entilles minces - Recueil de problèmes MPSI

LentillesI 77 . Phare.Un phare est constitué par un filament lumineux de 1 cm de long et par une lentille de diamètre 2 cm. Lorsque celleciest à 11 cm du filament, elle en donne une image nette sur un écran situé à 110 cm de la lentille.1) Quelle est la taille de cette image ?2) Quelle est la distance focale de la lentille ?3) Le filament étant à 10 cm de la lentille, quelle est la taille de la région éclairée à 100 mètres de la lentille ?30 cm 2 cmII 64 . Lunette.Une lunette est constituée d’un objectif dedistance focale f 1 ’ = 30 cm et de rayon r 1 = 4 cm ,d’un diaphragme de rayon r = 1 cm qui ne laissepasser que les rayons situés à son niveau à moins de1 cm de son axe et d’un oculaire de distance focalef 2 ’ = 2 cm. La distance entre le diaphragme etl’objectif est 30 cm et celle entre le diaphragme etl’oculaire est 2 cm. L’objectif, le diaphragme et l’oculaire ont même axe.1) Une étoile envoie des rayons parallèles entre eux et inclinés sur l’axe d’un angle α = 0,001 radian. En quel point(position longitudinale et transversale) se forme l’image que donne l’objectif de cette étoile ?2) Déterminer l’image que donne la lunette de l’étoile.3) On appelle grossissement le rapport des angles sous lequel on voit un objet à travers l’instrument et à l’œil nu.Quel est le grossissement de la lunette ?4) En raison du diaphragme, seules sont visibles à travers la lunette les étoiles dont la direction fait avec l’axe unangle borné par β. Calculer β.5) On regarde dans la lunette à l’envers. Que devient le grossissement ?6) Où se trouve le cercle oculaire, c’est-à-dire l’image que l’oculaire donne de l’objectif ? Quel est son rayon ?7) On veut que la lunette donne d’un objet situé à 10,3 m de l’objectif une image à l’infini. Quel est le sens et lagrandeur du déplacement de l’oculaire nécessaire ?8) Dessiner la marche du faisceau de rayons venant de l’étoile située dans une direction inclinée sur l’axe de l’angleβ. En déduire le rayon minimum de l’oculaire pour que celui-ci ne gêne pas la vision.III 50 . Lunette.Une lunette est constituée d’un objectif formé par une lentille mince convergente L 1 , de distance focale f’ 1 = 10 cm etde diamètre d’ouverture d 1 = 3 cm, et d’un oculaire formé par une lentille mince convergente L 2 , de distance focalef’ 2 = 2 cm et de diamètre d’ouverture d 2 = 1 cm. La distance entre L 1 et L 2 est réglable. Le lunette est réglée de façon àdonner d’un objet à l’infini une image à l’infini.1) Calculer la distance L entre les deux lentilles.2) Soit un objet AB frontal à distance finie. On appelle A 1 B 1 l’image qu’en donne l’objectif et A’B’ l’image qu’enAB ' 'donne le viseur. Calculer le grandissement γ = .AB3) Si A se déplace de ∆ A , son image A’ se déplace de ∆A'. Calculer le grandissement axial de la lunette, c’est-àdireg = . Pour trouver la relation entre A et A’, on pourra utiliser les formules de Newton.∆ A∆A'4) Soit un objet à l’infini dans une direction faisant l’angle α avec l’axe ; son image est à l’infini dans une directionα 'faisant l’angle α ' avec l’axe. Calculer le grossissement G = . α5) Comme les rayons lumineux sont obligés de traverser l’objectif, ils sont obligés, après avoir traversé l’oculaire, depasser par l’image que l’oculaire donne de l’objectif, qu’on appelle cercle oculaire. Déterminer la position du centre Cdu cercle oculaire.6) Déterminer le diamètre d C du cercle oculaire.7) Dessiner avec soin la marche d’un faisceau lumineux arrivant parallèle sur l’objectif, incliné alors d’un angle αsur l’axe et éclairant tout l’objectif. Pour cela, représenter les rayons extrêmes de ce faisceau et hachurer la région où ily a de la lumière.IV 35 . Viseur.1) Un viseur est constitué d’un objectif formé par une lentille mince convergente L 1 , de distance focale f’ 1 = 10 cm etde diamètre d’ouverture d 1 = 3 cm, et d’un oculaire formé par une lentille mince convergente L 2 , de distance focalef’ 2 = 2 cm et de diamètre d’ouverture d 2 = 1 cm. La distance entre L 1 et L 2 est réglable. Le viseur est réglé de façon quece viseur donne d’un objet réel situé à 20 cm de l’objectif une image à l’infini. Quelle est la distance L entre L 1 et L 2 ?DS : lentilles, page 1

1. Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2, respectivement émises par les étoilesEaet Eb, lorsqu’elles parviennent sur la lunette ?2. On appelle A l’image de l’étoile à travers la lentille . De même, B désigne l’image de à travers L .B21EaL11Eb1a) Dans quel plan se situent A1et B1? Donner la distance algébrique AB 1 1 .b) La lentille est placée peu avant le plan où se forment les images et . On appelle respectivement A etL2A1B12AB 2 2les images de Eaet Ebà travers la lunette. Sachant que 2AB = , exprimer et calculer la distance OA 2 1 .3. On définit la distance focale f ′ de la lunette par la relation AB 2 2 = f′ θ .a) Calculer la distance focale f ′ de la lunette.b) Calculer AA 1 2 .c) Quel est l’intérêt d’ajouter la lentille L 2 ? Quel est son inconvénient ?4. On place dans le plan où se forment les images A2et B2, une caméra à DTC (Dispositif à Transfert de Charge).Ce récepteur d’images est composé d’une matrice rectangulaire de 768 × 512 détecteurs élémentaires, appelés pixels,de forme carrée, de côtés a 1 = 9 µ m . On suppose que la lunette est librement orientable.Une image parfaite à travers la lunette d’un point situé à l’infini, produit sur le détecteur un signal donnant une imagedont la dimension ne peut être inférieure à la taille d’un pixel.Exprimer et calculer en seconde d’arc, la limite de séparation angulaire θ min de deux étoiles due au récepteurd’image. Quelle est la plus grande valeur de séparation angulaire décelable de deux étoiles en minute d’arc ?IX 22 . Microscope.Un microscope porte les indications suivantes : sur son objectif : x40 ; sur son oculaire: x10. La notice duconstructeur précise : ouverture numérique de l'objectif ω 0 = 0, 65 , intervalle optique ∆ = 16 cm . La signification deces indications sera précisée dans la suite. On modélise ce microscope par deux lentilles minces convergentes,l’objectif, de centre optique O1et de foyers F1et F 1′ , et l’oculaire, de centre optique O2et de foyers F2et F 2′.L’intervalle optique ∆ = FF′1 2 est positif, c’est-à-dire dans le sens de propagation de la lumière.Soit un objet réel AB, perpendiculaire à l'axe optique, A étant sur l'axe, un peu plus loin de l'objectif que le foyerobjet de cet objectif ; l’objectif donne de AB une image intermédiaire A 1 B 1 ; l’oculaire donne de A 1 B 1 une image A'B'.Nous supposerons cette image à l’infini. Elle est observée par un œil situé au voisinage du foyer image de l'oculaire. Cetœil est dit emmétrope, car il est capable d’accommoder pour voir nets les objets situés entre la distance δ = 25 cm etl'infini.1) Faire un schéma qualitatif du dispositif, sans chercher à respecter les proportions entre les longueurs données parl’énoncé, et tracer la marche de deux rayons lumineux issus du point B, l'un émis parallèlement à l'axe optique, l'autrepassant par F 1 .2) L'indication portée sur l'oculaire (x10) est le grossissement commercial G 2 = 10 de l’oculaire, c’est-à-dire lerapport de l'angle α′ sous lequel on voit l'image à l'infini d'un objet à travers l'oculaire seul (et non à travers lemicroscope) et de l'angle α sous lequel on voit ce même objet à l'œil nu lorsqu'il est situé à la distance minimale devision distincte. Déterminer f ′ , distance focale image de l'oculaire.23) L'indication portée sur l'objectif (x40) est la valeur absolue du grandissement γ 1 = AB 1 1 / AB de l'objectif :γ 1 = 40 . Calculer f 1′ , distance focale image de la lentille équivalente à l'objectif .4) Calculer la distance OA 1 entre l'objet et l’objectif.5) Calculer la latitude de mise au point, c’est-à-dire la variation de la distance OA 1 compatible avec une vision nettede l'image finale par l'observateur, dont l'œil est au foyer image de l'oculaire. Interpréter le résultat obtenu.6) Calculer dans le cas d'une image finale à l'infini le grossissement commercial G du microscope.1 1DS : lentilles, page 3θ max

7) L'ouverture numérique du microscope, ω0, correspond à nsinu , n indice du milieu dans lequel plongel'objectif, u angle maximum des rayons issus de A arrivant sur l'objectif. Calculer u pour un objectif plongé dans l'air.Le microscope est-il utilisé dans les conditions de Gauss ? Quel est l'ordre de grandeur du diamètre D de la monture del'objectif ?8) Déterminer la position C et le diamètre d du cercle oculaire, image de la monture de l'objectif à travers l'oculaire.Quel est l'intérêt de placer l'œil sur le cercle oculaire ?X 42 . L’objectif photographique.Dans tout le problème, on supposera l'approximation de Gauss valable.Les lentilles seront désignées par la lettre L, leurs foyers objet et image étant respectivement F et F', leur centre optiqueO, leur distance focale image f'.On notera A et A' respectivement, le couple de points conjugués objet et image.1° Objectif simple.Un objectif photographique est modélisé par une lentille mince de distance focale image f' = 50 mm. La mise au points'effectue en déplaçant l'objectif par rapport à la pellicule (P).a. Où faut il placer la pellicule pour photographier un immeuble de 20 m de haut, situé à 1 km du centre O ? Calculer lagrandeur AB ' ' de son image.b. Le tirage t de l'appareil est la distance dont il faut déplacer l’objectif par rapport à la pellicule pour photographier unobjet à distance finie au lieu d’un objet à l’infini. Le tirage maximum permet de photographier un objet situé àδ = 0, 9 m de l’objectif. Quel est ce tirage maximum ?c. On suppose la mise au point faite sur l'infini.L'objectif possède un diaphragme à iris d'ouverture réglable, placé contre la lentille. Son diamètre D s'exprime enfonction de la distance focale f' et de l'ouverture n suivant la relation D = f’/n. La structure du film étant granulaire, latache image correspondant à un objet ponctuel a le diamètre d'un grain a = 25 µm = 25. 10 –6 m. Déterminer l'ensembledes positions d'un objet A sur l'axe optique donnant une image aussi nette que pour un point à l'infini.Application numérique : Calculer la distance minimale de cet objet au centre optique, l'ouverture étant n = 16.d. On appelle limite de résolution, la distance minimale de deux objets A et B dans un plan perpendiculaire à l'axe, dontles images A' et B’ sont distinctes sur la pellicule. Cette distance A'B' doit être supérieure au grain de la pellicule a.Déterminer cette limite en fonction de a, f',AF .Application numérique : Comment placer l'objectif par rapport à A pour que cette limite de résolution soit la plus faiblepossible. La calculer.2° Téléobjectif.Pour augmenter le grandissement de l'image et abaisser la limite de résolution, il faut utiliser des objectifs de grandefocale, ce qui conduit à des appareils encombrants et lourds.On préfère utiliser deux lentilles, L 1 convergente de distance focale f’ 1 = 50 mm et L 2 divergente, placée derrière, dedistance focale f’ 2 = – 20 mm. La distance des centres optiques est O 1 O 2 = 35 mm.a. Calculer numériquement la position du foyer image F' du système, c’est-à-dire l’image du point à l’infini dans lesystème.b. Déterminer la grandeur de l'image de l'objet AB défini en 1° a.c. Quelle serait la distance focale d'une lentille convergente unique donnant une image de même grandeur ? Intérêt dudispositif ?3° Aberration chromatique.La vergence d’une lentille d’indice n et dont les faces ont pour sommets S 1 et S 2 et pour centres C 1 et C 2 est⎛ 1 1 ⎞V = ( n −1)⎜−SC SC⎜⎝ ⎠ ⎟.1 1 2 2Pour corriger le chromatisme de l'objectif, on associe deux lentilles L 1 et L 2 , respectivementconvergente et divergente.Les centres optiques étant pratiquement confondus (lentilles accolées) :B − 5 -21 1L 1 est d'un verre d'indice n1 = + C2 1C1 = 1, 515 B1= 4, 5.10 m ;λB − 5 -22 1L 2 est d'un verre d'indice n2 = + C2 2C2 = 1, 652 B2= 7, 4.10 m .λDS : lentilles, page 4

a. Donnez sans démonstration la vergence de la lentille unique équivalente en fonction de f' 1 et f’ 2 ?b. L 1 est équiconvexe, ses rayons de courbure égaux ont pour valeur absolue R 1 . L 2 , accolée, a un rayon de courburearithmétique R 1 , sa face non accolée a un rayon de courbure algébrique R 2 . Calculer R 1 et R 2 pour que la lentilleéquivalente ait une distance focale f' = 5 cm, indépendante de la longueur d'onde.I. 1) 10 cm ; 2) f ′ = 10 cm ; 3) D α ′ = 10 m .II. 1) dans le plan du diaphragme, à0,3 mm de l’axe ; 2) à l’infini dans unedirection inclinée de 0,015 radian surf1′l’axe ; 3) G = = 15 ; 4)f ′21Réponsesr1β = = 0, 0333 rad ; 5) G = ; 6)f1′ 152,133 cm derrière l’oculaire ; rayon0,267 cm ; 7) reculer l’oculaire de 0,9cm ; 8) r 2min = 1, 33 cm .fIII. 1) L f1′ f2′2′= + = 12 cm ; 2) γ = − = −0, 2 ; 3)f ′22′21′ff1′g = = 0, 04 ; 4) G = = 5 ; 5)ff2′22′−fdfFC 2′ 12′= = 0, 4 cm ; 6) dC= = 0, 6 cm ; 7) voirFO 2 1f1′ci-contre.1IV. 1) L = 2f 1 ’ + f 2 ’ = 22 cm ; 2) P = = 50 dioptries ;f ′2230 cmFigure 3−f2'3) F2' C = = 0 ,2 cm ; 4) à une distance de l’objectifFO 2 1du viseur comprise entre 19,685 et 20 cm.1 11 1V. 1) entre V 0 = + = 44,5 dioptries et V 1 = + = 53,5 dioptries ; 2) V 2 = −1/ ∆ = −1dioptrie;d ∆d δ1δ ′ = = 0,111 m .V + 1/ δ2DVI. 1) f ′ = = 31 cm ; 2) f42′ = − 62 cm .f ′ ⋅ AB1VII. 1) 50 mm ; 2) AB ′ ′ = = 2, 5 mm ; 3) p5,263 mmD′ = V + 1/ p= ; 4) AB ′ ′ = 5, 26 mm ; 5)12, 63 mm ; 6) entre l’infini et 1 m ; 7) p = 0, 5 m1/ p′ −V= − ; 8) AB ′ ′ = 10 mm ; 9)1p = 0, 333 m1/ p′ −V= − ; 10) avec la bonnette, la mise au point doit être plus précise ; 12) AB = δα = 75 µ m ;13) AB = f ′ α = 6 µ m.• VIII. 1) E envoie un faisceau de rayons parallèles à l’axe ; E envoie un faisceau de rayons parallèles entre euxaet faisant l’angle avec l’axe ; 2.a) et B sont dans le plan focal image de L 1 , f 1′ = 7, 5 m derrière cette lentille ;θ A11AB 1 1 = f′1θ ; 2.b) O2A 1 = 0, 0125 m ; 3.a) f ′ = 2f1′= 15m ; 3.b) AA 1 2 = 0, 0125 m ; 3.c) L 2 réduit la taille dudispositif et le champ transversal ; 4) θ min = AB 2 2 / f′ = 0,124 seconde ;−7 2 2θ max = 6.10 × 768 + 512 = 1,9 minute .δIX. 1) voir ci-contre ; 2) f 2′ = = 2, 5 cm ; 3)G2∆f1′ = = 0, 4 cm ; 4) O1 A = 0 ,41cm ; 5) 1, 54 µ m ; 6)γ1G = G 2 γ 1 = 400 ; 7) u = 40,5°; conditions de GaussDS : lentilles, page 5bBAF12 1F 1′FB 1= A2 cmF 2′r 2,min

non vérifiées ; D = 2O1Atanu= 0,7cm ; 8) O2C = 2,88cmX. 1° a. 50 mm derrière L ; AB ′ ′ = 1 mm ; b. 2, 94 mm ; c.AF = 0, 85 m ; alors AB = 0, 425 mm ;;d = 0,106 cm ; l’œil recueille toute la lumière.2f ′− p > = 6, 25 m ; d.na2° a. OF′1 = 95 mm ; b. 4 mm ; c. f ′ = 4f ′1 = 200 mm ; moins encombrant.1 1 1⎡B1⎤3° a. V = = + ; b. R1 = 2f ′( C1 −1) −( C2− 1)= 1,185cm ; Rf ′ f ′ f ′⎢⎣B2⎥⎦1 22aFA .AB > ; optimumf ′= R15, 48 cm2 B / B − 1= .1 2DS : lentilles, page 6

I.1)Corrigép′110γ = = = 10 : l’image du filament mesure 10 cm de long.p 112) 1 = 1 − 1 = 1 − 1 ⇒ f ′ = 10 cmf ′ p′ p 110 −113) L’image du filament est à l’infini ; sa taille est α ′ = AB / f ′ = 0,1radian . A D = 100 m , elle éclaire sur unelargeur D α ′ = 10 m .II.1) La figure 1 montre que A 1 B1= f1′α = 300×0,001 = 0,3 mm : l’image intermédiaireB 1 de l’étoile est dans le plan du diaphragme, à 0,3 mm de l’axe.A1B10,32) La figure 2 montre que α ′ = = = 0,015 radian : l’image B' de l’étoile àf 2′20travers la lunette est à l’infini dans une direction inclinée de 0,015 radian sur l’axe.α ′ f3) 1 ′G = = = 15 .α f 2′4) Seules sont visibles les étoiles dont l’image intermédiaire est à l’intérieur dur 1diaphragme : A1 B1≤ r α ≤ β = = = 0,0333 rad .f ′ 30115) D’après le principe du retour inverse de la lumière, G = .156) Le centre du cercle oculaire est l’image O' 1 que donne l’oculaire de O 1 ; son rayonr′1 est la taille de l’image du rayon r1de l’objectif :1 1 32O2O1′= p′= = = = 2,133cm1 1 1 1 15+ +p f ′ − 32 2r′= r11p′p=232 /15432=415= 0,267 cmLe cercle oculaire est 2,133 cm derrière l’oculaire et a pour rayon 0,267 cm.2B à l’∞αA 1 = F 2B 1Figure 1Figure 2A 1 = F' 1B' à l’∞2307) F 1 A.F1′ A1= − f1′F1′A1= − = 0,9 cm . A 1 doit coïncider avec F 2 , donc il faut reculer l’oculaire de 0,9 cm.−10008) La distance à l’axe d’un point d’unrayon varie linéairement avec l’abscisse30 cm2 cmde ce point sur l’axe ; appliquons cettepropriété au rayon extrême, passant parle bas de l’objectif et le haut dur 2,mindiaphragme :r1 + r r2min− r=f1′ f2′( r1 + r)f2′r2min= r +f1′Figure 3( 4 + 1)× 2= 1+ = 1,33cm30III.1) Pour que F 1′soit confondu avec F2, il faut que L = f1′ + f2′= 12 cm .AB ' ' f2′2) La figure montre que γ = = − = −0, 2 .AB f ′1F′ = F1 2α'B 1DS : lentilles, page 7

2⎧⎪ FA 1 ⋅ FA 1′ 1 = −f1′3) ⎪⎨2⎪FA 2 1 ⋅ FA 2′ ′ = −f2′⎪⎩2FAComme F2et F 1′2 ' f2′sont confondus, en prenant le rapport membre à membre : g = = = 0, 04 .2FA f ′1 14) D’un objet à l’infini vu sous l’angle α, l’objectif donne une image intermédiaire AB 1 1 = f′1α; l’oculaire en donneAB 1 1α ' f1′une image à l’infini vue sous l’angle α ' = . D’où G = = = 5 .f2′α f2′5) La position et la grandeur du cercle oculaire peuvent êtredéterminées en utilisant les formules de Newton :FO2⋅ FC ′ = − f′2 1 2 22 2−f2′22FO 2 1−FC ′ = = − = 0, 4 cm .10dCf2 d1f23 26) γ 2 = = ′ ⇒ dC= ′ = × = 0, 6 cm .d1 f1′ f1′107) Voir ci-contre. L’angle d’inclinaison est très exagéré(parce que le dessin est alors plus facile à réaliser), ce quioblige à dessiner un oculaire dont le diamètre d’ouverture estplus grand qu’en réalité.IV. Viseur.1) L’objectif travaille dans la situation de la méthode deSilbermann, formant d’un objet réel qui lui est distant de 2f 1 ’ une image réelle située en F 2 à 2f 1 ’ de lui. L = 2f 1 ’ + f 2 ’ =22 cm.2) AB 1 1 = ABAB 1 1α ′ =f2′α′ 1P = = = 50 dioptries .AB f ′22 22−f2' 23) En utilisant les formules de Newton, FO 2 1. F2 ' C = − f2' , d’où F2' C = = − = 0,2 cm.FO 2 1−204)2 2f2′2 40CA′ = −12,5 cm ⇔ FA 2′ ′ = 0,2 − 12,5 = −12, 3 cm ⇔ FA 2 1 = − = − = cmFA ′ ′ −12, 3 1232 240 1270 f1′ 10 × 123FA 1′ 1 = 10 + = cm ⇔ FA 1 = − = − = −9,685 cm123 123 FA 12701′1Donc, en accommodant, on peut voir net à une distance de l’objectif du viseur comprise entre 19,685 et 20 cm. Laprofondeur de champ est faible, ce qui explique la précision des pointés longitudinaux réalisés avec un viseur.V.1) Sans accommodation, p d p V0= 1 1 1 1 1 144,5 dioptriesp ′ − pd∆= 0, 023 1.En accommodant au maximum, p d p 1 1 1 1 1 1V153,5 dioptriesp ′ − pdδ= 0, 023 0,1.2) Première solution : la lentille accolée à l’œil, de vergence V 2 , donne d’un objet à l’infini une image situé à ladistance ∆ de l’œil, donc f ′ = −∆ = − 1m V = 1/ f ′ = − 1dioptrie ; en accommodant au maximum, on voit2 2 2un objet distant de δ′ dont la lentille donne une image distant de δ , d’où1 1 1 1 1 1p = −δ ′ p ′ = −δ V2= − = − δ 0,111mp p′ = = = .′ δ′ δ V2+ 1/ δ − 1 + 1/0,1Deuxième solution : le cristallin et la lentille équivalent à une lentille unique ; sans accommodation,p = ∞ p′= d V + V = 1/ d V = 1/ d − ( 1/ d + 1/ ∆ ) = −1/ ∆ = − 1dioptrie. En accommodant au0 2 22DS : lentilles, page 8

maximum, on voit à la distance ′ : V1 1 1= − ⇒ δ ′ = 0,111m .δ′ δ ∆δ 1 V21 1+ = + . Or Vd δ ′11 1= + et Vd δ21= − , d’où ∆VI.D 1241) C’est la méthode de Silbermann : f ′ = = = 31 cm .4 4D′2482) La distance focale de l’ensemble est f ′ = = = 62 cm . Comme les vergences de lentilles accolées4 41 1 1 1 1 1 1 1 1−2 1s’ajoutent, = + ⇒ = − = − = = − ⇒ f ′2= −62 cmf′ f′ f′ f′ f′ f′62 31 62 621 2 2 1VII.1) L’objet est pratiquement à l’infini, donc le film est dans le plan focal image, soit à 1/50 m = 50 mm de l’objectif.AB A′ B ′ f ′⋅ AB 0, 05 × 5002) = α = ⇒ AB ′ ′ = = = 0, 0025 m = 2,5 mm . BD f ′D 10000α f ' A'A3) 1 − 1 = V p′= 1 = 0, 05263 m = 5,263 mm .p ′ p V + 1/ pD B'AB ′ ′ p′5, 2634) = AB ′ ′ = 0,1 m = 5, 26 mm .AB p15) Le tirage est la différence entre les valeurs de p ′ calculées aux questions 3) et 1) soit 52,63 − 50 = 2,63mm.6) On peut photographier des objets dont la distance à l’objectif est comprise entre l’infini et 1 m.7) Comme deux lentilles accolées équivalent à une lentille dont la vergence est la somme de leurs vergences,1 1 1 120 2 22dioptries max 0,5mp′ − p= V = + = p = 1/ p′ −V= 1/ 0, 05 − 22= p = − .p ′ 0, 058) AB ′ ′ = AB = 0,1 × = 0, 01 m = 10 mm .p 0, 5= 1 10, 333 m1/ p′ −V= 1/ 0, 05263 − 22= = −9) ppmin10) Avec la bonnette, la mise au point doit être plus précise, car l’intervalle de p correspondant au tirage estbeaucoup plus petit : une petite erreur sur l’évaluation de p entraînera une photographie floue.1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 111)V⎛ ⎞V1 1− = pminp⎜+ max p ⎟− ⎜+ = −min p ⎟. Comme − est le même en présence′ ′ ⎝ ⎠ ⎝ max ⎠ pmin pmaxpmin′ pmax′1 1ou en l’absence de la bonnette, qui fait varier V , − est le même en présence ou en l’absence de la bonnette.p p−412) AB = δα = 250 × 3.10 = 0, 075 mm = 75 µ m .min−413) AB = f ′ α = 20 × 3.10 = 0, 006 mm = 6 µ m .maxVIII.1) Eaenvoie un faisceau de rayons parallèles à l’axe; Ebenvoie un faisceau de rayons parallèles entre eux et faisantl’angle θ avec l’axe.2.a) A1et B1sont dans le plan focal image de L1, f 1′ = 7, 5 m derrière cette lentille. AB 1 1 = f′1θ .2.b) On peut appliquer à la seconde lentille :• soit les formules de Descartes :γ 2p′1 1 1 1 1= = 2 − = ⇒− =p p′ p f ′ p′ f ′OA 2 2 = − f2′= 0, 025 m O2 A1= 0, 0125 m• soit les formules de Newton γ 2x′f= − = −f ′ xx = − f /2 = − 0, 025/2 = − 0, 0125 m x′ = − 2f′ = 2 × 0, 025 = 0, 05 m .OA = OF′ + FA ′ = − 0, 025 + 0, 05 = 0, 025 m OA = OF + FA = 0, 025 − 0, 0125 = 0, 0125 m .2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 13.a)fAB AB AB= = × = 2 = 15m .′ 2 2 2 2 1 1f1θ AB′1 1 θDS : lentilles, page 9

3.b) AA 1 2 = AO 1 2 + O2A2 = − 0, 0125 + 0, 025 = 0, 0125 m .3.c)Pour obtenir une image de même taille avec une seule lentille de distance focale f 1′ , il faut que f 1′ = f ′ = 15 m .La présence de L 2 réduit la taille du dispositif de 15 à 7,5 m. Par contre, elle réduit aussi le champ transversal, limité àla largeur de L 2 .−6 −7 −74) θ min = AB 2 2 / f′= 9.10 /15 = 6.10 rad = 6.10 × 180 × 60 × 60/ π = 0,124 seconde .−7 2 2 −4 −4θ max = 6.10 × 768 + 512 = 5,54.10 rad = 5,54.10 × 180 × 60/ π = 1,9 minute .IX.1) Voir ci-contre.2)AB 1 1 AB 1 1 α′δα ′ = α = G2= =f2′ δα f2′δ 25f2′ = = = 2, 5 cmG 103)2AB FA ′ ∆ 16γ = = ′ = = = 0, 4 cm .′ γ 401 1 1 11 f1AB f11BAF12 14) 1 − 1 = 1 ⇒ p = 1 = 1 = −0, 41 cm : O1A = 0,41cm.p′ p f ′ 1 1 1 1−−p′ f ′ 16 + 0, 4 0, 42 −2, 55) FA 2′ ′. FA 2 1 = − ( f2′) FA 2 1 = = 0,25cm−25( f ) 2 21′0, 4FA 1′ 1 = 16 + 0,25 = 16,25 cm F1A= − = − = 0, 009846 cmFA ′ 16,25221 10, 4au lieu de F 1 A = − = 0,01cm , d’où la latitude de mise au point due à la capacité de l’œil d’accommoder160, 01 − 0, 009846 = 0, 000154 cm = 1,54 µ m .La mise au point n’est pas facile, car l’on ne voit net dans le microscope que pour une position très précise del’objectif par rapport à l’objet.Si on regarde un milieu transparent, on ne voit net qu’une très mince tranche de ce milieu, d’épaisseur de l’ordre dumicromètre.α′ α′AB 1 16) G = = × = G 2 γ 1 = 10 × 40 = 400 .AB / δ A B / δ ABX.1 1F 1′FB 1= A7) u = arcsin( 0,65 ) = 40,5°. Les conditions de Gauss ne sont pas vérifiées avec une seule lentille.D = 2O Atanu= 2 × 0, 41× tan( 40,5° ) = 0,7 cm .12 2( f2′) 2, 58) FC 2′ = − = − = 0, 38 cmFO ( )2 1− 16 + 0, 4O2C= 2, 88 cm .d FC 2′ 0, 7 × 0, 38= ⇒ d = = 0,106 cm .D f2′2, 5L’œil, s’il est placé sur le cercle oculaire, recueille toute la lumière : on voit tout ce qu’on peut voir.1° Objectif simple.a. La pellicule doit être dans le plan focal image de L, 50 mm derrière L.OAB ′ ′ = f′α .α20Pour l’immeuble considéré, α = = 0, 02 rad ; AB ′ ′ = 1 mm .1000250b. Comme FAF . ′ A′ = − f ′ , t est compris entre 0 et = 2, 94 mm900 − 50c.2D /2F 2′A’B’d /2f ′ p′DS : lentilles, page 10

d p′ − f′=D p′⎛ f ′ ⎞d = D1 − ⎜ ⎝ p′⎠⎟1 1 1= +p′ f′pDf ′d = − < ap2 2Df ′ f ′ 50− p > = = = 6250 mm = 6,25 ma na 16 × 0, 025La netteté est acceptable, compte tenu du grain de la pellicule, si l’objet est situé à une distance de l’objectifsupérieure à 6,25 m.d.AB ′ ′ f OFγ = = − = −AB x FAAB. f ′a.FAAB ′ ′ = > a ⇔ AB>FAf ′Cette limite de résolution est la plus faible quand FA est minimum soit pour AF = 0, 85 m .0, 025 × 850Alors, AB > = 0, 425 mm502° Téléobjectif.a. L 1 donne d’un objet à l’infini une image intermédiaire FB′1 1. L2 en donne une image FB ′ ′. La formule deconjugaison de L2 donne :1 1 1 1 1− = ⇒ OF 2′ = = = 60 mm ⇒ OF 1′ = 95 mmOF1 1 1 12′ OF′ f2 1 2′+ −f 50 35 20OF′′ −22 1b. L’image intermédiaire mesure FB ′ = fα ′ .1 1 12La formule de grandissement de L 2 donne γ OF′602 = = = 450 − 35, d’où A’B’= 4fOF′1 ′ α .2 1La taille de l’immeuble est de 4 mm.c. Il faut une lentille de distance focale f ′ telle que f′ α = 4f ′ α ⇒ f′= 4f′ = 200 mm.1 1Le téléobjectif a pour longueur 35 + 60 = 95 mm, alors qu’un objectif simple de même performance a pour longueur200 mm. Il est moins encombrant, tant en longueur qu’en largeur et en poids.3° Aberration chromatique.1 1 1a. V = = +f ′ f ′ f ′1 2b. Posons R2 = S2C2 , positif si la face arrière est concave et négatif si elle est convexe.1 2 ⎛ 1 1 ⎞= ( n1 −1) −( n2− 1)+ f ′R ⎜1 R1R ⎟qui, si l’on exprime l’indice en fonction de la longueur d’onde, est de la⎝ 2 ⎠b1forme a + . La lentille est achromatique si b = 0 et a = , soit :λ2f ′2 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 2B1b = B1 − B20R ⎜+ = ⇒ + =1⎜⎝R 1 R2 ⎠ ⎟ R1 R2B2R1DS : lentilles, page 11

1 2 ⎛ 1 1 ⎞ 2 2B1a = = ( C1 −1) −( C2 − 1) + = ( C1 −1) −( C2−1)f ′ R1 ⎝ ⎜ R1 R2 ⎠⎟R1B2R1⎡ B1⎤ ⎡ 4, 5 ⎤R1 = 2f′( C1 −1) −( C2− 1)= 2 × 5 × 0,515 − 0,652 × = 1,185 cm⎢⎣B2⎥⎦⎢⎣ 7, 4 ⎥⎦R11, 185R2= = = 5, 48 cm2B12×4,5− 1 − 1B27, 4La lentille L 2 est donc biconcave. La petitesse de implique que cet achromat ne peut travailler que dans desconditions de faible ouverture.R 1DS : lentilles, page 12