droites parallèles

Parallélisme
Au CE2, les deux premières significations du parallélisme présentées – « droites
penchées pareil par rapport à une direction donnée » (situation « Les feuilles qui
coulissent ») et « côtés opposés d'une forme familière » (situation « Trapèze à
terminer ») – peuvent être abordées indépendamment de l'approche de la
perpendicularité.
La signification du parallélisme « droites d'écart constant » (situation « Sur la trace des
roues ») abordée au CM1 suppose un travail préalable sur l'angle droit. La reconstitution
d'un réseau de droites parallèles à une droite, traitée dans la situation « Parapuzzle »,
permet une synthèse sur les différentes significations du parallélisme et sur les
techniques de tracés rencontrées.
Les procédures visées évoluent donc du tracé de parallèle par glissement de la règle ou
report de traits intermédiaires vers la mesure d'un écart selon une direction
perpendiculaire à une droite. Le recours à la double perpendicularité pourra être
appréhendé au CM2 notamment dans le module sur les situations de synthèse.
1. les feuilles qui coulissent (CE2)
• Description rapide
La première conception du parallélisme que nous voulons développer est celle de
« droites penchées pareil par rapport à une direction donnée ». Nous nous intéressons
donc à des familles de droites obtenues à partir de l'une d'entre elles par des translations
(« glissement sans tourner »).
Dans la situation « Les feuilles qui coulissent », nous proposons à l'élève de construire
une droite parallèle à une droite donnée sans disposer du vocabulaire correspondant, la
relation étant prise en charge par le contexte retenu. Le problème posé est un problème
spatial. L'élève va le résoudre de manière perceptive, en mobilisant dans ce contexte ses
connaissances en actes sur les droites parallèles pour anticiper le résultat d'un
mouvement de translation.
II s'agit d'une situation d'approche du concept de parallélisme. La connaissance du
vocabulaire du registre géométrique (droites parallèles, angle...) n'est pas un pré-requis.
• Objectifs
– Établir la relation entre une action (le glissement sans tourner d'un trait droit) et le tracé
d'un trait parallèle au trait donné.
– Fabriquer un réseau de droites parallèles (« penchées pareil »).
• Durée
Deux séances d'environ 45 minutes.
• Problème
Construire la parallèle à une droite donnée passant par un point
donné situé « loin » de la droite.
• Procédures
n° 1 : tracé du trait sans mettre en jeu le parallélisme.
n° 2 : tracé de la parallèle au jugé, avec utilisation perceptive du parallélisme.
n° 3 : tracé de la parallèle par glissement de la règle.
n° 4 : tracé de la parallèle avec tracé d'une ou plusieurs parallèles intermédiaires.
n° 5 : tracé de la parallèle en cherchant à utiliser un écart constant entre les deux droites,
cet écart pouvant être pris selon une direction quelconque, parallèle au bord inférieur droit
ou perpendiculaire au trait initial.
n° 6 : construction d'un gabarit par pliage ou transparence pour reporter au niveau du
point l'angle entre ce trait tracé sur la feuille et le bord inférieur droit.
n° 7 : tracé instrumenté d'une perpendiculaire à la droite initiale et de la perpendiculaire à
celle-ci passant par le point donné.

• Variables didactiques
La distance du point donné à la droite donnée constitue la principale variable didactique
de cette situation. Deux valeurs (2,5 cm et 12 cm) seront successivement données à cette
distance. La seconde est choisie de manière à mettre en évidence les limites des
procédures perceptives ou s'appuyant sur le glissement de la règle. Dans la deuxième
phase, nous proposerons de tracer plusieurs parallèles à la droite donnée ; cela favorisera
aussi les procédures 4 et 5.
• Matériel
– La boîte à outils complète.
– Des guides (environ un pour six élèves, voir dessins page suivante) constitués d'une
feuille cartonnée à bords non réguliers (découpée dans un format A3) et d'un calque
scotché à la feuille cartonnée, de forme voisine. Le calque se replie sur la feuille
cartonnée pour constituer une sorte de « feuille double » dans laquelle vont coulisser
les feuilles de travail. Sur le calque, on a tracé un trait penché assez épais; il indique la
direction du réseau de droites parallèles à construire. Il faut éviter les angles de 30°,
45° ou 60° car l'équerre pourrait alors fournir des gabarits, ce qui risquerait d'entraîner
des confusions avec l'usage de l'équerre pour la perpendicularité ! Pour tracer le
calque, on utilisera la fiche 1 de façon à ce que tous les traits en jeu soient bien
« penchés pareil ».
– Trois feuilles de travail pour chaque élève comportant un bord droit, un trait de même
direction que celui du calque par rapport au bord droit avec un point situé à environ
2,5 cm de la droite (fiche 1), avec un point plus loin à environ 12 cm de la droite (fiche 2)
ou avec une dizaine de points non alignés et non équidistants (fiche 3).
– Un quart de la feuille présentant un réseau de droites parallèles (fiche 4) à coller dans
le cahier pour chaque élève et une moitié de cette fiche 4 sur un transparent pour
chaque boîte à outils.
– Un guide et deux feuilles de travail de format plus important pour afficher au tableau au
moment de la présentation de la situation.
Exemple de dispositif
feuille cartonnée (dos du guide)
calque (face du guide)
guide
feuille de travail

DÉROULEMENT
Première phase
Tracer une droite parallèle à une droite donnée
Etape 1 : le point est situé à environ 2,5 cm du trait
Le maître montre un guide et une feuille de travail (fiche 1)
agrandis qui sont décrits collectivement. Il explique ensuite le
fonctionnement du dispositif : « Cette feuille coulisse dans ce
guide, le bord droit de la feuille bien plaqué contre le bord droit du
guide. » II le fait fonctionner et on constate qu'à un moment
donné, le trait de la feuille est exactement sous le trait du guide :
« Quand ça coulisse, à un moment on ne voit plus qu'un trait !
On continue le mouvement et on constate que c'est ensuite le
Fiche 1
point qui passe sous le trait du guide.
« Vous allez recevoir une feuille comme cette feuille de travail. Vous allez y tracer un trait
qui passe par le point et qui sera caché par le trait du guide quand vous ferez coulisser la
feuille dans le guide. Attention, vous n'aurez pas le guide pour tracer. »
Pour faciliter la compréhension de la consigne et notamment de l'expression « caché
par », il est important que le guide soit plus grand que les feuilles de travail et que le trait
du guide soit assez long.
Les enfants disposent d'une feuille chacun (fiche 1) et tracent individuellement. A cette
étape, en début de cycle 3, il faut s'attendre à beaucoup de procédures sans recours au
parallélisme et donc à beaucoup d'erreurs ; ce sont les procédures par glissement de la
règle ou par tracé de traits parallèles intermédiaires qui sont visées ici.
Etape 2 : mise en commun
Quatre ou cinq productions, correspondant à des réponses variées, sont choisies par le
maître et affichées, le bord droit étant orienté de manière aléatoire par rapport aux bords
du tableau ; on veillera cependant à en dis-poser une ou deux avec le bord droit de la
feuille de travail à l'horizontale.
Exemples de premiers constats obtenus dans une classe de CE2 :
– « Sur le numéro 4, le trait n'est pas penché comme l'autre, il est plus droit » ;
– « Là, ça ne va pas car le trait est trop couché » ;
– « Sur le 2, c'est bon parce que les traits se touchent pas » ;
– « Là, on ne peut pas dire, il faut vérifier avec le guide » ;
– « sur le 3, ça ne va pas, en bas l'écart, il est un peu plus grand qu'en haut » ;
– « Le premier, il est bien, les traits sont bien comme ça », l'élève joignant le geste à la
parole...
Le maître intervient pour demander avant la vérification comment les élèves ont procédé.
Les différents élèves présentent leur façon de faire :
– « J'ai pris la règle, je l'ai posée et j'ai tracé et après je me suis rendue compte que
j'allais trop bas » ;
– « Si on met droit, ça va pas aller, il faut pencher mais pas trop énormément parce que
sinon ça va toucher le rouge, il faut faire comme le rouge, penché », et il montre avec
la main ;
– « J'ai mis la règle contre le trait et j'ai déplacé en coulissant, en glissant ».
Étape 3 : vérification
On vérifie les productions avec le guide. La précision rigoureuse du tracé n'est pas un
objectif. On peut se mettre d'accord sur une tolérance acceptable pour valider.
Le mouvement de la feuille visualisé à travers le guide et le rapprochement progressif du
trait de la feuille vers le trait du guide doivent permettre d'invalider ou de pronostiquer une
validation avant que le trait de la feuille n'atteigne celui du guide. Les échanges dans des
groupes de quatre ou six-autour d'un guide, les pronostics avant vérification complète
devraient faciliter la perception de cette direction « penchée pareil » par rapport au bord

droit du guide ou de la feuille.
Un temps de bilan permet de rapprocher réponses correctes et procédures pertinentes.
Étape 4 : le point est situé à environ 12 cm du trait
On propose une fiche 2 à chacun.
On peut aussi choisir de proposer à nouveau une fiche 1 à certains
de façon à permettre à ceux qui ont tracé leur premier trait sans
aucune référence implicite au parallélisme de s'approprier une des
méthodes exposées.
Pour la fiche 2, la tâche est la même, mais l'éloignement du point
va rendre plus délicat le tracé d'un trait acceptable et invalider les
procédures basées sur un tracé s'appuyant seulement sur la
perception. Pour la validation, on procède comme dans l'étape 3.
Fiche 2
Étape 5 : bilan
Le bilan vise à rejeter le simple jugé et à mettre en évidence le glissement de la règle sans
tourner, même si cette procédure pertinente est difficile à contrôler. Le tracé de droites
intermédiaires ou l'utilisation de gabarits (peu probable dans cette première situation...)
peuvent la rendre plus fiable.
Le recours à l'écart constant peut apparaître soit pour tracer, soit pour juger dans l'étape
2, la règle (ou la ficelle) étant positionnée approximativement selon une direction fixe. La
mesure de cet écart perpendiculairement au trait n'est pas un objectif de cette situation.
L'introduction du terme « parallèle » n'est pas un objectif ; « penchées pareil » permet
souvent de verbaliser ce que l'on voit ou ce que l'on cherche. S'il est formulé par les
élèves, on peut chercher des exemples de droites perçues comme parallèles dans
l'environnement familier des enfants.
Deuxième phase
Fabriquer un réseau de droites « penchées pareil »
Le maître distribue une nouvelle feuille de travail à chaque élève
sur laquelle il a tracé une droite et marqué une dizaine de
points, non alignés et non équidistants (fiche 3).
Il précise la tâche avec les élèves : « Dans les exercices précédents,
vous aviez un trait et un point sur votre feuille de travail. Cette
fois, vous avez toujours un trait mais plusieurs points. Qui peut
Fiche 3
expliquer ce que vous allez devoir faire »
Étape 1 : réalisation individuelle
On attend un réinvestissement des procédures explicitées dans la phase précédente.
Étape 2 : premier tri, validation
Affichage des productions et premier tri basé sur la perception (la production ne convient
pas/la production semble convenir mais il faut vérifier). Rapide échange d'arguments puis
validation effective par le glissement dans le dispositif.
Etape 3 : trace écrite
Le maître affiche les productions validées par le dispositif
puis donne à chaque enfant une partie de l'exemplaire du
réseau fourni en fiche 4 (un quart de feuille par élève). II
peut le présenter comme réalisé avec un dispositif
analogue mais plus précis.
Ce document est collé dans le cahier et on note « feuille de
traits penchés pareils » ou « feuilles de traits parallèles »
selon ce qui a été dit dans la mise en commun.
Un exemplaire du même document mais photocopié sur
transparent est placé dans chaque boîte à outils (la moitié
du transparent A4 par boîte).
Fiche 4

2. Trapèze à terminer (CE2)
• Description rapide
Cette situation aborde une deuxième signification du parallélisme en mobilisant les
connaissances implicites des élèves sur cette relation entre deux côtés opposés d'un
trapèze.
Nous avons choisi d'utiliser un trapèze plutôt qu'un rectangle alors que ce dernier objet est
plus familier pour les élèves. Nous pensons éviter ainsi des confusions entre les relations
de perpendicularité et de parallélisme en ce début d'apprentissage et garder le rectangle
comme référence de l'angle droit (cf. situations « Rectangle à terminer »).
Le trapèze proposé est isocèle (avec une nette différence de longueur entre les deux
côtés parallèles). Nous faisons l'hypothèse que cet objet est suffisamment familier aux
élèves pour leur permettre de résoudre le problème posé au moins de manière perceptive.
La connaissance du vocabulaire du registre géométrique (parallèle, trapèze, côté...) et
celle des instruments de tracés (réseau de droites parallèles, équerre...) ne sont pas des
pré-requis !
• Objectifs
– Identifier le parallélisme de deux des côtés d'une forme familière.
– Percevoir l'insuffisance des procédures au jugé ou utilisant un glissement.
– Introduire le mot « parallèle ».
• Durée
Une séance d'une heure environ.
• Problème
Terminer un trapèze dessiné sur une feuille à bords arrondis comme indiqué ci-dessous.
trapèze de référence trapèze à terminer partie 1, gardée partie 2, feuille
par le maître de travail de l'élève
La feuille sur laquelle est dessiné le trapèze à terminer est découpée en deux parties :
– la partie gardée par le maître comporte un vide correspondant à la feuille de travail de
l'élève ;
– la feuille de travail de l'élève sur laquelle il doit construire le morceau man-quant du
côté à tracer en ne disposant que d'un point du côté à tracer et d'une partie du côté
opposé.
• Variables didactiques
La principale variable didactique utilisée dans cette situation porte sur la position relative
des deux traits (le trait fourni et le trait à tracer). Trois cas seront envisagés, comme
indiqué ci-dessous : les deux traits sont « bien en face », les deux traits sont « légèrement
décalés », les deux traits sont « complètement décalés ».
Nous utilisons aussi une seconde variable didactique : les longueurs du trait fourni et du
trait à tracer. La longueur du trait fourni diminuera au fur et à mesure des étapes alors que
celle du trait à tracer augmentera de façon à accentuer les erreurs dues aux tracés au
jugé sans contrôle du parallélisme.
• Procédures
Pour le dessin du côté à terminer :
– en référence à la forme globale par le tracé d'un trait au jugé ;

– en référence au parallélisme par le tracé d'un trait par glissement contrôlé de la règle ou
par le recours à des traits intermédiaires (en utilisant par exemple les deux bords
parallèles d'une règle) ;
– en mesurant la distance point-trait (distance entre le point et le côté opposé du trapèze)
et en la reportant pour obtenir un autre point, avec contrôle au jugé de la direction pour
le report ou selon une perpendiculaire avec contrôle instrumenté de la direction pour le
report ;
– par tracé instrumenté du parallélisme (avec le réseau de droites parallèles fourni après
la situation « Les feuilles qui coulissent », des gabarits ou la règle et l'équerre).
• Matériel
– Un trapèze de référence (fiche 1) et un exemplaire des fiches 2, 3 et 4 à reproduire sur
des feuilles A3 et à découper suivant des bords non rectilignes pour la classe.
fiche 1 fiche 2 fiche 3 fiche 4
– La boîte à outils pour la géométrie.
– Un crayon à papier et un feutre de couleur assez épais de façon à atténuer les
problèmes de précision lors de la validation.
– Trois trapèzes à terminer, pour chaque équipe de deux
(fiches 2, 3 et 4), reproduits sans agrandissement sur une
feuille A3 dont les bords seront découpés suivant des
lignes courbes ; ces feuilles seront séparées en deux
parties (une partie pour le maître et l'autre pour l'équipe
d'élèves) comme indiqué précédemment.
– Deux exemplaires de la fiche 5 (un par élève).
Sur les fiches 2, 3 et 4, les traits de découpage n'ont pas été
marqués car il est plus facile d'effectuer un découpage
« flou » que de suivre une courbe ! Les points
Fiche 5
incontournables sont indiqués ; le maître devra vérifier que le point fourni est suffisamment
visible.
DÉROULEMENT
Première phase Les deux traits sont bien en face
La situation est décrite avec le mot « trapèze ». La connaissance du terme n'est pas un
préalable à cette situation ; le maître peut aussi employer le mot « forme » par exemple.
Étape 1 : mise en place et communication du problème
Les élèves travaillent par deux. Chaque équipe est désignée par une lettre : A, B, C... Les
trapèzes à terminer (fiche 2), préparés au préalable, sont désignés du nom des équipes A,
B, C... dans l'espace prévu à cet effet sur la fiche.
Le maître montre le trapèze de référence (fiche 1) puis le fixe au tableau dans une position
quelconque, ses bases n'étant pas parallèles aux bords du tableau.
Puis il montre le trapèze de la fiche 2 en disant : « On a commencé à reproduire le trapèze
affiché sur cette feuille. Un côté est déjà dessiné. II reste ce côté à terminer. »
Le maître découpe au vu de tous le trapèze suivant une ligne courbe passant par les
points indiqués puis fixe les deux parties au tableau, en faisant en sorte que les bases ne
soient pas en position horizontale ou verticale. Les autres trapèzes ayant été découpés
auparavant par le maître pour gagner du temps, leurs parties 2 sont présentées aux
élèves puis distribuées : « J'ai fait la même chose pour d'autres trapèzes à terminer. Voici
le dessin à ter-miner de l'équipe A, voici le dessin à terminer de l'équipe B... »
Le maître fixe toutes les parties 1 au tableau dans des positions aléatoires puis amène les
élèves à reformuler le problème.

Étape 2 : recherche
Les élèves peuvent effectuer des essais au crayon mais leur production finale sera tracée
au feutre.
Étape 3 : bilan
Des erreurs sont attendues... notamment quand les tracés sont effectués uniquement au
jugé. Elles peuvent aussi être dues à une utilisation spontanée et mal maîtrisée du
glissement de la règle.
Le maître affiche les productions correspondant aux parties 2 en demandant aux élèves
de repérer les productions qui conviennent. Puis il les passe en revue en demandant à
leurs auteurs de se prononcer sur leur production sous le contrôle de la classe. On ne vise
là que des réponses établies perceptivement du type « c'est bon ! », « c'est pas bon ! »,
« on ne peut pas dire », « c'est presque bon ! »...
Dans cette première phase, la mise en commun sera rapide et conduite en termes de
réussite ou de non-réussite sur les productions. L'explicitation des procédures n'est pas un
objectif de cette phase; elle le sera dans les phases ultérieures qui correspondent à une
reprise du même problème avec d'autres tracés.
Une validation pratique par reconstitution du puzzle suivra ces jugements.
Deuxième phase
Les deux traits sont légèrement décalés
Il s'agit de faire en sorte que les élèves, et notamment ceux qui ont travaillé au jugé,
mobilisent la relation de parallélisme. Le problème est le même que dans la première
phase mais on change de trapèze et les traits sont légèrement décalés (fiche 3).
Le côté fourni à l'élève est plus petit de façon à rendre inefficaces les procédures au jugé
qui nécessitent un support visuel plus important. Le côté à tracer reste long de façon à
amplifier les erreurs dues à l'absence de prise en compte de la relation de parallélisme.
Etapes 1 et 2 : communication du problème, recherche Les étapes 1 et 2 sont identiques à
celles de la première phase.
Étape 3 : bilan
Le maître affiche les parties 2 avec le trait fourni en position horizontale. Il demande à
différents élèves de venir mettre de côté toutes les productions qui ne conviennent pas en
expliquant les raisons de leur choix. La mise en commun reste centrée sur la
détermination « réussi/non réussi ». Cependant, comme il s'agit d'une reprise, le contrôle
de la classe et les désaccords sur les productions litigieuses devraient amener un débat
sur les procédures utilisées. Des désignations de la relation par des gestes devraient
apparaître au cours du débat.
Il est important de maintenir l'exigence de critique des productions avant la validation
pratique avec la partie 1 pour amener l'idée d'un outil auxiliaire ou de tracés intermédiaires
permettant le contrôle du glissement.
Deuxième phase
Les deux traits ne sont plus du tout en face
La conduite de la troisième phase est identique à celle de la deuxième phase. On utilise
cette fois le trapèze de la fiche 4. Le décalage des deux traits devrait permettre de
dépasser la perception du parallélisme sous forme d'une figure prototypique — avec deux
traits de longueurs voisines et disposés bien en face — pour l'approcher comme relation
entre traits de « même direction ».
Comme précédemment, la mise en commun a pour objectif de déterminer les productions
réussies et non réussies avant de passer à la validation pratique. L'explicitation de toutes
les procédures de construction possibles n'est pas un objectif, mais l'explicitation de celles
qui sont utilisées devrait apparaître dans le débat concernant la validation. Ce débat doit
faire ressortir que :
– le côté à tracer ne peut pas être placé au jugé ; c'est une position particulière du côté

(direction) que l'on cherche ;
– la règle glissée avec une grande précaution pour garder la même direction (ou la garder
« penchée pareil ») ou le tracé de traits intermédiaires en utilisant les deux bords de la
règle aide au tracé du bon segment.
La validation effective permet de revenir sur le tri fait par anticipation et pourra
éventuellement permettre de faire le lien entre procédures utilisées et validité de la
production.
II se peut que le maître soit confronté à une procédure utilisant le réseau de droites
parallèles fourni dans la boîte à outils et à des difficultés pour le tracé. On pourra mettre
en évidence le fait qu'avec le réseau sur transparent disposé au-dessus de la feuille de
travail, on va savoir sous quel trait du réseau doit se situer la solution. Le tracé peut
s'effectuer en prenant un point de repère avec le réseau sur l'autre bord de la feuille de
travail et en joignant ce point au point fourni, ou éventuellement par transparence en
glissant le réseau sous la feuille de travail, ou encore en faisant une marque sur la feuille à
travers le réseau à l'aide d'une pointe de compas ! Cependant, il est préférable que les
procédures erronées soient amplement critiquées avant que ce réseau n'apparaisse
comme utile.
Quelle institutionnalisation
À l'aide de productions valides et de productions invalides, la classe peut identifier des
paires de traits solutions.
Si le mot « parallèle » n'est pas encore apparu, il peut être donné à ce moment-là, avec
référence à des réseaux connus de droites parallèles, à des gestes, à la situation « Les
feuilles qui coulissent ». La trace écrite correspond alors à celle envisagée à la fin de cette
dernière situation.
La planche de la fiche 5 est fournie à chaque élève avec pour consigne de colorier en
rouge, sur chaque vignette, les traits parallèles. La mise en commun qui suit a pour
objectif de dépasser les arguments reposant sur la seule perception pour installer une
procédure de validation à l'aide du réseau de traits parallèles. On peut alors découper des
paires de traits parallèles et des paires de traits non parallèles dans la planche de la fiche
5, les coller dans le cahier mémoire et écrire sous les vignettes : « ces deux traits sont
parallèles » ou « ces deux traits ne sont pas parallèles ».