Exercices de dynamique, sans énergie

Exercices de dynamique du point n’utilisant pas l’énergie
I 70 .
On étudie le mouvement vertical de billes de masse m , de rayon R , de volume V et de masse volumique
µ= 2300kg.m −3 dans un liquide de masse volumique µ 0 et de viscosité η . Ce liquide exerce sur chaque bille deux
forces, la poussée d’Archimède, égale à l’opposé du poids du liquide déplacé par la bille, et une force de frottement
visqueux F = −πηR 6 v , où v désigne la vitesse de la bille et g la pesanteur.
f
1) Ecrire l’équation différentielle régissant la vitesse v d’une bille fonction du temps t .
2) A l’instant 0, la vitesse de la bille est nulle. Déterminer la relation entre v et t .
3) Montrer qu’il existe une vitesse limite et exprimer cette vitesse limite v l .
4) En admettant l’existence de cette vitesse limite, retrouver plus simplement son expression.
5) Quel est le temps caractéristique de l’évolution de la vitesse
6) Quelles sont les billes qui atteignent le plus vite leur vitesse limite, les grosses ou les petites
7) Quelles sont les billes dont la vitesse limite est la plus grande, les grosses ou les petites
8) La vitesse limite étant atteinte, on mesure le temps de parcours d’une distance L . Pour la même bille, on trouve
−3
t = 35 s dans l’eau, pour laquelle η = 10 SI et µ 0 = 1000kg.m −3 , et t ′ = 70 s dans l’iodoéthane, pour lequel
µ 0′
= 998 kg.m −3 . Calculer la viscosité η′
de l’iodoéthane.
II 38 . Anneau coulissant sur une corde.
Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.
On appelle g l’accélération de la pesanteur.
1) Soit une droite (D) qui fait un angle β avec le
plan horizontal. Soit un point C situé dans le plan
vertical passant par (D), au dessus de (D) et à une
distance h de (D) ; on a CH = h . La droite (D) et le
point C sont fixes par rapport à la Terre. On tend une
corde entre le point C et un point E de la droite (D)
repéré par l’angle γ (angle entre la verticale
descendante passant par le point C et la corde CE . Un
anneau M, assimilé à un point matériel, de masse m ,
peut coulisser sans frottement le long de cette corde CE.
On lâche l'anneau sans vitesse initiale au point C.
Déterminer le temps mis par l'anneau pour parcourir la
distance CE.
2) En déduire la valeur de l'angle γ pour laquelle
cette durée est minimale.
III 17 .
Un tube mince AB est inscrit sur un cylindre de rayon R et d’axe vertical. Par rapport à cet axe,
son équation est en coordonnées cylindriques : r = R ; z = R(
2π−θ)
; il va de A ( θ = 0 ) à B
( θ = 2π
).
A l’instant 0, on lâche en A un mobile qui coulisse sans frottement dans le tube.
1) Quelles sont les coordonnées cylindriques d’un petit déplacement dr
du mobile le long du
tube
2) En déduire la longueur ds de ce petit élément
3) Quel angle α fait la tangente au tube avec l’horizontale β avec la verticale
4) Quelle est la longueur L du tube
5) En projetant l’expression de la loi fondamentale de la dynamique, calculer la composante
tangentielle de l’accélération. Exprimer θ et l’abscisse curviligne s en fonction du temps t .
6) Quelle est la durée T du trajet AB
7) Exprimer les coordonnées cylindriques de la réaction R′ du tube sur le mobile.
IV 12 .
Un mobile assimilable à un point matériel pesant de masse m est attaché par deux fils de même longueur à deux
points O1 et O 2 situés sur une même verticale. Ce point est lancé de façon à décrire un mouvement circulaire d’axe O 1 O 2
dans un plan horizontal, avec la vitesse angulaire ω . Les fils se rompent si leur tension est supérieure à une limite assez
OO
1 2
élevée Trup
. On pose α = arccos . 2
Exercices de dynamique, sans énergie, page 1
a T
A
B
R

1) Le fil inférieur n’est pas tendu. Quelle est la relation entre l’inclinaison θ du fil supérieur sur la verticale et ω
Dans quel intervalle doit se situer ω
2) Le fil inférieur est tendu. Exprimer les tensions des deux fils. Dans quel intervalle doit se situer ω
3) Un fil se rompt. Lequel Que peut-on dire de ω
Réponses
dv
I. 1) m mg 0Vg 6 R
dt = − µ − πη v ; 2) m mg − µ 0Vg −6πηRv
t = − ln
ou
6 πη R mg − µ Vg
πη
( 1 exp( ))
mg − µ
v = 0Vg − −
6 Rt
6πηR
m
m 2µ
R
5) τ = =
6πηR
9η
2
; 3) v
l
mg − µ 0Vg 2 ( µ − µ 0 ) gR
= =
6πηR
9 η
−3
; 6) les petites ; 7) les grosses ; 8) η ′ = 2.10 SI .
2h
II. 1) t =
g cos γcos( β − γ )
; 2) γ = β .
2
III. 1) dr = Rdθu − Rdθ u ; 2) ds = 2Rdθ ; 3) α = β = 45°
; 4) L = 2π 2R
;
θ
2
z
2
0
2
; 4) somme des forces nulle ;
g gt
gt
mg t
mg
5) aT
= ⇒ s = ; θ = ; 6) T = 8 πR/
g ; 7) Rr′ = − R′ = mg/2
Rz′
=
2 2 2 4R
4R
2
g
g
IV. 1) cos θ = ; ω < ; 2) m 2
ω
2 cos α
( g 2
1 ) m g
T = ω + T2
=
2 cos 2
( ω −
α
cosα)
;
g
1 ⎛2T rup g ⎞
< ω < − cos
α
⎜⎝
m cos α⎠ ⎟
; 3) le fil supérieur se rompt si 1 ⎛2T
rup g ⎞
ω > − ⎜⎝ m cos α ⎠⎟
.
2 2
θ .
Exercices de dynamique, sans énergie, page 2

Corrigé
I.
dv
1) m mg 0Vg 6 R
dt =
− µ
− πη v
dv
. En projetant sur un axe orienté vers le bas, m mg 0Vg 6 R
dt = − µ − πη v .
2) Cette équation différentielle se résout,
• soit comme une équation différentielle à variable séparable :
t
v mdv m v m mg − µ 0Vg −6πηRv
t = ∫ dt = ∫
= − [ ln( mg −µ 0Vg −6πη Rv)
]
0
= − ln
mg − µ Vg −6πηRv 6πηR 6πηR mg −µ Vg
0 0 0 0
dv
• soit comme une équation différentielle linéaire m + 6πη Rv = mg − µ 0Vg :
dt
6πηRt mg − µ 0Vg
v = Aexp( − ) +
m 6πηR
mg − µ 0Vg 6πηRt
v( t = 0) = 0 ⇒ v = ( 1− exp
6 R
( −
πη
m ))
mg − µ 0Vg
3) Si t →∞,
v → vl
=
.
6πηR
4) La vitesse limite correspond au cas où la somme des forces est nulle.
5) En considérant que l’exponentielle est en exp ( −t
/ τ ) , le temps caractéristique de l’évolution est τ = m
6 πη R
.
3
2
R
6) Comme la masse est proportionnelle à , ce temps caractéristique est proportionnel à R ; ce sont donc les
petites billes qui atteignent le plus vite leur vitesse limite.
3
2
7) Comme la masse et le volume sont proportionnels à R , la vitesse limite est proportionnelle à R ; ce sont les
grosses billes qui ont la vitesse limite la plus grande.
L 6πηRL
8) t = =
. Comme la masse volumique µ est approximativement la même pour l’eau et
v mg − µ Vg 0
l’iodoéthane,
II.
l
0
t t ′
3
= ⇒η ′ = 2.10 − SI .
η η′
1) Soit R la réaction de la corde sur le mobile et a l’accélération. La loi fondamentale de la dynamique s’écrit
R + mg = ma . En projetant cette relation sur la corde, on obtient ma = mg cos γ ⇒ a = g cos γ
h
1
2
2h
Le triangle CHE est rectangle en H, donc CE = =
2
g cos γ t ⇒ t =
cos( β − γ) g cos γcos( β − γ)
2) t est minimum si cos γcos( β − γ)
est maximum.
1
Première démonstration : or cosacos b = (cos( a + b) + cos( a − b))
1
Donc cos γcos( β − γ) = (cos β + cos(2 γ − β))
qui est maximum pour
cos(2 γ − β) = 1 ⇒ 2γ − β = 0 ⇒ γ =
2
2
β
2
Deuxième démonstration : cherchons le maximum de la fonction f ( γ) = cosγcos( β − γ ) en étudiant le signe de sa
dérivée :
f '( γ) = −sin γcos( β − γ) + cos γsin( β − γ) > 0
β
si sinγcos( β − γ) < cosγsin( β − γ) ⇔ tanγ < tan( β − γ)
⇔ γ < β − γ ⇔ γ <
2
β
Donc f ( γ ) est maximum pour γ = .
2
III.
2 2 2 2 2
1) dr = dr ur + rdθuθ
+ dz uz = Rdθuθ
− Rdθuz
. 2) ds = dr + r dθ
+ dz ⇒ ds = 2Rd
θ.
dz
3) Le tube fait avec l’horizontale l’angle α tel que tan α = = 1 ⇒ α = 45°
et avec la verticale l’angle β
rdθ
dz 1
tel que cos β = = ⇒ β = 45°
. Autre justification : α + β = 90°
.
ds 2
Exercices de dynamique, sans énergie, page 3

2
∫ ∫ π θ π
4) L = d s = 2Rd = 2 2R.
0
5) D’après la loi fondamentale de la dynamique, mg + R′
= ma , soit en projetant sur la tangente à la trajectoire
2 2
g d s gt s gt
mg cos β = maT
aT
= = ⇒ s = . θ = = .
2
2 dt 2 2 R 2 4R
6) θ = 2π ⇒ T = 8π R/g .
7) mg + R′
= ma . Les composantes horizontales de l’accélération s’expriment comme pour un mouvement
circulaire ; la composante verticale se calcule comme en coordonnées cartésiennes :
2 2
⎛
2
2 d ⎛gt ⎞⎞
2
mg t
Rr′ = mar
= − mRθ
= − mR = −
⎜
⎝ dt ⎜⎝4 R ⎠⎠
⎟⎟ 4 R
R′ = ma = mRθ
= mg/2
θ
θ
2 2
d ⎛ ⎛ gt ⎞⎞
Rz
mg maz
mg m R
2
mg
′ = + = +
2
π − =
dt
⎜⎝ ⎜⎝ 4R
⎠⎠
⎟⎟ 2
IV.
1) Le mobile M décrit un cercle horizontal de rayon r = sin θ . Projetons la loi fondamentale de la
dynamique T + mg
= ma sur la direction perpendiculaire au fil et située dans le plan contenant l’axe
2
g
et le point M : mg sin θ = ma cos θ a = ω r ⇒ cos θ = .
ω
Le fil inférieur n’est pas tendu si OM g
2 < ⇒θ< α cos θ > cos α ω <
cos α
.
Remarque : si ω < g / , θ = 0 .
2) T 1 + T 2 + mg = ma , soit en projection sur l’horizontale ( )
2
T1 + T2 sin α = mω sin α
m 2 g m 2 g
et sur la verticale ( T2 −T1) cos α + mg = 0 . T1 = ( ω + ) T 2 =
2 cos 2
( ω −
α
cosα)
.
g
1 ⎛2T rup g ⎞
La condition pour que T 1 < Trup et T 2 > 0 est < ω < − cos
α ⎝ ⎜ m cos α⎠⎟
.
1 ⎛2T
rup g ⎞
3) C’est le fil supérieur, dont la tension est la plus grande, qui se rompt, à condition que ω > − .
⎜⎝ m cos α ⎠⎟
2
2
α
a
O 1
θ
T
2
T 1
T
a mg
mg
m
m
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