Exercices sur l'oscillateur harmonique

Exercices sur l’oscillateur harmonique
I 74. Pendule cycloïdal.
y
Un mobile pesant M assimilable à un point matériel de
masse m coulisse sans frottement sur l’arc de cycloïde
M
dessiné ci-contre. On repère sa position par ses
coordonnées cartésiennes x et y sur deux axes Ox
horizontal et Oy vertical dirigé vers le haut. L’équation
paramétrique de la cycloïde est :
O
x
x = b( θ + sin θ ) y = b( 1 − cos θ)
, où b est une constante et θ une variable dont la variation entre −π et π
engendre l’arc. On note g la pesanteur.
1) Exprimer les coordonnées ( dx, dy)
d’un déplacement élémentaire du mobile en fonction de b , θ et d θ .
2) En déduire la longueur ds de ce déplacement.
3) En déduire que l’abscisse curviligne
θ
s = OM comptée positivement vers la droite, est : s = 4bsin . 2
2
mgs
4) Montrer que l’énergie potentielle associée à la force totale subie par le mobile est Ep
= .
8b
5) Exprimer l’énergie totale du mobile est en fonction de s et s .
6) Dériver par rapport au temps cette expression et en déduire une équation différentielle du mouvement portant sur
la fonction st ().
7) A quelle condition sur la vitesse v O en O le mouvement reste confiné sur l’arc de cycloïde considéré Quelle est
alors la période T du mouvement Cette période dépend-elle de l’amplitude
8) A l’instant 0, le mobile est à la position correspondant à θ = θ M avec une vitesse nulle. A quel instant t
passe-t-il pour la première fois en O Avec quelle vitesse v
II 60 .
−2
g = 9, 8 m . s .
Une automobile de masse m = 850 kg est schématisée par une carrosserie de masse m 1 = 700 kg reposant par
l'intermédiaire de quatre ressorts de raideur k = 6950 N/m sur quatre roues, chacune de masse m 2 = 37,5 kg .
1) Calculer la hauteur dont il faut soulever la carrosserie pour que les roues décollent du sol.
2) Calculer la période des oscillations verticales de la carrosserie.
III 33 .
L'oscillateur ci-contre est primitivement en équilibre. On lui applique une force F
k
constante dirigée vers la droite pendant la durée τ, puis on supprime cette force.
1) Exprimer l’allongement x du ressort en fonction du temps t pendant l’application de
la force.
2) Exprimer l’énergie de cet oscillateur après suppression de la force.
3) Déterminer les valeurs de τ pour lesquelles l'amplitude finale des oscillations est maximum.
IV.
Le système étant à l’équilibre, on lance le mobile à la vitesse v 0 vers la droite. A chaque
choc sur la paroi de droite, le mobile rebondit avec une vitesse diminuée de moitié. Le
ressort est suffisamment long pour qu’il n’y ait pas de choc à gauche. Il n’y a pas de
frottement et le mouvement s’effectue sur une droite fixe parallèle au ressort. Discuter le
nombre de rebonds sur la paroi de droite en fonction de vkmL 0 , , .
V 28 .
Un petit piston de masse m coulisse sans frottement dans un tube fin vertical en forme de tore de centre O et de
rayon moyen r . Il est attaché par un ressort courbe au point le plus bas du tube ; ce ressort coulisse sans frottement
dans le tube et exerce sur le piston une force, sa tension, égale à k θ ; si θ > 0 , comme dans la figure, le ressort est
comprimé, si θ < 0 , le ressort est tendu. Sous l’action de la tension et du poids, le piston a une position d’équilibre à
θ 0 = 75°
.
1) Exprimer k .
2) Cette position d’équilibre est-elle stable
3) Si elle l’est, exprimer la pulsation des petites oscillations au voisinage de cette position en fonction de g , r et
d’un nombre réel écrit sous forme décimale.
4) θ pouvant varier entre − 270° et + 90°
, y a-t-il d’autres positions d’équilibre S’il en existe, déterminer si elles
sont stables ou instables.
k
m
m
L
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 1

VI 19 . D’après Mines-ponts 2001.
Un solide S, de masse m, est accroché au plafond par l’intermédiaire d’un ressort R 1 de
masse négligeable et de raideur k. Un second ressort R 2 , identique au premier, pend sous le
solide (fig. 3). À partir de l’instant t = 0 on tire sur le ressort R2 avec une force F . On
constate que, si l’on accroît très lentement F , l’un des ressorts finit par se briser et que, si l’on
accroît très rapidement F , c’est l’autre ressort qui se brise.
1) Expliquer quel est, dans chacun de ces deux cas, le ressort qui se brise.
2) La force appliquée à l’extrémité libre de R 2 varie avec l’instant t positif selon la loi
F = mαt
, où α est une constante positive. La tension T de chaque ressort suit la loi de
HOOKE (proportionnalité de la tension à l’allongement), jusqu’à une tension de rupture T r :
T kx pour T < T , où x est l’allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide. On
= r
pose ω = k/
m et l’on appelle x l’allongement de R1. A l’instant 0, le système est encore à
l’équilibre. Exprimer x en fonction du temps et des paramètres du problème.
3) Exprimer T2
− T 1 en fonction de t .
4) Discuter selon la valeur de α le ressort qui casse en premier. Montrer la conformité de
cette réponse avec celle à la question 1.
Réponses
I. 1) dx = b ( 1+ cosθ)
dθ et dy = b sin θdθ 2
θ
1 2 mgs gs
; 2) ds = 2b cos dθ ; 5) E = ms + ; 6) s + = 0 ; 7)
2
2 8b
4b
v0 < 2 gb ; T = 4π
b
T θM
indépendante de l’amplitude ; 8) t = ; v = −2 gb sin u
g
4
2 x .
( m1 + 4 m2)
g
m1
II. 1) x = = 0, 30 m ; 2) T = π = 1, 0 s .
4k
k
2
F
F
π 2π
III. 1) x = [1 − cos ω t]
; 2) E = (1 − cos ωτ ) ; 3) τ = modulo .
k
k
ω ω
2
IV. Si mv0
> kL
2 , il y a une infinité de rebonds, sinon il n’y en a pas.
mg cos θ0
V. 1) k = = 0,198mg ; 2) oui ; 3) ω = 1, 079 g/
r ; 4) θ = − 1, 97 rad = − 112, 9°
(instable) et
θ0
θ = − 3, 85 rad = − 220, 5°
(stable).
VI. 1) Si l’évolution est très lente, c’est R 1 qui casse ; si elle est très rapide, c’est R 2 qui casse ; 2)
mg mα
sin ωt
mα
x = + ( t −
k k ω
) ; 3) T2 − T 1 = sin ωt
−mg
; 4) si α < gω
, le premier ressort casse ; si α > gω
,
ω
l’un ou l’autre des ressorts casse ; si α gω
, le second ressort casse, la tension de rupture étant atteinte très vite.
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 2

Corrigés
I.
1) Différentions les expressions de x et de y : dx = b ( 1+ cosθ)
dθ et dy = b sin θdθ .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ 2
θ
2) ds = dx + dy = ⎡( 1 cos ) sin ⎤
⎣ + θ + θ⎦
b dθ = [ 2 + 2 cos θ]
b dθ = 4b cos dθ ⇒ ds = 2b cos dθ
2 2
qui est la différentielle d’une fonction monotone de θ dans l’intervalle [ −π,
π ] , comme il se doit pour l’abscisse
curviligne.
θ θ
θ θ θ ⎡ θ⎤
θ
3) s = ∫ 2bcos dθ = 4b cos d( ) 4b sin 4bsin
0 2 ∫
= ⎢ ⎥ =
2 2 ⎣ 2⎦0
2
4) Le mobile est soumis au poids, d’énergie potentielle mg y et à la réaction de l’arc dont le travail est nul.
2 mgs Ep
= mgy = mgb − θ = mgb = mgb = .
2 4b
8 b
2 θ s
( 1 cos ) 2 sin 2 ( )
2
2 mgs
.
1
5) E = ms +
2 8b
6) 0 = mgss
gs
mss +
ms ( s ) 0
4b
+ 4b
=
gs
. Eliminons la solution parasite s = 0 : s + = 0 .
4b
7) Il n’y a pas de choc à une extrémité de l’arc si le mobile n’atteint pas cette extrémité, soit compte tenu du caractère
1 2
positif de l’énergie cinétique si E < Ep
( θ =±π ) mv0 + 0 < 2mgb v0
< 2 gb .
2
g
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation ω = et de période
4b
2π = T = 4 π
ω
b
g
indépendante de l’amplitude.
T
8) Le mobile passe en O à t = ; exprimons la conservation de l’énergie :
4
1 2 2
mv 0 0 2mgb sin θM
θ
v 2 gb sin
M
+ = + ⇒ = −
u .
2 2
2 x
II.
mg 1
1) En charge, la suspension est raccourcie de x0
= . Quand la carrosserie est soulevée et les roues décollent du
4k
mg 2
sol, la suspension est étirée de x ' = . Il faut donc soulever la carrosserie de
k
( m1 + 4 m2) g 850 × 9, 8
x = x0
+ x ' = = = 0,30 m.
4k
4 × 6950
2 4k m1 m1
700
2) mx 1 = −mg 1 − 4 kx ⇒ ω = et T = 2 π = π = π = 1,0 s.
m 4k k 6950
1
III.
2
1) mx = − kx + F . Posons ω = k/
m ; la solution générale est x = Acos ω t + Bsin ω t + F/
k ; compte tenu
F
F
des conditions initiales : x(0) = A + 0 x(0) B 0 x [1 cos ]
k
= = ω = ⇒ = k
− ω t
2) Quand on supprime la force F, les formules précédentes donnent les conditions initiales de la seconde phase du
F
Fω
mouvement x0 = [1 − cos ωτ ] x
0 = sin ωτ . L’énergie est
k
k
2 2
1 2 1 2 F 2 2 2 F 2 2
E =
2mx
0 +
2kx0
= [ mω sin ωτ + k(1 − cos ωτ ) ] = [sin ωτ + 1 −2 cos ωτ + cos ωτ]
2
2k
2k
2
F
= (1 −cos ωτ)
k
3) L’amplitude des oscillations est maximale quand l’énergie est maximale, donc quand
π 2π
cos ωτ = −1 ⇔ τ = modulo .
ω ω
Un autre raisonnement consiste à remarquer que pendant la première phase dE = Fdx , donc que l’énergie est
maximale quand x est maximum, ce qui est le bon moment pour supprimer la force.
2
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 3

IV.
S’il y a rebond, la vitesse
remplacement de v par − /2, l’énergie
autre.
Si mv
Si mv
2
0
2
0
1 2 1 2 1
v avant le choc est telle que
2 0 2 2
2
v
2 1 mv
2
1
1
kL
2
> kL 2 , il y a une infinité de rebonds.
< kL 2 , il n’y a pas de rebond.
2 2 2
mv = mv + kL , donc mv > kL . Après
2 2
+ reste supérieure à kL , donc, s’il y a rebond, il y en aura un
V.
1) Le piston est soumis au poids, à la tension du ressort et à la réaction du tube. Projetons la somme de ces forces sur
l’orthoradiale : F mgcos
θ−kθ. Pour la position d’équilibre :
θ =
mg cos θ0
12 5π
Fθ
= 0 ⇒ k = = mg cos = 0,198 mg .
θ 5π
12
0
2) Cette position d’équilibre est stable, car F θ est
une fonction décroissante de θ ; en
dF
effet
θ = −mg
sin θ − k < 0 .
dθ
3) Projetons la loi fondamentale de la dynamique sur
l’orthoradiale, en développant F θ au voisinage de la
position d’équilibre :
5 dF 5
mr
π θ π
θ = Fθ
( θ−
12
) ( θ=
dθ
12
)
2 1 dFθ
5π
g 5π
k
ω = − ( θ = ) = sin
+
mr dθ
12 r 12 mr
g 5π
12 5π
g
= ( sin + cos ) 1,1 64
r 12 5 π 12 r
ω = 1, 079 g/
r
4) Le graphe de Fθ / mg en fonction de θ , dessiné ci-contre pour θ en radian, montre deux autres positions
d’équilibre,
θ = − 1,97 rad = − 112,9° (instable) et θ = − 3, 85 rad = − 220,5° (stable). La stabilité résulte de ce
que F θ ( θ ) est décroissante et l’instabilité de ce que ( θ ) est croissante.
F θ
VI. D’après Mines-ponts 2001.
1) Si l’évolution est très lente, supposons la quasi statique ; la tension de R2
est F et celle de R1
est F + mg , donc
plus grande ; c’est R 1 qui casse.
Si l’augmentation de F est très rapide, la tension de R 2 est F (loi de l’action et de la réaction) tandis que la masse
n’a pas le temps de bouger et que la tension de R1
reste mg ; c’est R2
qui casse.
2) Appliquons la loi fondamentale de la dynamique au corps, qui est soumis à son poids, à la tension kx de R et à
la tension F = mαt
de R 2 : mx
2
= mg + mαt −kx
, soit x
+ ω x = g + αt
g + αt
x = Acos
ω t + Bsin
ω t + ω
2
( )
2
x 0 = A + g/ ω = mg/ k ⇒ A = 0
3
t = 0
( )
2 2
x 0 = [ −Aωsinω t + Bωcos ω t + α/ ω ] = Bω + α/ ω = 0 ⇒ B = −α / ω
x
T2
mg mα
sin ωt
= + ( t −
k k ω
)
sin ωt
3) ( )
0
− 1
mα
T1 = m g + mα t − T2 = mαt T2 − T1
= sin ωt −mg.
ω
ω
4) Comme si n ωt
évolue entre –1 et +1, T 2 − T 1 est toujours négatif si α < gω et a un signe variable si α > gω
.
Si α < gω , T 2 < T1
: c’est toujours le premier ressort qui casse (réponse conforme à celle à la question 1).
Si α > gω
, ce peut être l’un ou l’autre des ressorts qui casse.
mα Si α très grand, mg > T r , donc c’est pendant le premier quart de période que se produit la brisure, alors
ω
−T
est positif et c’est le second ressort qui se brise (réponse conforme à celle à la question 1).
1
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 4