TD de Physique no 5 : Ondes mécaniques
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E.N.S. <strong>de</strong> Cachan<br />
Département E.E.A.<br />
M2 FE<br />
3 e année<br />
<strong>Physique</strong> appliquée 2011-2012<br />
<strong>TD</strong> <strong>de</strong> <strong>Physique</strong> n o 5 :<br />
On<strong>de</strong>s <strong>mécaniques</strong><br />
Exercice n o 1 : Exemple <strong>de</strong> couplage entre <strong>de</strong>ux oscillateurs<br />
Considérons <strong>de</strong>ux oscillateurs i<strong>de</strong>ntiques constitués chacun<br />
d’un ressort (rai<strong>de</strong>ur k, longueur à vi<strong>de</strong> l 0 ) et d’une masse<br />
m. Les <strong>de</strong>ux masses glissent sans frottement le long <strong>de</strong> l’axe<br />
(x ′ x) horizontal qui est aussi l’axe commun <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux ressorts.<br />
Ces <strong>de</strong>ux oscillateurs sont couplés par un troisième ressort k ′<br />
(cf figure ci-contre). On repère les masses 1 et 2 par leurs déplacements<br />
respectifs x 1 et x 2 par rapport à leurs positions<br />
d’équilibre.<br />
1. Établir les <strong>de</strong>ux équations différentielles dont x 1 et x 2<br />
sont solutions.<br />
2. Déterminer les pulsations propres ω s et ω a du système. Déterminer ensuite les expressions générales<br />
<strong>de</strong> x 1 (t) et <strong>de</strong> x 2 (t).<br />
3. Quelle serait la pulsation propre du système si l’une <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux masses était bloquée. Comparer la à ω s<br />
et à ω a .<br />
4. La paroi <strong>de</strong> gauche effectue maintenant <strong>de</strong>s oscillations correspondant à ξ(t) = ξ 0 cos(ωt). Déterminer,<br />
en régime établi, les expressions <strong>de</strong>s amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong>s déplacements <strong>de</strong>s masses 1 et 2 respectivement A 1 (ω) et<br />
A 2 (ω). Commenter. On posera u 1 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) et u 2 (t) = x 1 (t) − x 2 (t).<br />
Exercice n o 2 : Battements<br />
Considérons à <strong>no</strong>uveau le dispositif <strong>de</strong> l’exercice précé<strong>de</strong>nt. À l’instant initial les <strong>de</strong>ux masses ont une<br />
vitesse nulle, et leurs positions initiales sont x 1 (t = 0) = x 0 et x 2 (t = 0) = 0. En utilisant les résultats <strong>de</strong><br />
l’exercice n o 1, déterminer x 1 (t) et x 2 (t). Tracer les allures correspondantes dans le cas d’un couplage faible :<br />
k ′
Exercice n o 4 : Entraînement <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux horloges<br />
Huygens a découvert que <strong>de</strong>ux horloges <strong>de</strong> fréquences<br />
propres voisines mais <strong>no</strong>n égales, posées<br />
sur une même table suffisamment près l’une <strong>de</strong><br />
l’autre, et abandonnées avec <strong>de</strong>s conditions initiales<br />
quelconques, se synchronisent naturellement<br />
c’est-à-dire finissent par osciller avec une même<br />
fréquence et un déphasage constant, le déphasage<br />
étant d’autant plus faible que les horloges sont<br />
proches.<br />
1. Pour rendre compte <strong>de</strong> cette observation, on adopte le modèle mécanique sommaire <strong>de</strong> la figure ci<strong>de</strong>ssus<br />
: <strong>de</strong>ux pendules simples <strong>de</strong> longueurs respectives l 1 et l 2 , portant à leurs extrémités A 1 et A 2 <strong>de</strong>s masses<br />
i<strong>de</strong>ntiques m, sont fixés aux points B 1 et B 2 d’une barre <strong>de</strong> masse M, posée sur un support fixe, et libre <strong>de</strong> se<br />
translater sans frottements le long <strong>de</strong> l’axe ⃗u x ; on donne B 1 B 2 = 2a. On repère le mouvement du système par<br />
l’abscisse x du milieu B <strong>de</strong> B 1 B 2 et par les angles θ 1 et θ 2 que font les pendules avec la verticale. On limite<br />
les calculs à l’ordre un en θ 1 et θ 2 .<br />
a) Exprimer les composantes selon ⃗u x et ⃗u z <strong>de</strong>s accélérations <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux masses en fonction <strong>de</strong> ¨θ 1 , ¨θ 2 , ẍ, l 1 et<br />
l 2 . En déduire que les tensions <strong>de</strong>s fils valent T 1 = T 2 = mg, et établir les équations du mouvement :<br />
¨θ 1 + g l 1<br />
θ 1 = − ẍ<br />
l 1<br />
; ¨θ2 + g l 2<br />
θ 2 = − ẍ<br />
l 2<br />
b) Exprimer la composante selon ⃗u x <strong>de</strong> l’accélération du centre d’inertie G du système. En déduire que :<br />
( ml1 ¨θ1 + ml<br />
)<br />
2 ¨θ2<br />
ẍ = −<br />
M + 2m<br />
c) On suppose que l 1 = l 2 = l. Déterminer les pulsations propres et la solution générale du problème. Interpréter<br />
la pulsation du mo<strong>de</strong> antisymétrique. Interpréter la pulsation du mo<strong>de</strong> symétrique lorsque M → ∞.<br />
d) Lorsque l 1 = l(1 − ɛ) et l 2 = l(1 + ɛ) avec ɛ
En déduire sans calcul les <strong>de</strong>ux équations analogues issues <strong>de</strong> l’équation (2).<br />
c) On suppose pour finir que C 1 = C(1 − ɛ) et C 1 = C(1 + ɛ) avec ɛ
Déterminer l’équation aux dérivées partielles satisfaite par ɛ(x, t) (équation <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong> d’Alembert).<br />
On posera c 2 = Ka2<br />
m .<br />
c) En déduire la relation <strong>de</strong> dispersion correspondante. Retrouver ce résultat à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> la question 2.<br />
4. Posons u = x − ct et v = x + ct. Exprimer ∂ɛ ∂ɛ<br />
∂ɛ ∂ɛ<br />
∂x<br />
et<br />
∂t<br />
en fonction <strong>de</strong> c,<br />
∂u<br />
et<br />
∂v<br />
Développer également<br />
les dérivées secon<strong>de</strong>s. En déduire les solutions générales <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> D’Alembert. Interpréter alors c.<br />
5. Soit une barre <strong>de</strong> longueur L et <strong>de</strong> section S du soli<strong>de</strong> considéré. Appliquons une force d’intensité F<br />
sur une <strong>de</strong>s faces. Dans le domaine <strong>de</strong> linéarité du matériau, l’allongement relatif ∆L/L est proportionnel à la<br />
force surfacique. Le rapport <strong>de</strong> proportionnalité est l’inverse du module d’Young E.<br />
a) Exprimer c en fonction <strong>de</strong> E et <strong>de</strong> µ la masse volumique du matériau.<br />
b) Faire l’application numérique dans le cas du cuivre : E Cu = 124 GP a et µ Cu = 8920 kg.m −3 .<br />
Exercice n o 8 : Cor<strong>de</strong> vibrante<br />
On considère une cor<strong>de</strong> faiblement extensible <strong>de</strong><br />
longueur L et <strong>de</strong> masse linéique µ, tendue horizontalement<br />
à une extrémité par une force constante ⃗ F . La<br />
cor<strong>de</strong> peut par exemple être reliée à une masse fixe<br />
suspendue après une poulie. On fait l’hypothèse que le<br />
poids <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> est négligeable <strong>de</strong>vant la tension et<br />
donc ⃗ F . La forme d’équilibre est simplement horizontale.<br />
On introduit les axes x’x, défini par la forme d’équilibre,<br />
et y’y, défini par le mouvement transversal, l’origine<br />
O étant le point <strong>de</strong> fixation <strong>de</strong> l’extrémité gauche <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong>. Le mouvement <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> autour <strong>de</strong> sa<br />
position d’équilibre est décrit par la fonction y(x, t). On <strong>no</strong>te également ⃗ T (x, t) la tension <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> en x à t<br />
et θ(x, t) l’angle que fait la tangente à la cor<strong>de</strong> en x avec l’axe x ′ x et à t (cf figure ci-<strong>de</strong>ssus).<br />
1. Montrer que y(x, t) est solution d’une équation <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong> D’Alembert. Donner l’expression <strong>de</strong><br />
la vitesse <strong>de</strong> propagation c.<br />
2. On recherche les solutions <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> D ’Alembert sous forme d’on<strong>de</strong>s stationnaires planes c’està-dire<br />
on recherche les solutions sous la forme y(x, t) = F (x)G(t). Montrer que :<br />
c 2 F ′′ (x)<br />
F (x) = G′′ (t)<br />
G(t) = A<br />
où A est une constante négative que l’on posera égale à −ω 2 . En déduire la forme générale <strong>de</strong> y(x, t).<br />
3. Mo<strong>de</strong>s propres <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> fixée à ses <strong>de</strong>ux extrémités. On <strong>no</strong>tera L la longueur <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong>.<br />
a) Montrer que k, ω et λ sont quantifiés et donner leurs expressions.<br />
b) Donner l’expression générale <strong>de</strong> y(x, t).<br />
c) On pince la cor<strong>de</strong> <strong>de</strong> telle sorte qu’elle forme un triangle isocèle <strong>de</strong> hauteur h, puis elle est lâchée sans vitesse<br />
initiale. Déterminer l’expression <strong>de</strong> y(x, t) correspondante.<br />
4. Dans l’expérience <strong>de</strong> Mel<strong>de</strong>, un vibreur placé en O effectue <strong>de</strong>s oscillations sinusoïdales d’amplitu<strong>de</strong><br />
a : y(0, t) = a cos(ωt).<br />
a) La cor<strong>de</strong> étant fixée à l’autre extrémité, déterminer les déplacements y(x, t) <strong>de</strong> tout point <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> à tout<br />
instant.<br />
b) Interpréter et commenter le phé<strong>no</strong>mène <strong>de</strong> résonance. Donner les valeurs <strong>de</strong>s fréquences <strong>de</strong> résonance.<br />
Exercice n o 9 : Application musicale : le pia<strong>no</strong><br />
1. Avant la mise au point <strong>de</strong> la gamme tempérée, les musiciens utilisaient la gamme dite naturelle : celle-ci<br />
repose sur trois intervalles consonants (c’est à dire agréables à l’oreille) qui constituent l’accord parfait majeur<br />
complété par l’octave. Ainsi, dans la suite do-mi-sol-do, les rapports <strong>de</strong> fréquences sont :<br />
• pour la tierce (do-mi) : 5 4 ;<br />
• pour la quinte (do-sol) : 3 2 ;<br />
• pour l’octave (do-do) : 2.<br />
Pour une cor<strong>de</strong>, il apparaît que si le mo<strong>de</strong> fondamental (ou harmonique n = 1) est un do, l’harmonique n = 2<br />
est le do <strong>de</strong> l’octave supérieure, et l’harmonique n = 3 = 3 2<br />
∗ 2 est le sol <strong>de</strong> l’octave supérieure.<br />
a) Trouver les <strong>no</strong>tes correspondant aux harmoniques n = 4, n = 5 et n = 6.<br />
b) Montrer que l’harmonique n = 7 ne rentre pas dans le schéma tierce-quinte-octave (les musiciens disent <strong>de</strong><br />
ce fait qu’il est dissonant ; il est proche <strong>de</strong> si bémol).<br />
4
c) Quelle est la <strong>no</strong>te correspondant à l’harmonique n = 8 ? Est-elle consonante ou dissonante ?<br />
2. Spectre so<strong>no</strong>re d’une cor<strong>de</strong> frappée (pia<strong>no</strong>). À l’instant t = 0, la cor<strong>de</strong> <strong>de</strong> longueur L est dans la<br />
position d’équilibre y(x, 0) = 0. La cor<strong>de</strong> est frappée avec un petit marteau <strong>de</strong> largeur b (avec b 0 : masse linéique µ 2 , même tension T .<br />
Une on<strong>de</strong> progressive se dirige vers le point O en provenant <strong>de</strong> la région <strong>de</strong>s x < 0.<br />
1. Déterminer les coefficients <strong>de</strong> réflexion r et <strong>de</strong> transmission t relatifs à la vitesse. On introduira la<br />
quantité n =<br />
√<br />
µ2<br />
µ 1<br />
. Commenter les résultats obtenus. Que se passe-t-il pour les cas limites µ 2 = 0 et µ 2 = +∞ ?<br />
2. Définir la puissance Π(x, t) transférée en x dans le sens <strong>de</strong>s x > 0, puis vérifier la conservation <strong>de</strong><br />
l’énergie en x = 0.<br />
Exercice n o 11 : Étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s vibrations d’une cor<strong>de</strong> verticale<br />
L’axe (Ox) est vertical ascendant, (Oy) horizontal. Une cor<strong>de</strong>, infiniment souple,<br />
<strong>de</strong> masse linéique µ, <strong>de</strong> longueur L est suspendue au point A dans le champ <strong>de</strong> pesanteur<br />
g. Lorsque la cor<strong>de</strong> est au repos, son extrémité inférieure coïnci<strong>de</strong> avec le point<br />
O. Son point d’accrochage A effectue <strong>de</strong>s oscillations horizontales : y A = a cos(ωt),<br />
d’amplitu<strong>de</strong> a très inférieure à L. L’extrémité inférieure <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> ne subit aucune<br />
contrainte.<br />
Le déplacement (quasi-horizontal) d’un point P (x) <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> par rapport à sa<br />
position d’équilibre est <strong>no</strong>té y(x, t). Dans toute la suite on suppose que y, ∂y<br />
∂x et ∂2 y<br />
∂x<br />
sont très petits, et que le<br />
2<br />
déplacement <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> ne se produit que dans la direction (Oy).<br />
1. Montrer que l’équation <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s le long <strong>de</strong> la cor<strong>de</strong> est :<br />
∂ 2 y<br />
∂t 2<br />
= g ( ∂y<br />
∂x + x ∂2 y<br />
∂x 2 )<br />
2. On cherche une solution <strong>de</strong> l’équation ci-<strong>de</strong>ssus sous la forme :<br />
y(x, t) = α(x) cos(ωt) + β(x) sin(ωt)<br />
a) Montrer que α(x) et β(x) vérifient la même équation différentielle.<br />
b) On <strong>no</strong>te X = x ω2<br />
g<br />
; α(x) = A 0A(X) ; β(x) = B 0 A(X), avec A(0) = 1. Établir l’équation vérifiée par<br />
la fonction A(X), puis rechercher une solution <strong>de</strong> cette équation sous la forme d’un développement en série<br />
entière :<br />
A(X) = 1 + A 1 X + A 2 X 2 + . . .<br />
Déterminer les coefficients A k .<br />
( )<br />
ω<br />
c) Que vaut B 0 ? Déterminer A 0 en fonction <strong>de</strong> A<br />
2 L<br />
g<br />
et <strong>de</strong> a. Écrire l’expression <strong>de</strong> y(x, t).<br />
Exercice n o 12 : Mo<strong>de</strong>s propres d’un ressort<br />
On considère un ressort horizontal <strong>de</strong> longueur à vi<strong>de</strong> L dont une extrémité est fixée en O et dont l’extrémité<br />
mobile M est reliée à une masse ponctuelle m libre se déplaçant sans frottement le long <strong>de</strong> l’axe (Ox). On<br />
<strong>no</strong>te µ la masse linéique du ressort. On repère le mouvement d’une spire située à l’abscisse x au repos par sa<br />
position x + ξ(x, t). Si on coupe fictivement le ressort à l’abscisse x, la force exercée par la partie droite sur la<br />
partie gauche est donnée par la loi <strong>de</strong> HOOKE :<br />
⃗F = K ∂ξ<br />
∂x ⃗u x<br />
5
où K est une caractéristique du matériau.<br />
1. Montrer que ξ(x, t) est solution d’une équation <strong>de</strong> D’Alembert et exprimer la célérité c correspondante.<br />
2. On fait l’approximation <strong>de</strong>s régimes quasi-stationnaires, c’est à dire qu’on néglige les dérivées temporelles<br />
dans l’équation <strong>de</strong> D’ALEMBERT. On <strong>no</strong>te L + X(t) la position <strong>de</strong> la masse m.<br />
a) Déterminer la fonction ξ(x, t) en fonction <strong>de</strong> x, X(t) et L.<br />
b) En déduire la force exercée par le ressort sur m en fonction <strong>de</strong> K, L et X. En déduire la rai<strong>de</strong>ur du ressort<br />
en fonction <strong>de</strong> K et L.<br />
c) Déterminer la pulsation ω arqs <strong>de</strong>s oscillations. En déduire une condition sur µ, L et m pour que l’ARQS<br />
soit validée.<br />
3. On revient au cas général.<br />
a) Quelles sont les conditions aux limites imposées à la fonction ξ(x, t) d’une part par le mur et d’autre part<br />
par la masse m en x = L ?<br />
b) On cherche <strong>de</strong>s solutions <strong>de</strong> la forme :<br />
ξ(x, t) = f(x) cos(ωt)<br />
Établir l’équation dont est solution f(x) et déterminer sa forme à une constante multiplicative près en fonction<br />
<strong>de</strong> ω, x et c.<br />
c) Montrer que ω est solution <strong>de</strong> :<br />
( ωL<br />
tan<br />
c<br />
)<br />
= K<br />
mωc<br />
Discuter cette équation graphiquement.<br />
d) On suppose que µL
Exercice n o 14 : Vitesses <strong>de</strong> phase et <strong>de</strong> groupe dans le cas d’une relation <strong>de</strong> dispersion <strong>de</strong><br />
Kein-Gordon<br />
On considère un paquet d’on<strong>de</strong> se propageant dans un milieu dont la relation <strong>de</strong> dispersion est du type<br />
Klein-Gordon :<br />
k 2 c 2 = ω 2 − ω 2 c<br />
Donner les expressions <strong>de</strong>s vitesses <strong>de</strong> phase et <strong>de</strong> groupe pour ω > ω c . Commenter.<br />
Problème : Sismologie et structure interne <strong>de</strong> la Terre<br />
Les secousses sismiques, naturelles ou artificielles, sont à l’origine d’on<strong>de</strong>s <strong>mécaniques</strong> se propageant au<br />
sein ou en surface <strong>de</strong> la Terre. Le comportement <strong>de</strong> ces on<strong>de</strong>s, entre l’hypocentre et le lieu <strong>de</strong> réception, est<br />
déterminé par la structure interne <strong>de</strong> la Terre. Ce problème abor<strong>de</strong> les principales métho<strong>de</strong>s mises en oeuvre<br />
en sismologie pour son<strong>de</strong>r la Terre à différentes échelles <strong>de</strong> profon<strong>de</strong>ur.<br />
Partie I : Les on<strong>de</strong>s sismiques <strong>de</strong> volume<br />
On établit dans cette partie les équations <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s <strong>de</strong> déformation<br />
au sein d’un soli<strong>de</strong>. Au repos, le soli<strong>de</strong>, <strong>de</strong> masse volumique ρ 0 , est immobile. On<br />
<strong>no</strong>te ⃗u(M, t) le déplacement, à un instant quelconque, d’un élément <strong>de</strong> soli<strong>de</strong>, en<br />
M au repos. On restreint l’étu<strong>de</strong> aux on<strong>de</strong>s planes se propageant selon ⃗e x , et aux<br />
déformations bidimensionnelles : ⃗u(x, t) = u x (x, t)⃗e x + u y (x, t)⃗e y . Les déformations<br />
locales du milieu sont à l’origine <strong>de</strong> contraintes, forces surfaciques, qu’exercent les particules <strong>de</strong> soli<strong>de</strong> les unes<br />
sur les autres. Avec une on<strong>de</strong> plane, ⃗u(x, t), il apparaît <strong>de</strong>s contraintes que sur les surfaces <strong>no</strong>rmales à ⃗e x .<br />
Soit dS une telle surface élémentaire (cf figure ci-<strong>de</strong>ssus), située en x 0 au repos, la force élastique exercée par<br />
l’élément 1, x < x 0 , sur l’élément 2, x > x 0 , s’écrit :<br />
dF ⃗ 1→2 = f ⃗ 1→2 dS avec f1→2 ⃗ = −(λ + 2µ) ∂u x<br />
∂x (x 0)⃗e x − µ ∂u y<br />
∂x (x 0)⃗e y<br />
où λ et µ sont les coefficients <strong>de</strong> Lamé, constantes positives, caractéristiques du milieu.<br />
1. Justifier brièvement le signe négatif dans l’expression <strong>de</strong> la force. Pourquoi cette forme n’est-elle valable<br />
que dans le cadre <strong>de</strong>s faibles déformations ? Donner les unités <strong>de</strong>s coefficients <strong>de</strong> Lamé.<br />
2. Soit un parallélépipè<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume dτ, <strong>de</strong> dimensions dx, dy et dz selon les trois axes cartésiens. La<br />
résultante <strong>de</strong>s forces élastiques qu’il subit s’écrit : dF ⃗ = fv ⃗ dτ ; déterminer l’expression <strong>de</strong> la force volumique<br />
⃗f v <strong>de</strong>s forces élastiques.<br />
3. Dans le cadre <strong>de</strong> faibles déformations, les équations seront linéarisées en se limitant aux termes du<br />
premier ordre en ⃗u et ses dérivées. Effectuer un bilan <strong>de</strong> matière à l’ai<strong>de</strong> d’une tranche d’épaisseur dx au repos,<br />
et montrer que la masse volumique ρ(x, t) vérifie :<br />
(<br />
ρ = ρ 0 1 − ∂u )<br />
x<br />
∂x<br />
Traduire l’approximation effectuée à l’ai<strong>de</strong> d’une condition sur les longueurs d’on<strong>de</strong> Λ présentes.<br />
4. En supposant que les particules <strong>de</strong> soli<strong>de</strong> ne sont soumises qu’aux contraintes élastiques, montrer<br />
que les déformations u x (x, t) et u y (x, t) vérifient chacune une équation <strong>de</strong> d’Alembert. Exprimer les célérités<br />
respectives c P (on<strong>de</strong> P) et c S (on<strong>de</strong> S) <strong>de</strong> ces on<strong>de</strong>s.<br />
5. Justifier à l’ai<strong>de</strong> d’un schéma que l’une <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>ux on<strong>de</strong>s est dite <strong>de</strong> compression, alors que l’autre<br />
est dite <strong>de</strong> cisaillement. Que dire sur l’existence <strong>de</strong> telles on<strong>de</strong>s dans un liqui<strong>de</strong> ?<br />
6. Lors qu’un tremblement <strong>de</strong> Terre, <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s sont émises dans toutes les directions. La connaissance<br />
<strong>de</strong>s distances entre la source sismique (hypocentre) et différentes stations réceptrices permet la localisation<br />
<strong>de</strong> l’hypocentre. Dans un milieu homogène, exprimer la distance D d’une station à la source, en fonction <strong>de</strong>s<br />
célérités c P et c S , et <strong>de</strong> la durée ∆t séparant les arrivées <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s P et S à la station.<br />
7. Applications numériques. Dans la croûte continentale : c P = 7, 0 km.s −1 et c S = 4, 5 km.s −1 . Calculer<br />
la distance à la source sismique si ∆t = 70 s. Avec quelle précision faut-il connaître ∆t pour localiser<br />
l’hypocentre à 1 km près ? À votre avis, par quoi est limitée la précision <strong>de</strong> cette mesure <strong>de</strong> distance ?<br />
8. Les pério<strong>de</strong>s <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s sismiques sont comprises entre 1 et 1000 secon<strong>de</strong>s. Commenter l’approximation<br />
effectuée à la question 3 ?<br />
Partie II : La théorie <strong>de</strong>s rais<br />
7
Dans un milieu hétérogène, où la célérité n’est pas uniforme,<br />
le comportement ondulatoire <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s sismiques est<br />
complexe. On utilise la théorie <strong>de</strong>s rais, analogue <strong>de</strong> l’optique<br />
géométrique pour les on<strong>de</strong>s lumineuses, qui étudie les<br />
trajectoires <strong>de</strong>s pinceaux d’on<strong>de</strong>s sismiques perpendiculaires<br />
aux surfaces d’on<strong>de</strong>. Les résultats concernant le cas <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s<br />
planes sont utilisables ici. Le modèle sismologique le plus utilisé<br />
pour la structure <strong>de</strong> la Terre (PREM) présente la symétrie<br />
sphérique. Il a été obtenu à partir d’informations fournies par<br />
les on<strong>de</strong>s <strong>de</strong> volume, les on<strong>de</strong>s <strong>de</strong> surface et les mo<strong>de</strong>s propres <strong>de</strong> la Terre. On donne les célérités <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s P<br />
et S en fonction <strong>de</strong> la profon<strong>de</strong>ur (cf figure ci-<strong>de</strong>ssus).<br />
1. Donner la condition sur la longueur d’on<strong>de</strong> Λ permettant d’utiliser une théorie géométrique plutôt<br />
qu’ondulatoire. En déduire, en utilisant le modèle PREM, la gamme <strong>de</strong> fréquences <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s sismiques vérifiant<br />
cette condition. Quels type <strong>de</strong> phé<strong>no</strong>mènes ne peuvent être décrits par la théorie <strong>de</strong>s rais ?<br />
2. Soient <strong>de</strong>ux milieux homogènes, séparés par un dioptre plan, dans lesquels la célérité <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s P vaut<br />
respectivement c 1 et c 2 . Un rai sismique inci<strong>de</strong>nt dans le milieu 1 rencontre l’interface. Donner les analogues <strong>de</strong>s<br />
lois <strong>de</strong> Descartes pour la réflexion et la réfraction <strong>de</strong>s rais sismiques. Faire un schéma indiquant les orientations<br />
<strong>de</strong>s angles considérés.<br />
Détermination <strong>de</strong> l’épaisseur <strong>de</strong> la croûte terrestre par réfraction sismique<br />
Modélisons la Terre, au voisinage <strong>de</strong> sa surface, par un milieu<br />
à <strong>de</strong>ux couches planes homogènes : la croûte d’épaisseur H<br />
située au-<strong>de</strong>ssus du manteau (cf figure ci-contre). On ne considère<br />
que les on<strong>de</strong>s P <strong>de</strong> célérités c 1 et c 2 avec c 1 < c 2 . Un tremblement<br />
<strong>de</strong> Terre se produit en A, et émet <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s sismiques<br />
dans toutes les directions. Trois on<strong>de</strong>s <strong>de</strong> type P peuvent être<br />
reçues au point B à la distance D <strong>de</strong> A. L’on<strong>de</strong> P g désigne celle<br />
se propageant en ligne droite dans le milieu 1. L’on<strong>de</strong> P M P désigne<br />
celle se réfléchissant sur l’interface, en I. L’on<strong>de</strong> P n est due à un retour dans le milieu 1, <strong>de</strong> la partie <strong>de</strong><br />
l’on<strong>de</strong> réfractée dans le milieu 2, qui se propage tangentiellement à l’interface.<br />
3. Déterminer l’angle θ en fonction <strong>de</strong>s célérités c 1 et c 2 . Montrer que l’on<strong>de</strong> P n ne peut exister qu’à<br />
partir d’une distance critique D c que l’on exprimera.<br />
4. Exprimer, pour chaque on<strong>de</strong>, le temps <strong>de</strong> parcours en fonction <strong>de</strong> la distance D : ∆t(P g ), ∆t(P M P )<br />
et ∆t(P n ). Justifier en particulier que ∆t(P M P ) = ∆t(P n ) pour D = D c .<br />
5. Représenter, sur un même graphe, les allures <strong>de</strong>s trois courbes représentant ∆t en fonction <strong>de</strong> D. De<br />
telles courbes sont appelées hodochrones. On précisera leur comportement asymptotique à gran<strong>de</strong> distance,<br />
ainsi que les valeurs prises en D = 0 et D = D c .<br />
6. Pour l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> la croûte, les sismologues utilisent <strong>de</strong>s sources explosives<br />
<strong>de</strong> forte puissance, et alignent <strong>de</strong>s sismomètres régulièrement sur <strong>de</strong><br />
gran<strong>de</strong>s distances. Souvent, dans les hodochrones obtenus, ne sont utilisés<br />
que les temps <strong>de</strong> parcours <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s les plus rapi<strong>de</strong>s. La figure ci-contre<br />
donne le temps d’arrivée <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> la plus rapi<strong>de</strong> en fonction <strong>de</strong> la distance<br />
D à parcourir. Il s’agit sensiblement <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux portions <strong>de</strong> droite, une rupture<br />
<strong>de</strong> pente est observée pour D i = 150 km ; on relève également : ∆t i = 23 s<br />
et ∆t 0 = 5 s. Calculer les célérités c 1 et c 2 <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s dans la croûte et le manteau. Exprimer l’épaisseur H en<br />
fonction <strong>de</strong> c 1 et c 2 , et l’évaluer numériquement.<br />
On envisage maintenant une variation linéaire <strong>de</strong> la célérité dans la croûte : c 1 =<br />
c 10 (1 − kz) où k est une constante positive. Un rai sismique est émis en A(z = 0, x = 0)<br />
dans une direction faisant un angle i 0 avec l’axe (Ax).<br />
7. Établir, en utilisant les lois <strong>de</strong> Descartes entre z et z + dz, la relation liant dx et<br />
dz le long du rai :<br />
(1 − kz) cos i 0<br />
dx = −dz √<br />
1 − (1 − kz)2 cos 2 i 0<br />
8. Intégrer cette relation et montrer que la trajectoire du rai est un arc <strong>de</strong> cercle ;<br />
préciser les coordonnées <strong>de</strong> son centre (x 0 , z 0 ) et son rayon R, en fonction <strong>de</strong> i 0 et <strong>de</strong> k.<br />
Retrouver le cas du milieu homogène.<br />
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9. Tracer sur un même graphe <strong>de</strong>ux rais émis du même point sous les angles i 01 et i 02 avec i 01 < i 02 .<br />
10. À la profon<strong>de</strong>ur H commence le manteau. Montrer qu’il existe, contrairement au milieu homogène,<br />
une distance maximale D max en surface pour recevoir un rai sismique ne se propageant que dans la première<br />
couche (<strong>de</strong> type P g ). Exprimer cette distance en fonction <strong>de</strong> H et k.<br />
11. Soit maintenant un modèle à <strong>de</strong>ux couches, présentant les gradients <strong>de</strong> célérité : c 1 = c 10 (1 − k 1 z)<br />
et c 2 = c 20 (1 − k 2 z). On modélise ainsi le manteau, compris entre z = 0 et z = −H 1 , et le <strong>no</strong>yau externe.<br />
L’épaisseur <strong>de</strong> la croûte est ainsi négligée. Le modèle PREM donne c 1 (−H 1 ) > c 2 (−H 1 ). À l’inci<strong>de</strong>nce limite<br />
i 0 donnant la distance D ′ max pour l’on<strong>de</strong> P g dans le manteau, <strong>de</strong>ssiner l’allure du rai P n réfracté dans le <strong>no</strong>yau,<br />
et justifier qu’il revient en surface à une distance supérieure à D ′ max.<br />
On montre alors, en envisageant les inci<strong>de</strong>nces supérieures qu’il existe une zone d’ombre à la surface <strong>de</strong><br />
la Terre dans laquelle aucune on<strong>de</strong> P n’est recueillie. Cette observation a prouvé l’existence d’un <strong>no</strong>yau dans<br />
lequel les on<strong>de</strong>s sismiques se propagent moins vite que dans le manteau.<br />
12. Par ailleurs, l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s S a mis en évi<strong>de</strong>nce l’absence <strong>de</strong> celles-ci dans le <strong>no</strong>yau externe. Que<br />
peut-on en déduire sur la nature du <strong>no</strong>yau ?<br />
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