Problèmes de courant continu

I. Capteur résistif de température.Problèmes de courant continuVariation de la résistance d’une thermistance en fonction de la température.La résistance R d’une thermistance, formée d’un matériau semi-conducteur, varie avec la température absolue T⎛suivant la loi R R0exp B B ⎞= ⎜ − ⎜⎝TT ⎠⎟où B, R 0 = 12000 Ω et T 0 = 298 K sont des constantes.01) Que représente la constante R 0 ?1 dR2) Exprimer le coefficient de température α = en fonction de B et T.RdT3) Calculer B sachant que α (T = 298 K) = – 4,135.10 –2 K –1 .4) Calculer R aux températures 0 °C et 100 °C.1 d−5−5) Le coefficient de dilatation linéaire du semi-conducteur est λ = = 10 K1 . Comparer les variations de dTrésistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part et aux variations de dimensions d'autrepart. Conclure.Pour mesurer une température, on utilise un capteur résistif. On mesure un signal électrique, en général unetension, qui traduit les variations de la résistance avec la température. Un montage, alimenté par une source de tensioncomprend la résistance à mesurer et d'autres résistances constantes. Le circuit de mesure ainsi constitué est appeléconditionneur du thermomètre.Montage potentiométrique.Celui-ci est représenté sur la figure ci-contre. Le générateur a pour fem eet pour résistance interne r ; le voltmètre de résistance interne R d mesure lar R 1 – rtension v 1 aux bornes de la résistance thermométrique R qui dépend de T .6) Exprimer ve1 en fonction de R1, R, R d , et e.R v 1 R d7) Comment doit-on choisir R d pour que la tension v 1 ne dépende pastrop du voltmètre utilisé ? Quelle est alors l’expression de v 1 ? On supposecette condition désormais réalisée.sourcevoltmètre8) À T = T 0 , la résistance thermométrique R a pour valeur R 0 et la tension de mesure la valeur v 1 . Ces conditionsdéfinissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ∆R, v1varie de ∆v1. Exprimer ∆v1en fonctionde ∆R, Ro, R1 et e, en se limitant au cas où ∆R R 0.9)∆v1On définit la sensibilité du conditionneur par S = . Pour quelle valeur de R 1 , cette sensibilité est-elle∆ Rmaximale au voisinage de T = T 0 ? Calculer cette sensibilité maximale.Application numérique. Sachant que e = 10,0 V, R 0 = 109,8 Ω, r = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation∆ v 1 de 0,01 volt, calculer la valeur de R 1 – r qui donne la sensibilité maximale et la valeur ∆R que l'on peut alors toutjuste déceler.10) Alors que le conditionneur a sa sensibilité maximale, la fem e du générateur fluctue entre e – ∆e et e + ∆e.Calculer la variation de v 1 correspondant à une variation ∆e de e. Comparer l'influence de ∆R et de ∆e. Quel est leniveau tolérable de fluctuations de la fem de la source dans ce dispositif ?Pont de Wheatstone.eLe voltmètre V, de résistance interne R d très supérieure aux autres résistances,mesure la d.d.p. v 2 = v B – v A . La résistance interne de la source est négligeable(figure 2).11) Exprimer v 2 en fonction de e et des résistancesA12) L'équilibre du pont (v 2 = 0) est réalisé pour R = R 0 , T = T 0 . Quelle relationlie alors R 2 , R 3 , R 4 , et Ro ?13) Calculer v 2 en fonction de R, R 2 , R 0 et e.R(T)15) Comparer la sensibilité du pont de Wheatstone et du montagepotentiométrique dans les deux cas :R 3 R 414) On suppose ∆R = R – R 0

16) La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations ∆e de e (|∆e|

III 17 .Une locomotive électrique est alimentée en courant continu.L'alimentation est réalisée par des sous-stations S i distantes de L. Cessous-stations relient les rails FG, portés au potentiel nul, à la caténaire AB,c’est-à-dire à un fil électrique situé au dessus de la locomotive sur lequelvient frotter son pantographe. Chaque source S i sera représentée par unesource de tension de force électromotrice E, la borne positive étant du côtéde la caténaire.La motrice M est branchée entre les rails et le contact C entre lepantographe et la caténaire. On supposera que son moteur doit êtrealimenté par un courant constant I. La motrice peut donc être schématiséepar une source de courant de courant électromoteur I = 800 A. De plus lacaténaire présente une résistance linéique (rapport de la résistance à lalongueur) de valeur r = 5.10 –5 Ω.m –1 , alors que la résistance des rails estnégligeable.1) On considère une section de ligne de longueur L alimentée par deuxsous-stations. On note x = AC la longueur de caténaire séparant la motricede la sous-station S 1 et U la tension aux bornes de la motrice.Exprimer la chute de tension ∆U = E – U en fonction de E, r, x, L et I.Déterminer la limitation sur la distance L entre les deux sous-stations pourque ∆U ne dépasse pas ∆U M = 45 V.2) Une section de longueur L est maintenant alimentée par une seulestation S située à son extrémité. La caténaire est constituée de deux filsidentiques AB et A'B' de longueurs L et de résistances linéiques r, reliés àleurs extrémités. Le pantographe n’est en contact qu’avec un des deux fils..Exprimer de nouveau ∆U = E – U en fonction des données et calculer lavaleur maximale de la distance L pour limiter la chute de tension à ∆U M =45 V.3) On revient à un système de deux stations S 1 et S 2 , mais avec une caténaire à deux fils connectés par leursextrémités et leur milieu. Le pantographe n’est en contact qu’avec un des deux fils.Exprimer ∆U = E – U en fonction des données et calculer, comme précédemment, la valeur maximale de L.4) Conclusion : quel est le montage le plus avantageux ?5) Comment traiter la configuration de la première question si la résistance des rails n’est pas négligeable ?RéponsesI ; 1) valeur de R à ; 2) α = −B/T ; 3) 3672 K ; 4) 0 C 37 089 ; R 100 ° C = 1007 Ω ;T 02B = R ( ° ) = Ω ( )5) la variation de la résistance est due essentiellement à la variation de la résistivité ;eeR6) v1= ; 7) R1 + R1( 1/ R +d R ; v11/ R d )R R∆v1 eR1S = ≈+ 21 ∆ R ( R + R1); 9) R1 = R0;SMe∆v1= ; R1 − r = 89, 8 Ω ; ∆ R = = 0, 44 Ω ; 10) à sensibilité est maximale, v1 = e/2, donc4R0SM∆ v1 = ∆e/2; ∆ e doit être inférieur à 0,02 V ; 11) ⎛ 1 1 ⎞2 = ( B) − v( A)= e⎜− ⎜⎝ 1 + R / R( T ) 1 + R / R⎟⎠2 4 3R2R= 4 ; 13)R0 Rv ⎛ 1 1 ⎞2 = e ⎜− 3⎜⎝ 1 + R2/ R 1 + R2/ R0 ⎠⎟; 14) R2 = R0; e∆R∆eS M = ; 16) ∆ v2= .4R0R0 4II. 1) K = ( c + 1) −2 σ( c − 1) = 2,05 ∆ R = RKK F = 0,07Ω; 2.a)1 2UAC= E −⎢ R 1 + R 4 R 2 + R 31 1 1⎡ R R ⎤E∆R1 −4; 2.b) ∆ U AC = = 1, 4.10 V ; 3.a)⎣⎥⎦4RE(∆ R1 + ∆R3 −∆R4−∆R∆ U AC =2) ; 3.b) coller J1 et J 3 du coté où la poutre est en4R−4extension et J 2 et J 4 du coté où la poutre est en compression ; 3.c) ∆ = 5, 7.10 V ;4) R1 − R2 r/2 = 3 Ω ; R3 −R 4 − r/2 = −3Ω.U ACEEEAFIES 1 S 2MxS 1MxxCLQuestion 1LIQuestion 2LIES 1 S 2MQuestion 3J 1J 3J 2J 4rIx ( L − x ) 4∆U III. 1) ∆ U =;Mx( 2L − x)rIL < = 4500 m ; 2) ∆ U = ; L < 2250 m ; 3)LrI2L( 2L− 3x)xrI 6∆U ∆ U = ; L < M= 6750 m ; 4) la configuration 1 est préférable ; 5) considérer r = r + r .2LrI1 2BG

CorrigésI.1) R0représente la valeur de R à T = T0.B B2) ln R = ln R0+ T− T; en dérivant cette relation par rapport à T : α = 1 dR B0RdT= − T2 .2 −2 23) B = −α T = 4,135 × 10 × 298 = 3672 K .⎛3 672 3 672 ⎞4) R( 0 C)12 000 exp ⎛3672 3672⎞ ° = − ⎜= 37 089 Ω273 298; R⎜⎝⎠⎟( 100 ° C)= 12 000 exp ⎜− = 1007 Ω373 298.⎜⎝⎠⎟L d ln R dln ρ d ln L dlnS5) R = ρ ; d'où : = + − .S dT dT dT dTd lnS dlnLd ln ρSi la dilatation est isotrope, = 2 = 2λ , soit α = −λ.dT dTdTComme 4.10 −25α≈− et λ = 10 − , la variation de la résistance est due essentiellement à la variation de la résistivité,la variation des dimensions produisant un effet négligeable.6) C'est un montage diviseur de tension : le même courant parcourt r + ( R1− r)et R Rd. D'où :ev1ee= , soit v1= =.R1 + R Rd R RdR1⎛ 1 1 ⎞1 + 1 + R1+ R R ⎜d⎜⎝R R⎟d ⎠e eR7) v1ne dépend pas de Rdsi Rd R , ce qui est assez facilement réalisé. Alors v1= = .R1 R + R1 +1Rdv1 eR18) En dérivant la relation précédente, on obtient =.dR2( R + R1)∆v1 eR1En assimilant les petites variations à des différentielles : S = ≈.∆ R2( R + R1)e2S =est maximum quand R0 / R1+ R 1 est minimum ; or il s'agit de la somme de deuxR / R + 2R + R9)20 1 0 12nombres de produit déterminé R0; cette somme est minimum quand les deux termes sont égaux, soit quand R1 = R0.eLa sensibilité maximale est alors SM= .4R0AN : R1 − r = 89, 8 Ω ; S M = 0, 0229 V/ Ω .∆v1 0, 01On détecte tout juste ∆ R = = = 0, 44 Ω .SM0, 0229R∆e10) Dans des conditions quelconques, ∆ v1= . Si la sensibilité est maximale, vR +1 = e/2, donc ∆ v1 = ∆e/2.R1∆ e doit être inférieur à 0,02 V pour que ∆v 1 n'excède pas 0,01 V et n'influence pas la mesure. Il faut donc une tensiond'alimentation très stable pour faire des mesures valables.11) Les branches RT ( ),R2d'une part, R3,R4d'autre part, sont des diviseurs de tension :v( C ) − v( A)e e= ⇒ v( C ) − v( A)=;RT ( ) RT ( ) + R2 R21 +RT ( )v( C ) − v( B)e e= ⇒ v( C ) − v( B)= .R3 R3 + R4R41 +R3⎛ 1 1 ⎞En retranchant membre à membre, il vient : v2= v( B) − v( A)= e−R2 R.41 1⎜+ + ⎝ RT ( ) R⎟3 ⎠R2 R412) v 2 est nul si = .R0 R3⎛ 1 1 ⎞13) v2= e− R2 R21 1⎜+ + ⎝ R R ⎠⎟0

dv2 eR214) En dérivant la relation précédente, on obtient S = =qui est semblable à la relation trouvée dansdR2( R + R2)ela question 8. La sensibilité est donc maximale pour R2= R 0 et vaut alors4R .015) Avec un seul calibre, les deux méthodes ont même sensibilité. Si des calibres nettement inférieurs à e sontdisponibles, le pont de Wheastone permet de les utiliser, car à l'équilibre v 2 est nul ; le capteur est alors plus sensiblemonté sur un pont de Wheatstone que sur un montage potentiométrique.e( R − R0)R2∆R∆e16) De la relation de 13), on déduit v 2 =, d'où ∆ v2= . L'influence des fluctuations de( R + R0)( R0 + R2)R0 4e est beaucoup plus faible que dans le cas du montage potentiométrique si ∆ R est petit.II. Pont de Wheatstone.u vdu − udv⎛ x ⎞ ( x + y) dx − x ( dx + dy)y dx − x dy0. En utilisant d ( ) = , on obtient : d2.2 2v v⎜= =⎜⎝x + y⎠⎟( x + y) ( x + y)dR1dρdl ds dV dl ds dl ds dl ds1. = d(ln R ) = d(ln ρ + lnl − ln s)= + − = c + − = c1R ρ l s V l s( + ) + −l s l s1dR1dl ds dl= ( c + 1) + ( c − 1) = [( c + 1) −2 σ( c −1)]R l sl1dV dl dsComme V = l s,= + et K = ( c + 1) −2 σ( c − 1) = 2,13 − 2× 0,3 × 0,13 = 2,05V l s−5∆ R = RKK F = 350× 2,05× 10 × 10 = 0,07Ω1 1 12. a. Supposons V( N ) = 0 ; alors V( P ) = E. Appliquons lethéorème de Millman aux points A et C :EER ER R ER4 1 32VA ( ) = = VC ( ) = =1 1 R + R 1 1 R + R+ 1 4 +2 3R R R R1 4 2 3⎡ R R ⎤1 2U = E −AC⎢⎣R +1 R4 R +2 R ⎥3 ⎦2.b. La relation du préliminaire montre queRdR4 1 E∆ R1 2×0,1−4dU = E ∆ U = = = 1, 4.10 VAC2AC( R + R ) 4R4 × 3501 4.3.a. En utilisant la relation du préliminaire,Figure 2⎡R dR −R dR R dR −R dR4 1 1 4 3 2 2 3⎤dU = EAC2−⎢2( R R ) ( R R ) ⎥⎣+ +1 4 2 3 ⎦E( ∆ R + ∆R −∆R −∆R)1 3 4 2∆ U =AC4R3.b. Il faut coller J 1 et J 3 du coté où la poutre est en extension et J 2 et J 4 du coté où la poutreest en compression.−43.c. La tension est le quadruple de celle de la question 2.b : ∆ = 5, 7.10 V .J 3J 1J 4J 2R R R R1 4 2 44. Les deux équilibres impliquent = =R R R R + r2 3 1 32⎛R⎞ R + r1 3Le quotient membre à membre donne : ⎜ ⎟ = qui montre que R ≠ R ;⎝R ⎟1 2R2⎠3R 1 2= 1+ r 1+ r R1 − RrR r2 = = 3 ΩR2 R3 2R3 2R324 1On en tireR = R 1+ r Rr3 −R4 − = −3ΩR R 2R2III.3 2 3U AC

1)∆ U = xri = ( L − x ) ri1 21 1 L∆U( )( )i 1 i 2∆UI = i1 + i2= + =EIr x L −x rx L −xrIx ( L − x )∆ U =Ld∆U rI ( L −2x)L= > 0 si x