TD de Physique no 9 : Mécanique des fluides II

E.N.S. de Cachan
Département E.E.A.
M2 FE
3 e année
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique n o 9 :
Mécanique des fluides II
Exercice n o 1 : Équation de Navier-Stokes
Considérons un écoulement d’un fluide newtonien dont le champ des vitesses est de la forme ⃗v = v x (z, t)⃗e x .
1. Montrer que cet écoulement est incompressible.
2. Soit une particule de fluide de forme parallélépipédique centrée au point M(x, y, z). Déterminer la
force volumique de viscosité qui s’exerce sur cette particule de fluide.
3. Mettre cette force volumique sous forme intrinsèque en utilisant l’opérateur laplacien-vecteur. Nous
admettrons la validité de cette expression pour tout écoulement incompressible. Compléter l’équation d’Euler
avec la force volumique de viscosité pour obtenir l’équation de Navier-Stokes.
Exercice n o 2 : Écoulement de Couette plan
Un écoulement de Couette plan est celui d’un fluide délimité
par deux plans parallèles horizontaux, de vitesses constantes
mais différentes. Notons ⃗v 1 (resp. ⃗v 2 ) la vitesse du plan inférieur
(resp. supérieur) de cote z = 0 (resp. z = L). Nous supposerons
que :
– la vitesse en tout point de l’écoulement est de la
forme ⃗v = v(z, t)⃗e x ,
– la pression P ne dépend pas de x.
1. Établir l’équation dont v(z, t) est solution.
On introduira la viscosité cinématique σ définie par σ = η/ρ avec η la viscosité dynamique du fluide et ρ sa
masse volumique. Commenter.
2. Établir l’expression de ⃗v lorsque le régime permanent est atteint.
3. Régime transitoire. On se place dans le cas où ⃗v 1 = ⃗0. Le fluide est initialement au repos. À t = 0,
le plan supérieur acquiert brusquement la vitesse ⃗v 2 . Exhiber un temps caractéristique de l’établissement du
régime permanent. Pour cela on introduira les grandeurs adimensionnées u et ξ telles que : v = uv 2 et z = ξL.
Exercice n o 3 : Écoulement de Poiseuille plan
Un écoulement de Poiseuille est un écoulement permanent
incompressible dans une conduite de section
quelconque, de longueur L et immobile dans le référentiel
d’étude associé au repère (O, ⃗e x , ⃗e y , ⃗e z ). On note
̂P = P + ρgz avec P la pression, ρ la masse volumique
du fluide, g l’intensité de la pesanteur et z l’altitude.
On associe à la conduite le repère (O ′ , ⃗e x ′, ⃗e y ′, ⃗e z ′) (cf
figure ci-contre). On suppose qu’un dispositif externe
impose entre les sections x ′ = 0 et x ′ = L une différence
∆ ̂P = ̂P x ′ =0 − ̂P x ′ =L (perte de charge).
1. Écoulement de Poiseuille plan. On suppose ici
que l’écoulement se fait dans une conduite à section
rectangulaire dont la longueur l d’un coté est très grande devant la longueur de l’autre e. On peut négliger les
1

effets de bords et supposer que l’écoulement se fait entre deux plans infinis d’équation z ′ = 0 et z ′ = e. Le
champ des vitesses est de la forme ⃗v = v(z ′ )⃗e x ′.
a) Déterminer l’expression de ⃗v en fonction de ∆ ̂P , η, L, e et z ′ .
b) Déterminer la relation entre le débit volumique D v et ∆ ̂P . La relation correspondant à une conduite de
section cylindrique (cf exercice n o 4) est :
D v = πa4
8ηL ∆ ̂P
avec a le rayon du cylindre.
c) Établir l’analogique électrique pour les deux types de conduite.
2. Un tuyau cylindrique de diamètre intérieur d 1 alimente deux tuyaux de
diamètre d 2 et de longueur l 2 , dont l’extrémité est à la pression atmosphérique P 0
(cf figure ci-contre). Le système est à l’horizontale, vu de dessus. Soit P 1 la pression
en amont (au point A). La distance entre le point A et la première déviation, ainsi
que la distance entre les deux dérivations est l 1 . On considérera que les dérivations
sont des petits volumes isobares, et que le régime d’écoulement est laminaire.
a) Faire un schéma électrique équivalent.
b) Déterminer le débit dans chaque tuyau en fonction de P 1 , P 0 et des résistances
hydrauliques.
Exercice n o 4 : Loi de Poiseuille pour des tubes de section circulaire
Un fluide incompressible de masse volumique ρ s’écoule dans un tuyau cylindrique
de section circulaire de rayon a, de longueur L et d’axe (Oz). On admet qu’en régime
permanent, la vitesse du fluide dans le tube est de la forme ⃗v = v(r)⃗e z (en coordonnées
cylindriques), et que si P est la pression et z l’altitude, ̂P = P + ρgz ne dépend que de
z ; on posera P (z = 0) = P 0 + ∆P et P (z = L) = P 0 .
1. Par analogie avec un écoulement unidirectionnel, déterminer la force de viscosité
exercée par le fluide extérieur sur le fluide intérieur à travers une surface élémentaire
d’aire dS et normale à ⃗e r .
2. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au système constitué,
à un instant t donné, par le fluide contenu dans un cylindre de longueur l et de rayon r,
calculer dv
dr
, puis v(r).
3. En déduire la relation de proportionnalité entre le dédit massique D m et la perte de charge ∆ ̂P .
Exercice n o 5 : Couche limite
1. Soit une plaque carrée de côtés L selon ⃗u x et ⃗u y en mouvement uniforme de vitesse v⃗u x à la surface
d’un fluide au repos dans le référentiel du laboratoire. On note η (resp. ρ) la viscosité (resp. la masse volumique)
du fluide.
a) Quelle est l’expression du nombre de Reynolds R e de l’écoulement correspondant.
b) Donner une expression approchée de δ, l’épaisseur de la couche limite, en fonction de R e et L. Faire l’application
numérique dans le cas de l’écoulement d’air autour d’une aile d’avion : L = 5 m, ν = 1, 5.10 −5 m 2 .s −1
et v = 50 m.s −1 .
c) Que peut-on dire de la notion de couche limite pour un écoulement laminaire.
2. Il est possible d’associer à l’écoulement dans la couche limite un nombre de Reynolds local, R e,local .
a) Donner son expression en fonction de R e .
b) À partir de quelle valeur de R e , l’écoulement dans la couche limite devient-il turbulent ? Faire le lien avec
le graphique donnant F/(ρπr 2 v 2 ) en fonction de R e (cf cours).
2

Exercice n o 6 : Diamètre d’une canalisation
Un château d’eau alimente une canalisation cylindrique dont l’extrémité
est ouverte à la pression atmosphérique (cf figure ci-contre).
On note h 0 la profondeur du réservoir, h 1 le dénivelé de la canalisation,
L la longueur de la canalisation, η la viscosité de l’eau et D V le
débit volumique dans la canalisation. Pour les applications numérique,
on prendra h 0 = 3 m, h 1 = 13 m, L = 100 m et η = 1, 0.10 −3 P l. La
(
vitesse à une distance r de l’axe est de la forme : v(r) = v 0 1 − 4 r2
d
). 2
On rappelle la formule de Poiseuille (cf exercice 4) donnant le débit
volumique d’un fluide de viscosité η dans une canalisation cylindrique de diamètre d et de longueur L, soumise
à la chute de pression ∆ ˆP : D V =
πd4
128ηL ∆ ˆP
1. Déterminer le diamètre de la canalisation en supposant l’écoulement laminaire, dans les deux cas
suivants : 1 er cas, D V = 1 L.s −1 ; 2 e cas : D V = 0, 5 L.min −1 .
2. Calculer le nombre de Reynolds dans chaque cas. Conclure.
Exercice n o 7 : Détendeur
Un tuyau horizontal de section carrée de côté a et de longueur l
est divisé en N tranches fines par des lamelles d’épaisseur négligeable
(cf figure ci-contre). L’entrée est en contact avec un réservoir qui
contient un fluide de masse volumique ρ et de viscosité η, maintenu
à la pression P 1 . À la sortie, le fluide est à la pression extérieure P 0
(P 1 > P 0 ).
1. On suppose que le regime d’écoulement est laminaire et
permanent. Déterminer le débit, la vitesse moyenne de sortie et le
nombre de Reynolds de l’écoulement.
2. Si les hypothèses sont justifiées, calculer le débit dans les cas suivants :
– eau : η = 1, 0.10 −3 P l ;
– air : η = 1, 7.10 −5 P l et ρ = 1, 3 g.L −1 ;
– huile : η = 1, 0 P l et ρ = 0, 9 kg.m −3 ;
Données : P 0 = 1 bar ; P 1 = 1, 5 bar ; l = a = 1 cm ; N = 50 ;
Exercice n o 8 : Étude d’un viscosimètre
Un type de viscosimètre est schématisé sur le schéma ci-contre. Il est constitué
d’un tube capillaire C reliant deux boules B 1 et B 2 . La boule B 1 est remplie
jusqu’au niveau a (index a) d’un liquide incompressible, de masse volumique ρ et
de viscosité η. On mesure le temps τ mis par la surface du fluide pour passer de
ce niveau, au niveau b (index b). Ce viscosimètre est utilisé pour faire des mesures
relatives.
1. Montrer que si l’on prend deux fluides de masse volumique ρ 1 et ρ 2 , de
viscosité η 1 et η 2 , les temps de transit τ 1 et τ 2 sont tels que :
η 1
η 2
= ρ 1τ 1
ρ 2 τ 2
2. Les masses volumiques respectives de l’acétone et de l’eau à 293 K sont :
ρ acetone = 792, 0 kg.m −3 et ρ eau = 998, 2 kg.m −3 .
La viscosité de l’eau est de η eau = 1, 0050.10 −3 P l à 293 K. Il faut τ eau = 120, 5 s à l’eau, pour s’écouler
entre les deux index du viscosimètre. S’il faut τ acetone = 49, 5 s à l’acétone, quelle est la viscosité η acetone de
l’acétone ?
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Exercice n o 9 : Force sur une conduite en forme de coude
De l’eau de masse volumique µ coule en régime stationnaire avec un
débit massique D m dans une canalisation horizontale de section constante
S faisant un coude d’angle droit (cf figure ci-contre). On néglige la pesanteur
et l’écoulement est supposé parfait. Loin du coude en amont, la
pression est uniforme égale à P 1 et l’écoulement est unidimensionnel de
vitesse v 1 ⃗u x . Loin du coude en aval, la pression est uniforme égale P 2 et
l’écoulement est unidimensionnel de vitesse v 2 ⃗u y .
1. Établir l’égalité entre v 1 et v 2 , puis celle entre P 1 et P 2 .
2. Donner l’expression de la résultante F ⃗ de l’action de l’eau sur la
conduite.
Exercice n o 10 :
Jet sur une plaque
Un jet a la forme d’une lame d’épaisseur e et de largeur l selon Oz (cf
figure ci-contre). La vitesse de l’eau dans le jet est V 0 ⃗u x .
Arrivant sur une plaque P immobile (de largeur L dans le plan de la
figure), il se divise en deux jets caractérisés par les grandeurs (e 1 , V 1 , l) et
(e 2 , V 2 , l). On fera les hypothèses suivantes :
• le fluide est parfait et incompressible (masse volumique ρ) ;
• les effets de la pesanteur sont négligés ;
• l’écoulement est potentiel.
1. Déterminer la relation existant entre les épaisseurs e 1 et e 2 des jets glissant sur la plaque P.
2. Établir l’expression de la force ⃗ F exercée par le jet sur la plaque. On pose α = (⃗u x , ⃗n).
3. Donner ensuite les expressions de e 1 et e 2 en fonction de e et de l’angle α.
4. Montrer la cohérence de ces résultats avec le théorème de la puissance cinétique.
5. La plaque de masse M peut tourner librement autour de l’axe horizontal
Oz. La distance du centre de masse G de la plaque à l’axe ∆ = Oz est l.
La plaque est maintenue en équilibre (angle α) à l’aide du jet horizontal étudié
au 1. (débit incident D m0 = ρelV 0 , distance h à l’axe de rotation ∆ : h >> e). Déterminer
l’expression de l’angle α à l’équilibre : on supposera la masse M suffisamment
importante pour que cet équilibre existe.
Exercice n o 11 :
Tourniquet de foire
Un tourniquet de foire de rayon R peut tourner autour de son axe vertical Oz
(liaison pivot parfaite). Il est muni en deux points diamétralement opposés A et A ′
d’une réserve de poudre (m 0 /2 en chaque point). On note J 0 le moment d’inertie, par
rapport à Oz, du tourniquet (sans la poudre). Pour t < 0, le système est immobile.
À t = 0, on allume la poudre, ce qui a pour effet l’émission de matière tangentiellement
au cercle de rayon R avec un débit massique D m (D m /2 pour chaque réserve
de poudre) supposé constant (tant qu’il reste de la poudre) et une vitesse relative
d’éjection invariable v e . L’atmosphère extérieure à la pression uniforme P 0 exerce sur le tourniquet un couple
de frottements fluides Γ = −λω(t), où ω(t) représente la vitesse angulaire de rotation du tourniquet autour de
son axe.
1. Établir les équations différentielles en ω(t).
2. Déterminer la solution correspondante et tracer le graphe t → ω(t) : on fera l’approximation J 0 >>
m 0 R 2 .
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Exercice n o 12 :
Limite de Betz
Albert Betz (physicien allemand pionnier des technologies
éoliennes) établit en 1919 que la puissance théorique maximale
récupérable par une éolienne est égale à 16
27 P c où P c est la puissance
cinétique du vent qui rencontre l’éolienne lorsque celle-ci
est à l’arrêt. D’autre part, ce maximum est atteint lorsque la
vitesse du vent en aval de l’éolienne est égale à un tiers de la
vitesse du vent en amont. Cet exercice se propose de démontrer
ce qui vient d’être énoncé.
Soit une éolienne dont les pales balayent la surface Σ. Considérons
la veine de vent (c’est-à-dire le tube du champ des vitesses) s’appuyant sur la surface Σ (cf figure).
1. Pourquoi l’écoulement d’air peut-il être considéré comme étant incompressible ? Justifier alors l’évasement
de la veine de vent en aval de l’éolienne.
On appelle V le volume de contrôle délimité par le tube de champ et les surfaces Σ 1 et Σ 2 (cf figure
ci-dessus). On note ⃗v 1 (resp. ⃗v 2 ) la vitesse de l’air au niveau de Σ 1 (resp. Σ 2 ).
2. Établir, en supposant le régime établi atteint, que la force F ⃗ vent→pales qu’exerce le vent sur les pales
s’écrit :
⃗F vent→pales = ρD V (⃗v 1 − ⃗v 2 )
avec ρ la masse volumique de l’air et D V le débit volumique. On supposera que la pression autour du volume
de contrôle est uniforme, on la notera P 0 .
On appelle Σ − (resp. Σ + ) la section droite de la veine de vent juste avant (resp. juste après) l’éolienne.
3. Montrer que :
P − − P + = ρ 2 (v2 1 − v2)
2
où P − (resp. P + ) est la pression au niveau de Σ − (resp. Σ + ). On supposera pour cela que les vitesses au
niveau de Σ − et Σ + sont telles que v − ≃ v + ≃ v.
4. Montrer que :
⃗F vent→pales = Σ(P − − P + )⃗u x .
5. Déduire des questions précédentes que :
v = v 1 + v 2
.
2
6. Donner l’expression de la puissance P fournie à l’éolienne en fonction de ρ, Σ, v 1 et v 2 .
7. Exprimer le rapport P/P c en fonction de x = v2
v 1
. Retrouver alors le résultat établi par Betz.
8. Dans la pratique, la limite de Betz n’est pas atteinte. Pourquoi ?
Exercice n o 13 :
Profil d’une tuyère
On suppose, pour simplifier, que l’écoulement du gaz dans
une tuyère est unidimensionnel, permanent, adiabatique et
isentropique. Le but de cet exercice est de relier la vitesse
d’écoulement v(x) à la section S(x) de la tuyère (cf figure cicontre).
Le gaz entre dans la tuyère en x = 0, avec une vitesse
v(0) négligeable, une pression P (0) = P A , une température
T (0) = T A et une masse volumique ρ(0) = ρ A . Le gaz est
supposé parfait, de masse molaire M. Le rapport γ est supposé constant et connu.
1. Exprimer la relation qui existe entre la vitesse v(x) et la masse volumique ρ(x).
2. Exprimer la relation entre le débit massique D, v(x) et S(x).
3. Quelle forme de tuyère choisir pour obtenir une vitesse d’éjection des gaz importante.
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Problème :
Quelques aspects de la circulation sanguine
L’étude des propriétés physiques de la circulation sanguine, ou hémodynamique, permet de mieux comprendre
la physiologie du système circulatoire. Nous nous intéressons dans ce problème à quelques exemples
d’application de ces méthodes d’étude.
Le flux sanguin est la superposition d’un flux continu et d’un flux périodique. La première partie est
consacrée à l’étude d’un écoulement permanent dans un réseau de vaisseaux. La deuxième partie (traitée au
TD n o 12) concerne la propagation d’une onde de pression dans une artère et le rôle de la distensibilité des
vaisseaux.
Valeurs numériques
Les valeurs correspondant à des grandeurs physiologiques peuvent différer de manière appréciable entre personnes
: les valeurs données sont des moyennes.
Masse volumique de l’eau : ρ 0 = 10 3 kg.m −3
Débit volumique cardiaque pour l’être humain : Q = 4, 5 L.min −1
Viscosité cinématique du sang : ν = 3, 8.10 −6 m 2 .s −1 .
Première partie
Écoulement permanent dans un réseau de vaisseaux
Dans cette première partie, on modélise la circulation sanguine par un écoulement permanent. Le sang est
décrit comme un fluide incompressible de viscosité η et de viscosité cinématique ν = η/ρ où ρ est la masse
volumique.
1. On considère un vaisseau unique modélisé par un tube cylindrique de section circulaire de rayon r et
parcouru par un débit volumique Q ′ .
a) Rappeler la signification physique du nombre de Reynolds R e et déterminer son expression pour l’écoulement
dans ce tube en fonction du débit et du rayon. Que valent les nombres de Reynolds correspondant aux
écoulements dans les artères, dans les capillaires ? Que peut-on en conclure sur le type d’écoulement ?
b) Pour faire circuler le fluide sur une longueur L de tube, il faut appliquer une différence de pression ∆P
proportionnelle au débit : ∆P = KQ ′ . La résistance hydraulique K pour un tube cylindrique de rayon r est
donnée par l’expression K = 8ηL
πr
. Quelle puissance P doit-on fournir pour maintenir l’écoulement ?
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c) L’écoulement est à l’origine d’une force tangentielle sur les parois du tube. À l’aide d’un bilan relatif, en
régime permanent, à l’ensemble du fluide contenu dans la longueur L du tube, déterminer la force tangentielle
par unité de surface f exercée par le fluide sur la paroi du tube en fonction de Q ′ , r et de η. On supposera
pour cela que l’écoulement est uniforme.
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2. On considère un modèle très simplifié de système circulatoire
composé de deux types de vaisseaux (figure ci-contre) : un nombre N a
d’artères, chacune de longueur L a , et un nombre N c de vaisseaux capillaires,
chacun de longueur L c . Dans ces conditions, on cherche à déterminer
le choix optimal pour les rayons r a et r c des artères et des capillaires.
On supposera que la vitesse du fluide est uniforme dans chaque zone
et vaut u a dans les artères et u c dans les capillaires.
a) Un débit volumique total Q s’écoule dans ce circuit. Déterminer les
débits q a et q c circulant respectivement dans une artère et dans un capillaire.
En déduire la différence de pression ∆P entre les deux extrémités
du réseau et en déduire sa résistance hydraulique K tot (r a , r c ) = ∆P/Q.
b) L’épaisseur e de la paroi des vaisseaux est proportionnelle à leur rayon : e = αr (α