et son milieu. Ceci nous amènera à
considérer, plus précisément, les conditions de possibilité d'existence (et corrélativement
d'absence) d'un certain savoir ou d'un certain type de problèmes dans les systèmes
didactiques.
« petit x » nO 44, pp. 53 à 79, 1996 - 1997

54
Nous nous situerons dans une approche "économico-Iogique" que Yves Chevallard a
appelé "écologie didactique des savoirs", que nous tenterons de compléter par
l'introduction systématique des aspects de l'économie du système. Ce point de vue
correspond à "une certaine manière de problématiser le réel didactique" (Chevallard 1994,
p.114). Dans cette perspective, et comme outils de base de notre analyse, deux notions
sont importantes: celles d'''habitat'' et de "niche". Ces notions sont en quelque sorte "le
lieu de résidence" et les "fonctions" exercées par le savoir dans ce lieu. De plus, nous leur
rajouterons la notion "économie de travail", dans un sens analogue à celui de "économie
de pensée".
Nous verrons que l'économie de travail procurée par l'usage d'un logiciel comme
Cabri-géomètre n'est pas donnée au départ mais est à construire. Nous montrerons ensuite
quelques exemples des interactions entre l'économie et l'écologie du travail avec Cabrigéomètre.
2. Matérialité du travail avec Cabri ou besoin de construire
une "économie de travail"
Comme nous l'avons dit, l'utilisation de Cabri-géomètre peut procurer une économie
de travail mais cette économie n'est pas « un donné» mais « un construit ». De ce fait,
les activités initiales de familiarisation du logiciel sont très importantes pour que les élèves
puissent établir un rapport adéquat au logiciel. Par conséquent, nous ne pouvons pas
négliger la question de la matérialité de l'activité mathématique. Celle-ci est une des
composantes essentielles de cette activité mais elle est le plus souvent considérée comme
transparente, allant de soi. Or ce n'est pas ce que nous avons constaté lors de
l'observation d'élèves en classe de quatrième. Ceux-ci avaient une option informatique
tous les 15 jours et l'utilisation du logiciel posait problème. Ce qu'on aurait pu gagner en
économie d'un côté, était freiné de l'autre par cet obstacle. Nous rapprochons ce point
essentiel de familiarisation du logiciel à ce que Charles Méray faisait pour initier les élèves
aux problèmes de construction dans son livre Nouveaux Éléments de Géométrie 1 :
«En Géométrie, le mot construction s'applique au tracé méthodique des
diverses parties d'une figure quelconque, cela dans telles ou telles conditions
précises qui ont été préalablement assignées.
Le dessin géométrique ne comporte, en fait, que des constructions de figures,
chacune exclusivement plane.
Un tel dessin se nomme une épure, et s'exécute, au crayon ou au tire-ligne,
sur une feuille de papier, rendue plane et maintenue telle par son collage en
état de tension, sur une face d'une planchette qui a été taillée suivant un plan.
On peut ainsi y tracer des droites (24, 1), (27, 1), et la facilité extrême de ces
tracés les rend prédominants dans toute épure.
A cet effet, on guide la pointe traçante par une règle, instrument taillé dans une
plaque mince de quelque substance rigide (bois ou métal), et possédant
essentiellement deux faces planes qui se coupent; l'une, plus étendue, est le
plat de la règle, et s'applique sur l'épure; l'autre, très réduite, en est le
1 Méray (1906), Nouveaux Eléments de Géométrie, PJobard, Imprimeur-Editeur, Dijon, p.13.

55
biseau, et leur intersection mutuelle, nécessairement rectiligne (28, VII),
constitue l'arête de l'instrument.
Les points isolés se marquent le plus souvent par des piqûres d'aiguille, faites
aussi légères que possible. »
Et, l'auteur n'hésite pas par la suite à proposer un problème qu'il appelle "pratique" à
ses lecteurs 2 :
« Construire la droite qui passe par deux points donnés sur une épure ».
et suit la correction du problème.
Nous avons longuement cité cet auteur pourmontrer que ce qui peut nous paraître
insignifiant a une fonctionnalité dans le texte. L'auteur crée par là une des conditions de
possibilité de l'activité de l'élève concernant les problèmes de construction. Nous sommes
là dans la matérialité de l'activité mathématique. Cette matérialité est souvent implicite pour
les professeurs, en ce qui concerne les instruments utilisés. Or ce n'est pas le cas lorsque
les enseignants commencent à faire travailler leurs élèves avec le logiciel Cabri-géomètre.
Une des conditions de possibilité de l'activité proprement dite consiste à passer une
certaine durée pour initier les élèves à la maîtrise de ce nouveau moyen de travail
mathématique qu'est Cabri-géomètre.
Donnons ici un exemple des difficultés qu'un élève peut rencontrer si l'on néglige un
apprentissage du type de celui décrit dans l'exemple précédent :"Soit à construire un
segment 1AB]."
La construction de ce segment nécessite le choix de l'article "Segment" du menu
"Création" 3, le choix d'un point (déjà existant ou en le créant par un clic de souris puis
le choix d'un deuxième point de la même façon). Bien qu'une aide en ligne soit
disponible, ces actions mobilisent une habitude de l'interface et une manipulation minimale
de la souris (déplacement, pointage et clic). Nommer les deux points implique un nouveau
choix dans les menus et une nouvelle action mettant en œuvre le clavier et de nouveau la
souris; de surcroît sortir de l'environnement d'édition des noms nécessite une action par
défaut qui est souvent un obstacle pour les élèves. Des constructions comportant
davantage d'éléments nécessiteront des savoir-faire liés à l'environnement Cabri. Les
obstacles les plus observés dans les classes tiennent, en dehors de la mise en œuvre des
propriétés géométriques elles-mêmes, au statut des points: "point", "point sur objet" et
surtout "point d'intersection" dont nous parlerons plus loin.
Beaucoup d'actions sont nécessaires pour une construction simple. Cependant
l'interface est suffisamment "naturelle" pour que la plupart de ces actions se fassent sans
difficultés, mise à part les obstacles liés au type de points et la mise en œuvre des
propriétés géométriques.
Toutefois ce n'est pas en vain qu'on mettra en œuvre cette initiation à Cabri-géomètre:
il faut que cela vaille la peine d'être fait, c'est-à-dire que le travail par la suite soit vraiment
2 idem, p.14.
3 Les exemples fournis ici sont tous donnés pour la version 1 de Cabri-géomètre (1.7 sous MS-DOS ou
2.1 sur Macintosh). La nouvelle version II change sensiblement les aspects cités en apportant plus de
souplesse, de fluidité dans l'enchaînement des commandes: possibilité de nommer les points «à la
volée », par exemple.

56
simplifié ou modifié d'une manière qualitativement satisfaisante. Nous passons donc à la
description ce que nous avons fait pour familiariser des élèves de sixième avec Cabrigéomètre.
3. Comment démarrer avec Cabri
3.1. Création d'une "écologie" du travail
La présentation suivante s'appuie sur un choix préliminaire: ne pas faire d'une bonne
maîtrise du logiciel un préalable au démarrage des activités mathématiques proprement
dites. Après une phase très courte de découverte de l'inteiface Cabri, les élèves sont mis
en situation de créer des objets et de les manipuler.
Très vite il apparaît que la géométrie de Cabri 1 donne une place hégémonique au point
due au fait que la plupart des objets sont crées à partir de points de base et que c'est en
manipulant ces points que l'on déforme ou déplace les objets. En fait, les objets "Droite"
et "Cercle" qui échappent à la règle ne sont pratiquement pas utilisés 4.
Au bout de cinq ou six activités, il apparaît indispensable de faire une mise au point sur
les différents types de points. Ceci se fait à travers l'activité "Cabri juge pour points III"
(Annexe 1). Cette leçon est un peu un tournant pour une bonne utilisation du logiciel, et
par la suite, les élèves y font très souvent référence. A ce moment de l'apprentissage,
l'élève a tous les éléments pour travailler efficacement, les notions liées aux objets
construits interviendront au fur et à mesure de leur utilité.
Nous considérons alors les étapes suivantes pour créer une "écologie" favorable au
travail avec Cabri :
- utilisation de l'interface Cabri,
- création d'objets Cabri,
- travail sur les différents types de points,
- construction d'objets Cabri.
Nous présentons ces différentes phases en pointant quelques éléments, parfois
évidents, constitutifs de la matérialité du travail développée auparavant.
3.2. Utilisation de l'interface Cabri
3.2.1. Utilisation de la souris
La manipulation à la souris est incontestablement un point fort de Cabri. Il n'y a besoin
d'aucun apprentissage pour les élèves qui trouvent très naturellement la correspondance
cliquer/montrer et enfoncer/prendre.
3.2.2. Les menus déroulants (version 1)
Les élèves s'habituent très facilement à cette logique de travail. Parfois ils ont du mal à
trouver où se trouvent les commandes qu'ils cherchent. Il faut avouer que la répartition
des commandes en "Édition - Création - Construction - Divers" n'est pas toujours très
logique. Par exemple, "Point sur objet" et "Intersection deux objets" ne sont pas, pour
. 4 De fait les obstacles liés à l'usage de ces objets dans les premiers apprentissages conduisent beaucoup
d'enseignants à inciter les élèves à ne pas les utiliser. Ces objets Cabri 1 ont disparu dans la version II.

57
eux, des constructions. Et il n'y a pas de repère simple pour savoir si "Nommer" ou
"Mesurer" sont dans "Édition" ou "Divers". Ceci étant dit, quand on ne sait pas, "on
cherche" en parcourant les menus. 5
3.2.3. L'aide en ligne
Le travail en salle informatique génère toujours un peu plus d'agitation et
l'occasion permet de montrer que l'on peut, sans déranger tout le monde, demander à
Cabri comment exécuter une commande grâce à l'aide en ligne. Cette aide est textuelle et
permet aux élèves de savoir pour une construction donnée quels objets sont nécessaires et
dans quel ordre on les sélectionne. Par exemple pour la construction d'une droite
perpendiculaire, après sélection de l'article "Droite perpendiculaire" on montre un point
par où passe cette droite puis la direction à laquelle elle est perpendiculaire 6. Tout au plus
il faut remarquer que pour les élèves jeunes (l0-12 ans) l'aide textuelle est parfois un peu
complexe dans la mesure où les phrases ont une construction proche du langage utilisé en
mathématiques, souvent très condensé (Laborde 1982).
3.2.4. Les "jokers"
Il est important que les élèves ne restent pas bloqués et puissent avoir toujours le droit à
l'erreur.
a - La touche ESC
La touche ESC permet de faire marche arrière dans un menu ouvert par inadvertance.
Ceci arrive souvent avec les commandes du menu" Fichier ".
b - La commande Édition/Annuler
Il est souvent beaucoup plus simple d '" Annuler" que de passer par
"Divers/Supprimer". Exemple: " J'ai construit le cercle de centre A passant par B au lieu
du cercle de centre B passant par A"
3.3. Créer des objets Cabri
3.3.1 Création d'objets nouveaux
a - Création et manipulation
Il faut remarquer que l'on peut créer des objets multiples, mais que l'on manipule
principalement des points. Ce sont les points qui permettent le déplacement des figures.
En outre, il est important de montrer comment nommer les points car les élèves, dans les
premières manipulations font de très grands déplacements des objets de la figure avec la
souris et ont tendance à la déplacer hors des limites de l'écran. Ils obtiennent aussi des
figures dont ils ne reconnaissent plus les points initiaux. D'autre part, ils sont souvent
5 Cabri II pennet à chaque uLilisateur de redéfinir complètement les boîtes à outils~
6Cabri II auLorise différenLes séquences pour tracer cette perpendiculaire.

58
curieux de voir ce qui se passe dans les cas limites qui engendrent des messages
d"'Ambiguïté" illisibles si les objets sont anonymes.
b - Mesurer des segments
Les activités où la mesure intervient sont capitales car elles posent le problème des
objets mesurables. Sur Macintosh (Version 2.1) ou avec Cabri II, il est important de
montrer aux élèves comment on peut gérer la précision des mesures en obtenant plus ou
moins de décimales. 7
3.3.2 Création d'objets qui utilisent des points existants
Ceci représente une réelle difficulté pour les élèves, au début du Collège. Pour eux, il
n'est pas évident que les segments [AB] et [AC] ont un point commun. La règle du jeu qui
consiste à n'avoir droit qu'à un seul point A dans une figure n'est pas acquise en arrivant
en sixième et constitue un des apprentissages de cette classe.
3.4. Travail sur les différents types de points
3.4.1 Points libres
Le point libre est lin point qui "peut aller où il veut dans l'écran". Le comportement
d'une figure dans le déplacement et le statut des points dans ce déplacement est souvent
mal perçu par les élèves: souvent, ceux-ci disent que le point A de la droite (AB) n'est pas
libre car il reste toujours sur cette droite.
3.4.2 Notion de trace d'un point libre
Il apparaît très vite que le mouvement des points dans Cabri 1 est du type de la
matérialité de la trace dans l'eau: on ne sait rien des déplacements effectués. Pour pallier
ceci, on peut demander le "Lieu d'un point" quant on le déplace lui-même: voir par
exemple l'activité "Des points à égale distance d'un même point" (Annexe 2) ou bien
l'activité "Des points à égale distance d'une même droite" (Annexe 4) 8
3.4.3. Points sur objet
Deux difficultés principales apparaissent dans l'utilisation des points liés à des objets.
La première est de trouver dans l'énoncé l'indication qui évoque un point sur objet: " On
place un point sur [AB] ... ", " '" point de [AB] ... ". La deuxième est de se rendre
compte, non seulement qu'il est sur l'objet au moment où on le met, mais qu'il y reste
dans les actions de modification de la figure. On aborde là un des aspects de la différence
entre dessin et figure dans Cabri-géomètre.
7 Uniquement possible avec Cabri II sur les versions PC.
8 Dans Cabri II, une option "Trace" a été ajoutée en donnant au lieu à la fois une gestion automatique et
une pennanence dans les déplacements qui n'existait pas dans les premières versions.

59
3.4.4. Point d'intersection
Le principal problème pour les élèves réside dans le fait qu'il faut montrer les objets
dont on veut l'intersection et non pas le point d'intersection lui-même. 9
Un deuxième problème provient de la nécessité d'expliciter les points
d'intersection pour les utiliser dans les constructions. Or ceci représente une rupture
importante avec le monde du papier/crayon dans lequel l'existence du point d'intersection
n'est pas posée.
Par contre Cabri peut prendre en compte l'existence conditionnelle d'une
intersection, et donc des objets qui en découlent, ce qu'on n'imaginait même pas sur
papier: voir par exemple l'activité "Droite des centres, droites des intersections" (Annexe
3)
3.4.5. Statut des points
a - Phase de théorisation
Une fois les premières activités réalisées par les élèves, il paraît indispensable de
bien préciser les choses en ce qui concerne le statut des points. Ceci se fait à travers
l'activité "Cabri juge pour point Ill" (Annexe 1) qui a été rédigée pour sa première
mouture en collaboration avec une classe. Les termes "libre", "liberté surveillée",
" prisonnier" sont des mots d'élèves. Dans la suite du travail toute figure est l'occasion
de donner à chaque point son statut.
b - Modifier le statut d'un point
Comme nous l'avons vu plus haut, il est fréquent et durable que les élèves placent
un point "libre" sur un objet au lieu d'utiliser un "point sur objet" ; les dysfonctionnements
apparaissent alors le plus souvent une fois la figure terminée quand on déplace les objets
de base. Pour ne pas avoir à refaire la figure, il est important de connaître "lier un point à
un objet" 10. Il faut cependant noter que la redéfinition des objets ne va pas de soi chez les
élèves. Nous avons parfois observé des élèves qui utilisent la redéfinition des objets pour
tenter de placer un point qu'il n'arrivent pas à construire à l'aide une construction
géométrique.
3.5. Construction d'objets
3.5.1. Fabrication de figures complexes
A ce moment là, la phase de démarrage est terminée. Les élèves ont une maîtrise
convenable du logiciel. Les problèmes qui se posent à eux sont d'ordre mathématique. On
peut complexifier les figures et utiliser des objets construits.
9 Cabri II offre les deux possibilités et propose la construction du point d'intersection quand on pointe à
l'intersection.
10 Cet article de menu est propre à la version MS-DOS. Sur les autres versions (Macintosh 2.1 ou Cabri
II) on utilise l'article "Redéfinir un objet" ou "Redéfinir un point".

60
3.5.2. Supprimer ou gommer
Il sera, à ce niveau, important de faire la différence entre la nécessité de supprimer un
objet dont on ne désire plus la présence et la volonté de gommer un objet qui doit
continuer à exister sans apparaître à l'écran ce qu'on peut mettre en relation avec les traits
de construction en papier/crayon.
3.6. En conclusion de cette phase de familiarisation
L'importance du statut du point induit un niveau d'abstraction et de rigueur qu'il faut
travailler tout au long de l'année et qui ne peut être atteint qu'avec une fréquentation
régulière de Cabri. Mais un des points forts de Cabri est de permettre de mettre très vite les
élèves au travail sans perdre de temps puisqu'on fait tout de suite de la géométrie sans que
les problèmes liés à l'interface viennent perturber gravement l'activité de l'élève. Son
ergonomie naturelle est parfaitement assimilée sans étude préalable. Il n'en reste pas moins
que le principal problème qui se pose, "faire la différence entre dessiner et construire",
n'en est pas résolu pour autant. Mais la maîtrise de cet aspect du logiciel va de pair avec la
reconnaissance de l'importance des relations qui lient les objets d'une figure
géométrique: c'est l'un des objectifs assigné aux activités de construction (sur Cabri ou
en papier-crayon) que de donner à l'élève cette familiarité avec la figure qui est un des
éléments fondamentaux pour l'amener à élaborer une démarche logico-déductive en
géométrie.
4. Quelques aspects de l'économie du travail avec Cabri
Lorsque les élèves utilisent ce logiciel avec une maîtrise suffisamment bonne, leurs
travaux géométriques s'en trouvent facilités et ils sont conscients des avantages acquis
lorsque nous les questionnons par écrit. Avant de présenter une sélection de citations
d'élèves, précisons notre méthodologie de travail.
Ayant choisi un nombre limité de thèmes mathématiques - issus essentiellement du
programme des classes de sixième, cinquième et quatrième - nous les avons proposés en
activités Cabri et papier/crayon entrelacées. A la fin de chaque séance - qui durait entre
IhOO et 2hOO selon les classes et les créneaux horaires - nous avons demandé aux élèves
d'écrire un journal de bord: expression écrite, « à chaud », de leurs impressions sur le
travail effectué. Notre recueil de données comportait alors, outre le journal de bord, les
activités proposées par le professeur, les cahiers des élèves ainsi que des notes d'un
observateur (pour quelques séances), complété par quelques entretiens individuels que
nous avons fait quelque temps après les activités (environ deux mois plus tard). Pour ce
qui nous intéresse ici et afin de mettre en évidence les aspects choisis, nous ne
présenterons qu'un choix restreint de types de problèmes proposés aux élèves et de
citations tirées de leur journal de bord.
4.1. De la quantité et de la possibilité d'observation
Insistons sur les aspects que nous avons rencontré dans notre travail et que nous avons

61
retrouvé dans d'autres travaux. La maîtrise du logiciel Cabri passe, entre autres, par la
distinction entre dessin etfigure (Laborde et Capponi 1994), le dessin étant ce qu'on voit à
l'écran ou sur la feuille de papier et la figure étant une classe de dessins associée à un
certain nombre d'invariants géométriques. Cet aspect, bien identifié actuellement, est lui
aussi mis en évidence par des productions écrites d'élèves et surtout par leur pratique:
lorsqu'on bouge, une droite perpendiculaire à une autre doit rester perpendiculaire. Nous
soulignons qu'il est important dans l'économie du travail avec Cabri de faire beaucoup de
dessins: la quantité de dessins et leur rapidité d'exécution sont deux variables didactiques
qui ne sont pas négligeables dans l'économie du travail. Dans le "faire beaucoup de
dessins", nous incluons aussi la possibilité d'observation de ces mêmes dessins et les
conséquences de ces observations dans une démarche d'expérimentation ou de conjectures
sur les techniques à mettre en oeuvre. Nous sommes là, non seulement, dans des activités
d'introduction ou de présentation d'un objet (ou d'un problème) mais aussi dans ce que
Yves Chevallard appelle le travail de la technique. Autrement dit, la possibilité de faire un
nombre important de dessins peut être l'effet d'un activisme boulimique ("je passe de l'un
à l'autre sans réfléchir vraiment aux ressemblances ou aux différences, comme un jeu",
que l'on peut observer chez certains élèves) ou le symptôme qu'un autre style de travail
mathématique se met en place. Ce style de travail comporte notamment le fait que
l'observation devient systématique et que l'étude de cas limites devient désormais facilitée.
Le travail de la technique qui a permis de résoudre un problème est alors le moyen, non
seulement, de reconduire cette technique pour d'autres problèmes du même type mais il est
aussi le moyen d'analyser les cas pour lesquelles la technique n'est plus utilisable, à savoir
la délimitation par l'élève de la portée d'une certaine technique (Chevallard 1996).
4.2. "BoÎte à outils"
Nous reprenons ici une métaphore proposée par Charnay et Mante (1995-p.25) quand
ils présentent la conception socio-constructiviste de l'enseignement/apprentissage:
"Imaginons un bricoleur confronté à un problème de bricolage nouveau
pour lui. Sa première réaction sera d'ouvrir sa boîte à outils et d'essayer
de trouver l'outil qui lui semblera le mieux adapté à la situation. Si cet
outil ne convient pas (c'est-à-dire s'il ne lui permet pas de résoudre son
problème ou si l'utilisation de l'outil risque d'être coûteuse en temps), il
en cherchera alors un autre et l'essayera... C'est seulement après
plusieurs tentatives infructueuses qu'il prendra conscience que, dans sa
boîte à outils, il n'y a pas d'outil adéquat et qu'en conséquence il va
falloir, pour résoudre son problème, construire un outil nouveau ou
bi~n s'approprier celui qui lui proposera un ami ou un spécialiste."
Il nous semble que cette métaphore s'applique bien à la pratique que les élèves peuvent
avoir de Cabri: quand ils ont à résoudre un problème, ils essayent les différents outils à
leur disposition, parfois dans une sorte de combinatoire, (Laborde, Capponi 1994). La
facilité et la possibilité de changer d'outil est à la fois un avantage et un inconvénient: un
avantage car pour résoudre un problème nouveau on ne connaît pas au départ les outils
pertinents donc le fait de pouvoir essayer plusieurs outils permet de faire des expériences
graphiques. Toutefois faire des expériences sans un contrôle minimum peut s'avérer, pour
les élèves, source de contradictions. Or ce contrôle peut être donné, en partie, par l'article

62
"Historique" du menu" Divers ", boîte d'enregistrement du logiciel: par exemple, les
élèves qui auraient retrouvé une solution sans arriver à reconstituer le processus peuvent
utiliser l'historique et l'analyser 11. Ceci permet de mettre en place un style de travail avec
les élèves qui les incite à analyser les processus et ne pas se tenir seulement au produit
fini. D'où l'intérêt de demander un programme de construction à la fin d'un travail.
Un des inconvénients de la disponibilité des outils ou de la facilité du travail avec Cabri
est celui de l'activité frénétique qui ne correspond pas à ce qu'on appelle les expériences
graphiques: on fait des choses et on a l'impression qu'on travaille car il y a à la fois la
"peur de la feuille blanche" et la réponse de l'élève à une contrainte de réactivité
fonctionnelle du système. A savoir, on fait quelque chose car il faut trouver un état
d'équilibre entre le moment où le professeur pose un problème et celui où l'on doit rendre
compte de ce qu'on a fait à ce propos. Ce type de contrainte est plus général : il existe
même pour d'autres systèmes que ceux où Cabri est intégré mais il peut y être
complètement transparent car, malgré tout, les élèves font quelque chose. Le problème est
la signification de cette activité pour les élèves.
On peut cependant remarquer que l'activité des élèves, souvent combinatoire l2 , au
niveau des objets disponibles dans la figure et des outils à leur disposition dans les menus,
les conduit à des expériences graphiques où le perceptif est relayé par le géométrique.
Cette approche mène vers une interprétation de la figure en terme de relations géométrique
entre les objets. Le déplacement joue aussi un rôle dans la mesure où les invariants
géométriques (parallélisme, orthogonalité, appartenance d'un point à une droite ou un
cercle etc..) peuvent être perçus par les élèves puis analysés à l'aide de leurs
connaissances géométriques. Laborde et Capponi citent (1994) de tels exemples
d'invariants.
Donnons ici un autre exemple dans une activité de construction de parallèles observé
chez des élèves de cinquième. La tâche 13 est la construction de la parallèle à une droite
(EF) donnée passant par un point A donné.
.
A
Figure 1
Cette construction est à réaliser dans Cabri mais avec un menu "papier crayon", élaboré
d'ailleurs avec les élèves. Ce menu (Figure 2) comporte les outils du menu "Création" (à
l'exception de "Droite" et "Cercle") et le menu "Construction" ne comporte que "Point sur
objet" et "Intersection de deux objets" auquel on ajoute une macro "Compas" permettant
11 Dans Cabri II, l'article "Revoir la construction" du menu "Édition" a perdu en lisibilité: les relations
utilisées dans la construction ne sont plus explicitées à chaque pas.
12 Les élèves appliquent systématiquement tous les outils disponibles sur les objets de la figure. Ceci a
été particulièrement observé quand les menus sont réduits et que la figure comporte peu d'objets (voir
annexes 6 et 7).
13 Nous reviendrons sur cette tâche dans la suite de l'article.

63
de construire un cercle en sélectionnant deux points pour définir le rayon puis un point
pour le centre.
( n:>ation Construction Diuers
Point de base
Segment
Droite passant par 2 points
Triangle
Cercle déf. par centre et point
(ons trU( tion ' Dluers
Point sur objet
Intersection de 2 objets
'-_Ci_o._m_'P_8._'S ... Figure 2
Après un travail de 20 à 30 minutes trois types de constructions apparaissent chez la
plupart des élèves.
Première construction
.
A
Cercle de centre A de rayon EF construit avec
la macro "Compas".
(AB) est la parallèle à construire.
Cercle de centre F de rayon EA construit avec la
macro "Compas". B est l'Intersection des deux
cercles
Deuxième construction
.
A
Cerclede centre A de myon EF construit avec
la macro "Compas".
(AC) est la parallèle à construire.
" ./
Cercle de centre E de rayon EA construit avec la
macro "Compas". C est l'Intersection des deux
cercles

64
Troisième construction
.
A
CercIe de centre F de rayon AB construit avec
la macro "Compas".
(AD) est la parallèle à construire.
CercIe de centre E de rayon AF construit avec la
macro "Compas". Dest l'Intersection des deux
cercles
Ces trois constructions 14 utilisent deux fois de suite la macro compas et recouvrent
toutes les constructions possibles avec cette macro et les trois points A, E et F. En effet la
macro ne permet pas de sélectionner un même point pour définir le rayon et le centre. Les
observations montrent que l'aspect combinatoire est présent chez tous les élèves dans un
premier temps. C'est ensuite le déplacement et la conservation du parallélisme qui
conduisent les élèves vers une analyse géométrique (présence du parallélogramme) et la
justification de cette construction. Seule la troisième construction qui conduit les élèves à
construire un trapèze isocèle n'est en général pas analysée correctement. Les
connaissances géométriques ne sont pas disponibles pour celui-ci et la combinatoire ne
débouche pas ici sur une activité à caractère géométrique.
Cet exemple montre que l'activité de l'élève peut être combinatoire, elle l'est souvent
au début, mais que ce sont les connaissances géométriques et le contrat établi dans la
classe qui pousse vers une activité géométrique.
On trouve cependant des exemples où les élèves construisent sans mettre en œuvre de
procédure combinatoire et s'appuient sur un projet de construction intermédiaire. Capponi
(Capponi 93) donne l'exemple d'un élève qui pour construire une parallèle envisage la
construction d'un carré, "parce que le carré a les côtés opposés parallèles", et toute son
activité consistera à utiliser les outils disponibles pour réaliser sa construction. Cet élève
se place d'emblée au niveau géométrique sans passer par la phase combinatoire.
Pour nous, l'économie de travail avec Cabri offre les possibilités suivantes:
- faire beaucoup de dessins avec une grande précision,
- faire des expériences graphiques dans les cas usuels et dans les cas limites,
- avoir à disposition des outils, peu coûteux en temps dans leur utilisation
- augmenter sa boîte d'outils par les macro-constructions.
Cette économie crée des conditions favorables pour que de nouvelles "écologies
didactiques du savoir" puissent exister d'une façon stable, et "presque" conséquemment,
pour que les élèves puissent avoir un autre type de rapport à la géométrie: le rapport à
14 Dans ces trois construclions le parallélisme n'est pas conservé quand on déplace A de l'autre côté de la
droite. Ceci est ici sans inconvénient dans l'activité en classe où l'objectif était d'étudier la construction
d'une parallèle dans l'environnement papier crayon.

65
l'espace serait en quelque sorte lié au rapport au "possible" (cette dernière assertion fait
partie de nos hypothèses non confinnées).
Ajoutons aussi l'importance que revêtent les macro-constructions dans l'environnement
de géométrie que constitue Cabri-géomètre. Cette possibilité met bien en évidence ce
qu'on appelle l'économie du travail mathématique dans un autre domaine que l'algèbre. Si
l'élève a construit la tangente à un cercle passant par un point extérieur au cercle, il peut
alors créer une macro-construction 15 qui lui pennet de faire, lors d'un autre problème, des
constructions peu coûteuses en temps: les macro-constructions sont des formes
condensées des processus de construction qui peuvent être réactivées à n'importe quel
moment ce qui n'est pas négligeable lors du travail de l'élève (et ceci à condition aussi que
l'élève ait un rapport à cette macro-constuction). Nous avons observé de nombreux
élèves, maîtrisant bien Cabri, qui après avoir réalisé des constructions classiques comme
le carré ou l'hexagone les enregistraient comme macros avec le projet de les réutiliser à
l'occasion, ultérieurement.
5. Des changements de l'écologie didactique des savoirs
Yves Chevallard présente la problématique écologique comme pennettant de se poser
des questions sur les objets et les interrelations d'objets, sur le pourquoi de l'existence ou
de l'absence de ces objets et de leurs interrelations. Dans son article Les processus de
transposition didactique, il donne un exemple de deux objets dont l'interrelation n'existe
pas dans l'enseignement au Collège. Nous allons voir que l'usage de Cabri pennet de faire
vivre des interrelations qui n'existaient pas auparavant.
- Le premier objet est un problème:
"Étant donné une droite (d) et un point P n'appartenant pas à cette droite
(d), construire à la règle non graduée et au compas, la droite parallèle à (d)
passant par P"
- Le second objet est le "théorème des milieux" que les élèves apprennent en classe de
quatrième.
Dans ,Son article, Chevallard présente des solutions au problème qui prennent appui sur
des interrelations diverses (par exemple avec le parallélogramme) et ensuite il écrit
(Chevallard 1994, p.144) :
"quand un élève (ou un professeur) rencontre le problème de la construction
de la parallèle, il ne songe pas à le mettre en relation avec le ~héorème des
milieux. Pourtan t, à ne considérer que la dimension mathématique de la
question, on voit immédiatement qu'une telle interrelation pourrait fort bien
exister. En d'autres tennes, le théorème des milieux est susceptible de fonder
un procédé, non moins intéressant qu'un autre, et au demeurant très simple,
15 Les macros-constructions de Cabri constituent une possibilité de créer de nouveaux outils accessibles
directement dans les menus. Elles sont rapidement mises en œuvre par les élèves.

66
de construction de la parallèle: tracez (avec la règle) une droite passant par P
et sécante à (d) en M ; puis marquez (avec le compas) le point A symétrique
de P par rapport à M ; tracez ensuite (à la règle) une autre droite passant par
A, sécante à (d) en N ; enfin marquez (avec le compas) le point Q symétrique
de A par rapport à N ; la droite (PQ) est la droite cherchée."
Et il rajoute:
"Pourquoi cette interrelation n'existe-t-elle pas 1 Est-ce simplement qu'elle
n'existe pas encore 1 Mais alors sous quelles conditions pourrait-elle se
créer 1 Et ferait-elle alors disparaître l'ancienne interrelation 1"
et il affirme que ce problème ne peut pas être analysé tout seul mais en rapport au "tout
structuré" dans lesquels il pourrait vivre en présentant ensuite le "savoir enseigné" comme
"résultante d'un système complexe de conditions et de contraintes, d'une écologie
spécifique qui, pour chaque question posée, appelle un examen particulier."
Or, c'est dans ce contexte que nous voulons poser le problème de l'écologie du travail
avec Cabri. Ce logiciel va introduire, par son économie, un ensemble de contraintes qui
vont permettre l'émergence de nouveaux objets et/ou de nouvelles interrelations. Comme
nous l'avons déjà dit, ce logiciel est une authentique "boîte à outils" 16, très économe, où
les élèves peuvent puiser un certain nombre d'outils. Cabri-géomètre fournit des outils
difficilement accessibles directement dans un environnement papier/crayon avec le compas
et la règle. Par exemple, l'outil "Symétrie" est disponible dans la "boîte à outils" de Cabri
(menu standard) et les élèves s'en servent comme l'a montré Capponi B. (1992-1993) à
propos du problème précédent de Chevallard. Il s'agit là, pour des élèves de quatrième, de
construire la parallèle à une droite passant par un point donné et la procédure utilisant le
théorème des milieux est utilisé par 8 des 22 binômes observés. Pour plus de détails, nous
renvoyons à l'article cité mais il nous semble important de souligner que certains élèves
justifient leur procédure de la façon suivante (Capponi, p.63) :
"Notre droite passant par P est parallèle à (d). Quand on/ait une droite qui passe par le
milieux des 2 côtés, la droite est parallèle au troisième et elle/ait la moitié de la droite."
L'interrelation entre les deux objets existe pour ces élèves ainsi que l'écrivent
explicitement Laborde et Capponi (1994), à propos de cette expérimentation:
"Ce qu'on énonce classiquement comme un théorème (comme celui de "la droite des
milieuX dans un triangle" ou celui de la composition de deux symétries centrales)
devient ici un outil opératoire de tracé. L'environnement permet une extension de
l'ensemble des classes des situations attachées à ces théorèmes."
Or on pourrait penser que ces changements dans l'écologie des savoirs ne sont pas
stables et qu'ils sont donc éphémères. Notre hypothèse est que les changements
écologiques provoqués dans l'ordre des savoirs (et conséquemment dans le rapport
personnel des élèves à ces savoirs) par le travail avec· Cabri sont d'autant plus stables (et
donc méritent d'être vraiment pris en compte dans le développement curriculaire) qu'ils
sont entrelacés avec l'économie du logiciel. Autrement dit, des interrelations peuvent
16 Aspect renforcé dans l'interface de Cabri II : la barre d'icônes donne accès à des boîtes d'outils. Voir la
présentation dans la documentation de Cabri II.

67
commencer à exister sous la condition que l'usage des .outils du logiciel soit économe. De
même on peut faire l'hypothèse que de nouveaux types de problèmes (et de nouveaux
objets) émergent alors sous la contrainte de l'économie. Le paragraphe suivant en donne
un exemple.
6. Des nouveaux types de problèmes
Quand on commence à utiliser le logiciel Cabri, on observe la tendance des professeurs
(ceci est une hypothèse à vérifier) à proposer aux élèves le même type de travail que dans
le cadre papier/crayon. Par exemple, on demande aux élèves de construire des figures, de
reconnaître des propriétés, ...etc. Et, c'est la pratique systématique du logiciel, non
seulement avec les élèves mais encore dans leur usage personnel qui va conduire les
enseignants vers d'autres types de problèmes à poser à eux-mêmes et à leurs élèves. Ces
professeurs changent ainsi, d'une certaine manière leur rapport au logiciel mais aussi à la
géométrie. Nous considérons ici seulement deux types de problèmes que nous avons pu
observer dans les classes avec lesquelles nous avons travaillé.
6.1. Dès "lieux mous" au Collège
Le problème de lieux géométriques est un des types de problème qui existe au Collège
mais reste très limité. Par exemple, en sixième on présente la médiatrice d'un segment
[AB] comme l'ensemble des points équidistants des points A et B ou en quatrième la
bissectrice comme l'ensemble des points équidistants de deux droites. Mais dans les
classes de Collège, ces problèmes sont peu présents. Or, la dynamique du logiciel Cabri
va permettre de créer les conditions pour que ce type de problème puisse apparaître plus
fréquemment au Collège et l'une des possibilités de le faire vivre est d'utiliser ce que nous
appellerons un "lieu mou".
6.1.1. En guise de définition
Un problème de lieu géométrique peut être défini de la manière suivante: on donne une
figure F et un point M. A cet ensemble, on peut attacher certaines grandeurs (longueurs,
angles, aires,...) entre lesquelles est donnée une certaine relation R. Supposons que la
relation.R soit réalisée pour certains points M, et pour ces points seulement, alors
l'ensemble L de ces points constitue, par définition, le lieu géométrique des points M
satisfaisant la relation R. Dans la pratique, la relation R n'est pas toujours explicitée: en
général, le lieu géométrique apparaît comme l'ensemble de points liés à une configuration
mobile ou définis par des conditions de distance ou d'angles.
Dans Cabri-géomètre (version 1), on ne peut pas imposer de condition se rapportant à
une relation numérique. C'est à dire qu'il n'est pas possible de faire construire
automatiquement par le logiciel un lieu de points tel que deux mesures restent égales 17.
Pour construire le lieu d'un point, celui ci doit dépendre d'un autre point qui appartient
à un objet donné comme une droite, un cercle... Dans la mesure où cette contrainte
géométrique n'existe pas ou n'est pas connue des élèves, on la remplace par un contrôle
17 Pour le faire il faut interpréter la condition numérique et l'exprimer géométriquement­

68
"manuel". C'est à dire qu'on garde la trace d'un point pendant qu'on le déplace en
essayant de conserver une relation visible à l'écran ( deux longueurs égales, une droite
passant par un point, un cercle de rayon donné ...). Nous appelons "lieu mou" la trace
laissée par le point sous la contrainte mise en œuvre par l'utilisateur qui essaye de
conserver la relation pendant le déplacement du point avec la souris. Ainsi, la trace du
point dans le déplacement permet de conjecturer le lieu d'un point. Il en est ainsi dans
l'activité "Des points à égale distance d'un même point" (Annexe 2) ou de la distance
d'un point à une droite "Toujours à la même distance ... " (Annexe 4). C'est la trace
laissée à l'écran par ce déplacement effectué sous contrôle manuel que nous appelons "lieu
mou".
Le "lieu mou" donne donc la possibilité au logiciel d'approcher des lieux qui ne sont
pas obtenus directement. Nous sommes là dans une phase d'approche d'une démarche
théorique des lieux géométriques. Nous nous sommes placés ici du point de vue du
logiciel mais expliquons maintenant l'usage que nous en faisons en classe.
6.1.2. Utilisation en classe
Nous utilisons les "lieux mous" à partir des étapes suivantes:
- problème de lieu proposé aux élèves. Par exemple, quel est l'ensemble de points
situés à 6 cm d'une droite donnée (Annexe 4);
- phase locale d'approche du lieu, par l'intermédiaire du lieu mou: les élèves
construisent la trace du point vérifiant la condition donnée, trace assez tordue et
irrégulière, mais qui permet aux élèves de dire qu'il est vraisemblable que le lieu soit
une ligne déterminée, un objet cabri déterminé (dans notre cas, l'ensemble de deux
droites: les élèves ont plutôt vu l'une des droites);
- phase de vérification: on construit l'objet (l'une des deux droites), on place un
point M sur l'objet et on vérifie si le point satisfait la condition donnée;
- phase de validation géométrique: on démontre qu'on est bien en présence du lieu
(ou on admet dans certains cas: c'est au professeur de décider).
La notion de "lieu mou" nous permet d'approcher la notion de lieu géométrique et nous
sommes là dans une situation du vraisemblable. Les élèves peuvent alors dire qu'il est
vraisemblable que le lieu des points soit une droite ou un cercle mais ils ne peuvent pas
affIrmer que le lieu est vraiment la droite ou le cercle sans le prouver, ce qui change le type
de travail mathématique des élèves. On sort de la dichotomie vrai/faux pour entrer dans
·une démarche heuristique par essais/erreurs où le vraisemblable dessine en quelque sorte
le domaine des interprétations recevables. La démarche ne consiste plus à produire la seule
réponse vraie possible mais à s'assurer que les réponses obtenues sont compatibles avec
un certain nombre de contraintes.
Il est vrai que cette approche des lieux a des limites notamment en ce qui concerne le
problème de la réciproque: avec nos élèves, ce problème n'a pas été posé et la validation
du lieu était faite par le professeur. Toutefois il nous semble que l'usage du lieu mou
permet à la fois de faire des expériences graphiques et de faire émerger aussi des
conjectures sur les lieux de points qui vérifient certaines propriétés. Et cette démarche est
intéressante à développer dans la pratique mathématique de nos élèves. Nous pouvons dire
que cet usage correspond vraiment à une pratique institutionnalisée dans les classes avec
lesquelles nous avons travaillées: ceci ne passe pas inaperçu à certains élèves qui
l'écrivent dans leur journal de bord. Par exemple, une élève, Fleur, écrit: "Cabri m'a

69
aidée dans mon travail car dans ces activités lieu de points était utile et que sur le papier ce
n'est pas possible." Gilles, lui, écrit: "Cabri m'a aidé dans mon travail car on peut tracer
des lieux de point facilement et les effacer; sur du papier se serai plus dur car au bout
d'un moment la feuille serai déchirée." Ou encore Gregory : "Il m'a aidé car il me
permettait de faire les lieux de points. Ce qui est très difficile à faire sur une feuille avec
une règle et un crayon. Aussi je pouvais tracer les milieux facilement".
Là, encore, il nous semble que c'est l'économie du travail avec Cabri qui va permette
l'émergence de nouveaux types de problème qui peuvent s'institutionnaliser dans une
classe donnée (à défaut de pouvoir pour le moment le généraliser). On peut penser, par
exemple, que des objets comme la médiatrice, vue comme ensemble de points équidistants
de deux point donnés, peuvent devenir plus accessibles à travers ces expériences
graphiques.
6.2. Des problèmes d'existence
Nous avons travaillé avec les élèves de cinquième et de quatrième sur les quadrilatères
et sur les conditions qui permettent de définir un quadrilatère particulier. Ce n'est pas, bien
sûr, un type de problème nouveau mais le fait de pouvoir bouger les figures peut être un
moyen très utile pour que les élèves se rendent compte qu'on peut, par exemple,
transformer un parallélogramme quelconque en un rectangle sous certaines conditions
(Voir Annexes 4 et 5).
Ces activités, dont l'une d'entre elles est construite d'après un exercice du manuel de
l'IREM de Strasbourg, ne sont pas nouvelles mais le fait qu'on puisse déplacer les points
de base et "déformer" pour "reformer" un quadrilatère particulier va créer un nouveau
rapport qui pourrait presque se situer dans un cadre topologique.
On peut conduire l'élève à mieux comprendre puis analyser certains types de
questions:
Peut-on transformer une figure géométrique en une autre Sous quelles conditions
A partir d'un quadrilatère quelconque (on peut aussi bien analyser le cas des quadrilatères
non convexes) peut-on toujours obtenir un carré
Existe-t-il toujours un losange obtenu à partir d'un parallélogramme quelconque
Voilà quelques-unes des questions proposées aux élèves dont le traitement peut
provoquer un débat utile dans la classe. Certains élèves, dans leur journal de bord, font
référence à cette activité. Thomas écrit: "au moins j'ai pu voir que les parallélogrammes
ont un centre de symétrie" et il rajoute "j'ai mieux compris l'histoire des carrés, des
losanges, des rectangles, tous sont des parallélogrammes. Le rôle des diagonales est très
important dans un parallélogramme car elles peuvent en faire un rectangle ou un losange."
Les problèmes d'existence, surtout au Collège, ne sont pas très fréquents car on part du
principe que c'est un problème difficile pour les élèves de cet âge. Or le travail avec Cabri
permet, en changeant certains conditions, de reprendre des types de problèmes usuels
sous une problématique existentielle.
Donnons pour terminer un exemple de travail proposé à des élèves de cinquième sur le
cercle circonscrit :
1. a) Place un point A et construis un cercle passant par A.
b) Existe-t-il toujours un cercle passant par A Si oui, est-il le seul Combien de
cercles peux-tujaire passer par A
2. a) Place deux points A et B et construis un cercle passant par A et B.

70
b) Existe-t-il toujours un cercle passant par ces deux points Si oui, est-il le seul
Combien de cercles peux-tufaire passer par A et B
3. a) Place trois points A, B et C et construis un cercle passant par A, B et C.
b) Existe-t-il toujours un cercle passant par ces trois points Si oui, est-Ule seul
Combien de cercles peux-tufaire passer par A, B et C
Après un travail d'exploration des élèves sur Cabri-géomètre, une phase collective de
bilan permet d'instaurer un débat dans la classe pour que les élèves se mettent d'accord
sur les réponses à donner à ces questions.
Les questions que se posent les élèves ne sont pas anodines. Par exemple: l'infini de la
première réponse est-il plus grand que l'infini de la deuxième
Nous sommes là au coeur du travail mathématique: les élèves peuvent se poser des
questions sur des problèmes plus avancés que ceux de leur niveau. Par la suite, le
professeur pourra alors institutionnaliser ce qu'ils doivent savoir à propos du cercle
circonscrit.
7. Conclusion
Cet article a tenté de montrer que, dans l'environnement Cabri-géomètre, la pratique
mathématique de l'élève change par rapport à une pratique où on utilise uniquement le
support papier/crayon et les instruments traditionnels (règle, compas et équerre).
Ce changement tient à la nature des outils mis à sa disposition ainsi qu'à la possibilité
de déplacer des objets ( principalement des points) tout en conservant les propriétés
déclarées de la figure. Quand l'élève est suffisamment familiarisé avec cet environnement,
c'est à dire que celui-ci est devenu pour lui un lieu plus économe pour la réalisation précise
des figures et la résolution de certains problèmes, la nature des problèmes qui lui sont
proposés peut aussi être transformée.
Cette évolution résulte de la nature des interactions entre la tâche proposée et à sa
réalisation effective dans l'environnement logiciel. Il s'agit notamment
- de la quantité de figures réalisables, leur rapidité d'exécution,
- la possibilité d'observation d'invariants de la figure en déplaçant les points,
- la possibilité de construire de nouveaux outils avec les macro-constructions,
-la possibilité de faire des expériences graphiques
Ce sont ces éléments essentiels de l'économie de travail qui permettent de créer des
conditions favorables à de nouvelles écologies didactiques des objets de savoir et
notamment à l'existence de nouveaux types de problèmes. La réalisation de macroscontructions
en fait partie. Nous avons aussi donné l'exemple des "lieux mous" qui
constituent un moyen de contrôler le déplacement d'un point tout en gardant la mémoire de
sa trajectoire permettant. ainsi une approche nouvelle de notions difficiles comme
l'équidistance des points d'une médiatrice ou même la définition d'un cercle à partir de la
conservation du rayon. Les annexes fournissent plusieurs exemples de ce type.
L'étude de ces questions en est à ses débuts et des recherches à venir apporteront des
éléments à l'étude de ces nouvelles écologies didactiques. L'une de nos hypothèses de
travail est que les changements écologiques provoqués dans l'ordre des savoirs sont
d'autant plus stables - et ont alors des conséquences curriculaires - qu'ils sont en
. interaction avec l'économie de travail du logiciel. Nous avons notamment pu observer que

71
ces changements ont par exemple des conséquences dans le "style" de travail
mathématique de l'élève.
Bibliographie
ASSUDE T. (1996) De l'écologie et de l'économie d'un système didactique: une étude
de cas, Recherches en Didactique des Mathématiques, (pp 47-70), Vol. 16/1, Grenoble:
La Pensée Sauvage
BELLEMAIN F., CAPPONI B. (1992) Spécificité de l'organisation d'une séquence
d'enseignement lors de l'utilisation de l'ordinateur, Educational Studies 23, nO 1 (pp. 37­
68)
CAPPONI B., (1993) Modifications des menus dans Cabri-géomètre, des symétries
comme outils de construction, Petit x, (pp. 37 à 68), nO 33, lREM de Grenoble
CHARNAY R., MANTE M. (1995) Préparation à l'épreuve de mathématiques du
concours des professeurs des écoles, Paris: Hatier.
CHEVALLARD Y. (1992) Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives
apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des
Mathématiques, (pp. 73-112), Vol. 12/1, Grenoble: La Pensée Sauvage
CHEVALLARD Y. (1994) Les processus de transposition didactique et leur théorisation.
ln Arsac et alii (ed) La transposition didactique à l'épreuve, (pp. 135-180), Grenoble: La
Pensée Sauvage
CHEVALLARD Y. (1995). La fonction professorale: esquisse d'un modèle didactique.
ln Noirfalise R. et Perrin M.-J. (ed.) Actes de la Vll/ème Ecole d'Eté de Didactique des
Mathématiques, (pp.83-122), lREM de Clermont-Ferrand
LABORDE C. (1982) Langue naturelle et écriture symbolique. Deux codes en interaction
dans l'enseignement mathématique, Thèse d'État, Université Joseph Fourier, Grenoble 1
LABORDE C. (1994) Les rapports entre visuel et géométrique dans un EIAO. In Artigue
et alii (ed) Vingt ans de didactique des mathématiques en France, (pp. 387-394).
Grenoble: La Pensée Sauvage
LABORDE C. (1994) Enseigner la géométrie: permanences et révolutions, Bulletin de
l'APMEP, (pp.523-548), nO 396
LABORDE C., CAPPONI B. (1994) Cabri-géomètre constituant d'un milieu pour
l'apprentissage de la notion de figure géométrique. Recherche en didactique des
mathématiques, Vol 14/1-2, Grenoble: La Pensée Sauvage
MÉRAY C (1906), Nouveaux Éléments de Géométrie, P.Jobard, Imprimeur-Editeur,
Dijon.

72
ANNEXE 1
Cabri, juge pour points !!!
Pour Cabri-géomètre, il y a trois sortes de points
A
• ~ ce point
~"""t
ce point
Les points libres Les points en liberté
surveillée
Ils sont créés par: Ils sont créés par :
[Création] Point (ou toute [Construction] Point sur objet (
création d'objet utilisant des ou si on lie un point libre à un
points nouveaux: droite, objet avec [Divers] Lier un point
segment, ...)
à un objet).
Ils sont «Cabri-mobiles» Ils sont « Cabri-mobiles », mais
on peut les prendre avec la ils ne peuvent pas sortir de l'objet
main de CABRI. On peut les sur lequel ils ont été placés
amener n'importe où sur (segment, droite ou cercle)
l'écran.
Les points prisonniers
' ,
Ils sont crees par
[Construction] Intersection
de 2 objets (ou s'ils sont
construits à partir de points
Iparticuliers : milieu, ...).
Ils ne sont pas «Cabrimobiles»
ils ne se
déplaceront que si on
déplace leur « prison ».
Exemple 1. Voici un programme de construction;
1. Trace un cercle de centre 0 passant par un point X.
2. Place un point A sur ce cercle.
3. Trace la médiatrice du segment [AO] : elle coupe le
cercle en E et F.
4. Trace le triangle AOE.
Que peux-tu dire de ce triangle
Pour cette construction, voici le bilan du statut de chaque point :
OetX
A
EetF
Points libres; création cercle déf. par 2 points
Point en liberté surveillée; point sur cercle
Points prisonniers (Intersections cercle/droite)

73
Exemple 2. Voici un autre programme de
construction.
1. Trace un segment [AB].
2. Place un point 0 sur [AB].
3. Trace 1 milieu de [AO].
4. Trace le cercle de centre 0 passant par B.
5. Trace le cercle de centre 1 passant par A.
6. Trace M et N intersections de ces deux
cercles.
7. Trace les droites (AM) et (AN).
Manipule la figure et réfléchis ...
Pour cette construction, quel est le statut de chaque point
Point(s) libre(s)
Point(s) en liberté swveillée
Point(s) prlsonnier(s)

74
ANNEXE 2
Compte rendu de séance nOl
1 - Des points à égale distance d'un même point.
., ..
."
~_::.....--t
..
••
Tous les points, qui sont à égale distance de 0, sont sur un même cercle. 0 est le
centre ce cercle. La distance commune est la longueur du rayon du cercle.
Si on déplace A en maintenant sa distance à 0 à 6 cm, le plus possible, la trace ainsi
obtenu dessine un cercle de centre 0 et de rayon 6.
2 - Cercle et triangle isocèle; cercle et médiatrice d'une corde.
E
F
Le triangle, formé par le centre du cercle
et deux points de sa circonférence, est
isocèle.
La médiatrice d'une corde du cercle
passe par le centre de ce cercle.

75
ANNEXE 3
Compte rendu de séance n02
1 • Position relative de deux cercles
X
°A
Pas d'intersection Pas d'intersection Cercles sécants:
deux points d'intersection
X
X
Cercles tangents: Cercles tangents: Cercles confondus:
un point d'intersection un point d'intersection tous les points sont communs
2· Droites des centres, droites des intersections
La droite (U) n'existe que si les deux cercles sont sécants. Dans ce cas, elle est
perpendiculaire à la droite (AB).
3 • Condition d'obtention de la médiatrice du segment [AB].
B
X
Si les deux cercles ont le même rayon, la droite (U) est la médiatrice du segment [AB].

76
ANNEXE 4
Toujours à la même distance
1 Trace une droite (d).
2 Trace un point M, hors de (d).
3 Trace M' projeté orthogonal de M sur (d).
4 Ajuste le point M à 6 cm de (d).
Fais le bilan des objets utilisés :
Objets de base
Obiets intermédiaires
Objets finaux
5 Déplace M en gardant cette même distance
de 6 cm.
6 Avec le maximum de précision, peux-tu
.....- ......-_If
dire où se ballade le point M
Tu peux demander la TRACE laissé par M :
utilise la commande /CONSTRUCTION] Lieu
de points
Indique le point M.
Saisis-le, en gardant ton index appuyé sur
le bouton droit de la souris et déplace M.
Observe. Écris des remarques.
Efface ce lieu.
7 Construis toutes les positions lors du déplacement de M.
8 Par une construction d'un point N, trouve une vérification. Comment démontrer cette
propriété
(i)
1)
If'

77
ANNEXE 5
À la recherche de quadrilatères particuliers
D'après l'IREM de Strasbourg, livre de quatrième, Éditions Casteilla 1988.
Voici un programme de construction :
1 Dessine un segment [AC] de longueur 14 cm.
2 Place un point B et un point D, à 6 cm de la droite (AC), les points B et D étant de
part et d'autre de la droite (AC).
3 Trace le milieu 1 du segment [AB], le milieu J du segment [BC], le milieu K du
segment [CD], le milieu L du segment [AD].
Recherche 1
Peux-tu exécuter ce programme avec des points B et D tels que le quadrilatère ABCD
soit:
- un parallélogramme
- un losange
- un rectangle
- un carré
Sur ton cahier, fais des remarques:
- sur la position des points 1, J, K et L.
- sur la nature des quadrilatères I~.
o Refais chaque figure trouvée sur la feuille blanche ci-jointe.
Recherche 2 :
Peux-tu choisir B et 0 pour que le quadrilatère IJKL soit:
- un rectangle
- un l()sange
- un carré
- un parallélogramme
o Refais chaque figure trouvée sur la feuille blanche ci-jointe.

1 .
78
ANNEXE 6
Parallélogramme sans parallèle
Vous disposez de ce menu où on a enlevé Parallèle, Perpendiculaire et Milieu.
Point
Droite
cercle
Construction
f on'> t.11l tlon Dluers
Point sur objet
Intersection de 2 objets
Segment
Droite déf 2 pts
Triangle
Symétrique d'un point
Bissectrice
1 . Parallélogramme à partir de centre P
p
•
E et P sont deux points quelconques.
Construisez un parallélogramme dont E est un sommet et P le centre.
Justifiez votre construction.
E
•
2. Parallélogramme à partir d'un .:ôté
A et B sont deux points quelconques.
Construisez un parallélogramme dont [AB] soit un côté.
Justifiez ensuite votre construction.
B
A
1

Vous disposez de ce menu réduit.
79
ANNEXE 7
Carré sans perpendiculaires
( reation
Point de base
Segment
Droite passant par 2 points
Cercle déf. par centre et point
(ons1ruc tion
Point sur objet
Intersection de 2 objets
Milieu
B
A
On donne un segment [AB].
Construisez un carré de côté [AB] avec ces outils.
Décrivez votre méthode:
Quelles propriétés mathématiques assurent que vous obtenez un carré
li existe plusieurs autres méthodes. Essayez d'en trouver le plus possible.
Donnez chaque fois des indications sur la méthode de construction et les propriétés
mathématiques utilisées.
Méthode 2.....
Méthode 3.....

LOUIS-JEAN
avenue d'Embrun, 05003 GAP cedex
Tél.: 04.92.53.17.00
Dépôt légal: 313 - Avril 1997
Imprimé en France