TD de Physique no 2 : Thermodynamique

E.N.S. de CachanDépartement E.E.A.M2 FE3 e annéePhysique appliquée 2011-2012TD de Physique n o 2 :ThermodynamiqueExercice n o 1 : Le gaz parfait1. (cours) Rappeler les hypothèses du gaz parfait.On considère maintenant un gaz parfait monoatomique en contact avec une paroi. On veut déterminerl’expression de la pression en un point de la paroi. Pour cela on fait les hypothèses suivantes :• le gaz est au repos,• le gaz est en équilibre thermodynamique interne.2. (cours) Que sous-entendent ces deux hypothèses ? Quelle autre hypothèse raisonnable découlant duchaos moléculaire pouvons-nous également formuler ?Soit dS ⃗ = dS⃗u z un élément de surface de la paroi. On note δ⃗p incidents (respectivement δ⃗p reflechis ) laquantité de mouvement des atomes qui atteignent (respectivement repartent de) dS entre t 0 et t 0 + δt.3. (cours) Déterminer la force pressante élémentaire δf ⃗ à l’aide de δ⃗p incidents et de δ⃗p reflechis .4. (cours) Pour simplifier le calcul de δ⃗p incidents et de δ⃗p reflechis on adopte le modèle élémentaire suivant :• toutes les particules ont la même vitesse égale à la vitesse quadratique moyenne u,• elles sont astreintes à se déplacer uniquement sur chacune des trois directions x, y, ou z dans un sensou dans l’autre de façon équiprobable.Exprimer δ⃗p incidents et δ⃗p reflechis en fonction m la masse d’un atome, u la vitesse quadratique moyenne, n ∗la densité moléculaire, et δt.5. (cours) En déduire l’expression de la pression cinétique.6. (cours) Pour un gaz parfait monoatomique, l’énergie cinétique de translation moyenne des atomesest proportionnelle à la température (il n’y a pas de terme d’énergie cinétique barycentrique). Déterminer laconstante de proportionnalité permettant de retrouver l’équation d’état des gaz parfaits obtenue par l’approchemacroscopique expérimentale.7. Calculer numériquement à la surface de la Terre et de la Lune, pour une température T = 300 K, lavitesse de libération V lib et la vitesse quadratique moyenne pour du dihydrogène et du diazote. Commenter.Quelle devrait être l’ordre de grandeur de la température T ′ pour que le diazote, constituant majoritaire del’atmosphère terrestre, échappe quantitativement à l’attraction terrestre ?Données :• Constante de gravitation : G = 6, 67.10 −11 SI.• Rayon de la Terre : R T = 6400 km, rayon de la Lune : R L = 1800 km.• Masse de la Terre : M T = 6.10 24 kg, masse de la Lune : M L = 7, 4.10 22 kg.• Masses molaires : M H2 = 2 g.mol −1 , M N2 = 28 g.mol −1• Constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K −1 .mol −1Exercice n o 2 : Tamis moléculaireUne mole de gaz parfait est contenue dans une enceinte rigide (E) de volume V . L’ensemble est maintenuà la température T .1. On perce dans la paroi un trou d’aire S par lequel le gaz s’échappe dans une enceinte (E’) initialementvide, de même volume que (E) et maintenue à la même température. À quelle condition peut-on conserverl’hypothèse d’isotropie des vitesses ?2. Montrer que le nombre de molécules qui sortent par unité de temps de l’enceinte (E) est :(N(t) − N ′ (t)) uS6V1

5. Retrouver l’expression obtenue lorsque l’eau est supposée incompressible.Exercice n o 5 : Cloche renverséeOn renverse une cloche cylindrique de section S, de hauteur h et de masse m,et on la laisse descendre verticalement dans une cuve à eau. La cloche s’enfoncedans l’eau en emprisonnant l’air qu’elle contenait et occupant initialement sonvolume intérieur. À l’équilibre, la cloche flotte, la pression atmosphérique vautP 0 et la masse volumique de l’eau est ρ. L’épaisseur des parois de la cloche estsupposée négligeable.1. Déterminer les hauteurs x et y repérant les surfaces libres de l’eau parrapport aux bords de la cloche.2. À quelle condition sur le volume V 0 = hS de la cloche, celle-ci peut-elle effectivement flotter ?3. Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème d’Archimède.Exercice n o 6 : Retenue d’eau par un barrage1. Un barrage doit permet de réaliser une retenue d’eau sur une profondeurH et une largeur L. La pression de l’air est P 0 , et la masse volumique del’eau est constante et vaut ρ 0 . Déterminer la résultante ⃗ F des efforts de pressionqu’exerce l’eau sur le barrage. On écrira ⃗ F = F x ⃗u x + F z ⃗u z . Déterminerle centre de poussée C.2. Le profil du barrage est modifié. Il correspond à une courbe Cd’équation z = f(x). La hauteur d’eau demeure H et la largeur L. Onnotera x 0 l’abscisse du point le plus haut de la courbe C atteint par l’eau.Donner les expressions des composantes F x et F z de la résultante des effortsde pression exercés par l’eau sur le barrage. Application à un profilparabolique d’équation z = 1 h x2 .3. Commenter les résultats obtenus aux 1. et 2. relatifs à la composanteF x .Exercice n o 7 : Détente de Joule-Gay-Lussac de gazOn s’intéresse à n moles d’un gaz subissant une détentedans le vide (ou détente de Joule-Gay-Lussac) : à l’instant initialle gaz occupe le volume V 1 et est en équilibre thermodynamiqueinterne à la température T 0 . On ouvre le circuit del’électroaimant, le marteau casse la vitre de séparation ; le gazse répartit entre les deux compartiments et atteint un nouvelétat d’équilibre thermodynamique interne de température T f .1. On étudie le système {gaz + parois}. On considère quel’énergie interne des parois ne varie pas. Montrer que la transformationdu gaz se fait à énergie interne constante.2. Retrouver l’expression de l’énergie interne U pour ungaz parfait monoatomique. Quelle est la variation de température T f − T 0 qui accompagne la détente deJoule-Gay-Lussac d’un gaz parfait monoatomique, d’un gaz parfait ?On considère que l’argon est un gaz réel monoatomique ayant pour équation d’état :(P + n2 aV 2 )(V − nb) = nRToù a et b sont deux constantes. L’énergie interne de ce gaz s’écrit :U = nC V,m T − n2 aV + U 0où U 0 est une constante.3. (cours) Rappeler l’appellation et la signification physique de a et b. Quelle différence y a t-il entre aet b d’une part et R de l’autre ?3

4. Une mole d’argon subit la détente de Joule-Gay-Lussac. Montrer que la mesure de (T f − T 0 ) permetde déterminer a.5. Calculer a pour (T f − T 0 ) = −5, 4 K. La capacité thermique C V,m a la même valeur que celle du gazparfait monoatomique associé.Exercice n o 8 : Détente de Joule-Thomson d’un gaz réelUn gaz a pour équation d’état P (V − nb) = nRT (b : covolume du gaz) et son énergie interne ne dépendque de la température (ce gaz suit la première loi de Joule).1. Déterminer la relation qui lie les capacités thermiques molaires à pression constante C P,m et à volumeconstant C V,m à R.Nous supposons dorénavant que le rapport γ entre les capacités thermiques molaires à pression constanteet à volume constant est indépendant de la température T .2. Une mole de ce gaz subit une détente de Joule-Thomson qui fait passer sa pression de P 1 à P 2 . Calculerla variation ∆T correspondante.3. Calculer ∆T pour P 1 = 10 6 P a et P 2 = 10 5 P a.Données : R = 8, 31 J.mol −1 .K −1 ; γ = 1, 4 ; b = 38.10 −6 m 3 .mol −1 .Exercice n o 9 : Apport de chaleur par une résistance électriqueUn cylindre fermé horizontal est divisé en deux compartiments A et B de même volume V 0 par un pistoncoulissant librement sans frottement. A et B contiennent chacun une mole de gaz parfait à la pression P 0 et àla température T 0 . On pose γ = C P,mC V,m. Le piston, la surface latérale du cylindre et la surface de base S A ducompartiment A sont athermanes. La surface de base S B du compartiment B est diathermane. Le compartmentA est porté très lentement à la température T 1 à l’aide d’une résistance chauffante, le compartiment B resteà T 0 par contact thermique à la température T 0 .1. Exprimer les volumes V A , V B et la pression finale P f en fonction de T 1 , T 0 et V 0 correspondant à laposition d’équilibre du piston.2. Quelle est la variation d’énergie interne du gaz à l’intérieur de A et de B ? En déduire la variationd’énergie interne du système (A + B) (Notons que la résistance chauffante et le piston sont exclus du système).3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz en B ? Quel est le travail W reçu par B ?En déduire le transfert thermique Q 1 , Q 1 étant reçu par le thermostat. On exprimera W et Q 1 en fonction deT 0 , T 1 et R la constante des gaz parfaits.4. En considérant le système A, trouver le transfert thermique Q 2 fourni par la résistance chauffante enfonction de T 0 , T 1 , R et γ.Le système étant dans son état final, on suppose maintenant que la surface de base S B du compartimentB est également athermane et qu’une résistance chauffante placée en B apporte un transfert thermique Q 3 defaçon que le piston reprenne très lentement sa position d’équilibre initial.5. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment A ? Quelle est la pressionfinale d’équilibre Pf ′ ? Exprimer P f ′ en fonction de T 0, T 1 , V 0 , R et γ.6. Trouver les températures T A et T B dans chacun des compartiments, en fonction de T 0 , T 1 et γ.7. Quelles sont les variations d’énergie interne dans A, dans B et pour l’ensemble (A + B) en fonction deR, γ, T A , T 0 et T 1 ?8. Quel est le transfert thermique Q 3 fourni par la deuxième résistance chauffante ? Exprimer Q 3 enfonction de R, γ, T 0 et T 1 .Exercice n o 10 : Remplissage d’un réservoirOn considère l’atmosphère comme un réservoir infini d’air à la pression P 0 = 1 atm et à la températureT 0 = 300 K, supposées constantes. L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol −1 et decoefficient γ = 1, 4. On désire étudier différentes opérations de remplissage d’un réservoir R. Ce dernier a unvolume V fixe, une section S et une longueur l. Il est muni d’un piston P, mobile sans frottement, de massenégligeable. Une vanne permet de mettre ce réservoir en communication avec l’atmosphère ; elle possède uneouverture assez petite pour que l’air pénètre très lentement dans R. Le remplissage se termine lorsque l’air està la pression P 0 dans R.4

De façon à modéliser simplement l’opérationde remplissage, on propose le schéma cicontre.Le système (P 0 , V 0 , T 0 ) représente l’airqui aura pénétré dans R à la fin de l’opération,où il se trouvera dans tous les cas à lapression finale P 0 .V = 10 L ; s = 100 cm 2 ; l = 1 m.1. On étudie trois opérations partant de conditions initiales différentes. Dans cette question, le cylindreR et son piston sont adiabatiques.Déterminer T .Déterminer T 1 et T 2 .Le ressort a une longueur à vide l et une raideur k telle que P 0 s = kl2 . Déterminer T ′′ , le ressort étant comprimerà mi-longueur dans l’état final.2. Dans la réalité, l’hypothèse adiabatique pour le cylindre et le piston n’est réaliste que peu de tempsaprès la fin de l’opération. On considère donc qu’après avoir atteint les états précédents, le gaz qui a pénétrédans R se retrouve au bout d’un certain temps à la température T 0 de l’atmosphère. Exprimer et calculer lesquantités de chaleur Q 1 , Q 2 et Q 3 que le gaz échangera au cours de cette phase, dans les trois cas étudiésprécédemment, la vanne étant restée ouverte.3. Dans cette question, on ne suppose plus que l’ouverture de la vanne est petite. De ce fait, l’air pénètrede façon brutale dans R au cours du remplissage. Indiquer dans quel(s) cas il y a modification de la valeur(ou des valeurs) de la température atteinte en fin de remplissage.Exercice n o 11 : Bilans entropiquesPoint méthode : Un bilan entropique a pour objectif de déterminer si une transformation est réversible ounon en déterminant l’entropie créée S c lors de la transformation.Étape 1 : On détermine complètement les états initial et final associés à la transformation (1er principe,P V = nRT si GP, ...).Étape 2 : On calcule la variation d’entropie ∆S en mettant à profit le fait que S est une fonction d’état :∆S est indépendant du chemin suivi pour relier les états initial et final. On considère alors la transformationréversible fictive qui mène de l’état initial à l’état final pour pouvoir mettre à profit les identités thermodynamiques.Étape 3 : On calcule l’entropie échangée S e lors de la transformation (1er principe, ...). Si le système estthermiquement isolé alors il n’y a aucun calcul à faire, on a directement S e = 0.Étape 4 : On déduit des étapes 2 et 3 la valeur de l’entropie créée via S c = ∆S − S e et enfin on conclut :– si S c > 0 la transformation est irréversible,– si S c = 0 la transformation est réversible,– si S c < 0 vous avez fait une erreur dans le bilan entropique.5

1. (Cours) Déterminer l’expression de l’entropie d’une phase condensée supposée incompressible dans lecas où la capacité thermique C est indépendante de la température.2. Deux solides s 1 et s 2 , de même capacité thermique C, de températures différentes T 1 et T 2 , sont misen contact thermique. Le système global Σ est isolé de l’extérieur par une paroi rigide athermane. Faire unbilan entropique dans le cadre des hypothèses de la question précédente.3. (Cours) Déterminer, en fonction de T et V , l’expression de l’entropie d’un gaz parfait en supposantque γ = C P /C V est indépendant de la température.4. (Cours) Retrouver les trois formes de la loi de Laplace.5. Considérons n moles d’un gaz parfait à l’intérieur d’une enceinte diathermane,fermée par un piston de masse négligeable et de section s (cf schémaci-contre). L’état initial est P A = P 0 (équilibre mécanique avec l’atmosphère),T A = T 0 (équilibre thermique avec l’atmosphère) et V A = nRT 0 /P 0 (équationdes GP). On pose une masse M = P 0 s/g sur le piston. Quelle est la transformationsubie par le gaz ? Déterminer l’état final (P B , T B , V B ) et montrer que latransformation est irréversible.Exercice n o 12 : Détentes d’un gaz parfaitUne mole de gaz parfait est contenue dans un cylindre thermostaté à la température T 0 = 300 K. Onenvisage la détente de ce gaz, du volume V 1 au volume V 2 = 2V 1 , par trois méthodes différentes :– méthode n o 1 : on déplace de manière "lente" et progressive le piston qui clos le cylindre ;– méthode n o 2 : on réduit brusquement la pression sur le piston ;– méthode n o 3 : le cylindre est divisé en deux compartiments de même volume V 1 par une membrane,l’un des compartiments contient le gaz, l’autre est vide. On crève la membrane.Calculer pour chacun des trois procédés la variation d’entropie ∆S du gaz, l’entropie échangée S e etl’entropie créée S c .Exercice n o 13 : Transformation polytropiqueSoit une quantité de matière constituée de n moles d’un gaz supposé parfait et de rapport γ = C P,m /C V,mconstant. Ce gaz subit une évolution, dite polytropique, que nous pouvons caractériser de la manière suivante :à partir d’un état initial (P 0 , V 0 , T 0 ), le gaz évolue réversiblement vers un état final d’équilibre (P 1 , V 1 , T 1 ) detelle sorte que tout au long de la transformation la quantité P V k soit constante. k est un coefficient réel, positifou nul.1. Montrer que la différentielle de la fonction entropie dS peut se mettre sous la forme dS = nC dT T .Exprimer C en fonction de R, γ et k. Calculer alors la variation d’entropie du gaz en fonction de n, R, k, γ,T 0 et T 1 .2. Calculer directement le travail reçu par le gaz au cours de la transformation et retrouver, en appliquantl’identité thermodynamique, l’expression de C précédente.3. Dans chacun des cas suivants, indiquer quelle est l’évolution observée et évaluer C : a) k = 0, b) k = 1,c) k = γ et d) k → +∞.4. Donner l’allure en diagramme (P, V ), puis en diagramme (T, S), de chacune des transformations précédentesà partir du point représentatif de l’état initial.Exercice n o 14 : Fonction caractéristiqueSoit un système constitué de dioxyde de carbone. Ce gaz est caractérisé par la fonction S(U, V ) donnéepour une quantité de matière n = 1 mole de gaz :( Um + aVS(U, V ) = S m0 + C V,m lnmU m0 +aV m0)+ R ln ( V m − b )V m0 − bS m0 , U m0 et V m0 sont respectivement les valeurs de l’entropie, de l’énergie interne et du volume de cette molede gaz dans un état de référence arbitraire donné. C V,m est la capacité calorifique molaire à volume constantdu dioxyde de carbone, a et b sont des constantes propres au dioxyde de carbone et R est la constante desgaz parfaits. Données : C V,m = 28, 50 J.mol −1 .K −1 ; a = 0, 37 J.m 3 .mol −2 ; b = 4, 30.10 −5 m 3 .mol −1 etR = 8, 31 J.mol −1 .K −1 .6

1. Différentier l’expression de S(U, V ). Montrer qu’en identifiant l’expression trouvée à l’identité thermodynamiqueon obtient, d’une part, l’expression de l’énergie interne d’une mole de gaz étudié : U m (T, V ), et,d’autre part, l’équation d’état d’une mole du gaz : f(P, V m , T ) = 0.2. Deux moles de ce gaz subissent une détente de Joule-Gay-Lussac d’un volume initial V = 5, 00 dm 3et d’une température initiale T = 293, 00 K à un volume final 2V . Calculer les variations de température etd’entropie correspondantes.3. Comparer les résultats obtenus à ceux de la détente de deux moles de gaz parfait de même capacitécalorifique molaire à volume constant dans les mêmes conditions initiales.Exercice n o 15 : Entropie statistique et fil de laineDeux réservoirs identiques aux parois athermanes sont reliés par une vanne. Un gaz parfait se trouveinitialement dans un des deux réservoirs, la vanne étant fermée. On ouvre la vanne, le gaz subit alors unedétente de Joule-Gay-Lussac.1. (Cours) Déterminer la variation d’entropie du gaz parfait lors de la détente en fonction de N (nombrede molécules du gaz) et k B (la constante de Boltzmann).On suppose que toutes les molécules du gaz sont discernables et on appelle macroétat X = k (avec k comprisentre 0 et N) l’état macroscopique du système pour lequel il y a k molécules dans le premier réservoir et,par conséquent, N − k dans le second. Chaque façon d’obtenir le macroétat X = k est appelée microétat.Le nombre de microétats correspondant au macroétat X = k est appelé nombre de complexion du macroétatX = k, nous le noterons Ω(k).2. (Cours) Déterminer Ω(k).On admet que pour un système isolé tous les microétats ont une probabilité identique d’être réalisés.3. (Cours) Quelle est la probabilité pour que le macroétat X = k soit réalisé.L’entropie statistique est définie par S = k B ln Ω avec Ω le nombre de complexion de l’état considéré.4. Montrer que cette définition est compatible avec le résultat de la question 1 sachant que l’état finalest l’état le plus probable.Indication : ln(N!) ≃ N(ln(N) − 1) lorsque N → +∞ (formule de Stirling).On considère maintenant un fil de laine formé de N molécules indépendantes alignées. Chaque moléculepeut occuper l’un des deux états suivants :• état fondamental, de longueur L et d’énergie e 1 .• état excité, de longueur L − a et d’énergie e 2 . On pose e 2 − e 1 = ∆e > 0.Un macroétat est caractérisé par la longueur du fil de laine.5. Relier la longueur L(n) du fil au nombre n de molécules dans l’état fondamental.6. Exprimer en fonction de n l’énergie E(n) du fil.7. Déterminer Ω(n) le nombre de complexion du macroétat de longueur L(n).8. Exprimer alors l’entropie S(n) du fil. N étant un nombre grand devant n lui même grand devant 1,donner à l’entropie une forme approchée en utilisant la formule de Stirling.9. Le fil est en contact avec un thermostat à la température T . Lorsqu’un système est soumis à unetelle contrainte, on montre que son état d’équilibre est celui pour lequel la fonction F (n) = E(n) − T S(n)est minimale. Déterminer la valeur de n eq de n à l’équilibre ainsi que la longueur du fil. Quelle conséquencepratique peut-on tirer de cette étude ?Exercice n o 16 : Transformation d’un système diphaséOn donne le tableau de données thermodynamiquest = 80˚C t = 115˚Crelatif à l’eau ci-contre. Un récipient indilatable de volumeP sat (10 3 P a) 47, 39 169, 1V = 1, 00 m 3 contient une masse m = 1 kg d’eau v liq (m 3 .kg −1 ) 1, 029.10 −3 1, 056.10 −3à la température t 1 = 80˚C.v vap (m 3 .kg −1 ) 3, 407 1, 0371. Justifier le fait que le système est diphasé.h liq (kJ.kg −1 ) 334,9 482,52. Calculer les masses de phase liquide m liq et vapeurm vap .s liq (kJ.kg −1 .K −1 ) 1,075 1,473h vap (kJ.kg −1 ) 2644 2699On met le récipient en contact avec un thermostat à la s vap (kJ.kg −1 .K −1 ) 7,612 7,183température t 2 = 115˚C.3. Quel est l’état final du système ? Calculer les nouvelles masses m ′ liq et m′ vap.4. Calculer le transfert thermique Q reçu par le système.5. Calculer l’entropie créée S c .7

Exercice n o 17 : Vaporisation d’une masse d’eauUne masse m = 1 g d’eau est contenue sous forme liquide dans un cylindre thermostaté à la températuret 1 = 100˚C, sous la pression P 0 = 1 atm. Par déplacement très lent du piston jusqu’au volume V 1 , on réalisela vaporisation totale de l’eau.Données : L vap (100˚C) = 2, 25.10 3 kJ.kg −1 , M = 18 g.mol −1 .1. En assimilant la vapeur d’eau à un gaz parfait, déterminer et calculer le volume V 1 .2. Exprimer puis calculer le transfert thermique Q et le travail W échangés par l’eau.3. Exprimer puis calculer la variation d’entropie ∆S de l’eau, l’entropie échangée S e et l’entropie crééeS c .On place maintenant directement la même masse m = 1 g d’eau dans un récipient de volume V 1 initialementvide, thermostaté à la température t 1 = 100˚C.4. Exprimer puis calculer de nouveau Q ′ , W ′ , ∆S ′ , S ′ e et S ′ c.Exercice n o 18 : Vaporisation sur une cuve à mercureUn cylindre dont l’une des extrémités est fermée est retourné sur unecuve à mercure. La longueur de tube émergée est L = 1 m, sa sections = 1 cm 2 . La pression atmosphérique ambiante est P 0 = 1, 013.10 5 P aet la température est t 0 = 20˚C. On introduit une masse m = 74 mgd’éther, de masse molaire M = 74 g.mol −1 , dans le tube.Données : P sat (20˚C) = 0, 586.10 5 P a pression de vapeur saturante del’éther, µ = 13600 kg.m −3 masse volumique du mercure, g = 9, 8 m.s −2 .1. En supposant que l’éther est sous forme vapeur, assimilable à ungaz parfait, déterminer l’équation du second degré vérifiée par la hauteurh de mercure dans le tube.2. Calculer h et vérifier que la vapeur est bien sèche.On incline le tube en conservant une longueur émergée égale à L.3. Calculer la hauteur h ′ à partir de laquelle la première goutte d’éther apparaît. En déduire l’angle αcorrespondant.Exercice n o 19 : Machines dithermes (cours)On note T C et T F les températures des sources chaude et froide ainsi que respectivement Q C et Q F lestransferts thermiques entre les sources et le fluide. On notera également W le travail échangé avec l’extérieur.1. Appliquer les deux principes de la thermodynamique sur un cycle du fluide pour distinguer quatrezones différentes dans le diagramme (Q C , Q F ) appelé diagramme de Raveau.2. Faire un schéma où apparaissent les sens conventionnel et réel des transferts thermiques et du travaildans le cas :• d’un moteur ditherme,• d’une machine frigorifique ditherme,• d’une pompe à chaleur ditherme.3. Déterminer le rendement maximal du moteur ditherme et les efficacités maximales de la machinefrigorifique ditherme et de la pompe à chaleur ditherme.Exercice n o 20 : Pseudo-sourcesUn moteur ditherme réversible utilise comme sources de chaleur deux mêmes corps de masse m = 50 kget de capacité thermique c = 0, 5 J.K −1 .g −1 , dont les températures initiales sont t 10 = 100˚C et t 20 = 20˚C.Du fait des échanges thermiques entre l’agent thermique et les sources, les températures de ces dernièresvarient. On note dT 1 et dT 1 ces variations au cours d’un cycle. Celles-ci sont suffisamment faibles pour pouvoirconsidérer que sur un cycle, les températures des sources sont définissables et égales à T 1 et T 2 .1. Montrer que les températures des sources vérifient l’équation différentielle :dT 1T 1+ dT 2T 2= 02. Déterminer l’expression de la température finale T f des sources lorsque le moteur s’arrête de fonctionner.Calculer T f .3. Calculer le travail total W fourni par le moteur.8

4. Calculer le rendement global η du moteur. Le comparer au rendement η ′ du moteur qui fonctionneraitentre les deux mêmes sources idéales de chaleur.Problème : Étude dynamique d’un moteur dithermeUn moteur ditherme fonctionne entre deux sources selon un cyclequasi-statique (ci-contre), constitué de deux adiabatiques et de deuxisochores. Les températures des sources sont T 2 (source chaude) et T 1(source froide), avec T 2 > T 1 . Le cycle est décrit par n moles d’un gazparfait de capacité thermique molaire à volume constant C V constante.Pour ce gaz γ = C P /C V = 1, 4. Les différentes phases du cycle sont :• Phase AB : compression adiabatique quasi-statique de durée∆t ; ∆t est une grandeur variable ;• Phase BC : contact du gaz avec la source chaude T 2 pendantle temps ∆t ;• Phase CD : détente adiabatique quasi-statique de durée ∆t ;• Phase DA : contact du gaz avec la source froide T 1 pendantle temps ∆t ;À chaque cycle correspond un tour de l’arbre moteur.Chaque grandeur - pression P , volume V et température T - du gaz en un point du cycle sera indicée parla lettre de ce point. On notera a le rapport volumétrique a = V A /V B = V D /V C . On donne : T 1 = 300 K,T 2 = 1000 K, a = 10, n = 0, 05 mol et la constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K −1 .mol −1 .1. Bilans thermodynamiques. Pour cette question, on prendra T A = 350 K et T C = 900 K.a) Déterminer les transferts thermiques reçus par le gaz au cours de chaque phase en fonction des grandeursaux points A et C.b) Déterminer la variation d’entropie du gaz au cours de chaque phase.c) Déterminer l’entropie échangée au cours des phases BC et DA.d) Quelle est l’entropie créée au cours d’un cycle ? Application numérique. Commenter.Dans la suite du problème T A et T C ne sont plus fixées. Que les transferts thermiques aient lieu avec l’uneou l’autre des sources, on supposera que, pendant une durée dt infinitésimale, à l’instant t, ils sont de la formeδQ 2 = α(T 2 − T (t))dt au cours de la phase BC, et δQ 1 = α(T 1 − T (t))dt au cours de la phase DA, où T (t) estla température du gaz à t et α est une constante positive. On prendra α = 45 J.K −1 .s −1 pour les applicationsnumériques.2. De quelles grandeurs dépend α ?3. Les températures en A et C.a) Déterminer une relation entre T 1 , T A , T D , τ et ∆t. On posera τ = nC Vα. Que représente τ ?b) Déterminer une relation entre T 2 , T B , T C , τ et ∆t.c) Déduire des questions précédentes T C et T A en fonction de T 1 , T 2 , τ, a, γ et ∆t.4. Les cycles réels limites.a) Quelles sont les limites de T A et de T C lorsque ∆t tend vers zéro ? On les notera T A ′ et T C ′ . Quelle relationexiste-t-il entre T A ′ et T C ′ ? Commenter.b) Quelles sont les limites de T A et de T C lorsque ∆t tend vers l’infini ? On les notera T A ′′ ′′et T C .c) Représenter graphiquement, dans le diagramme (P, V ), les deux cycles limites (pour ∆t tendant vers zéro,puis pour ∆t tendant vers l’infini) ; on fera figurer impérativement les isothermes T 1 et T 2 sur le graphique.d) Quel est le travail fourni par le moteur, noté W f min dans le cas où ∆t tend vers zéro ?e) Quel est le travail fourni par le moteur, noté Wmax f dans le cas où ∆t tend vers l’infini ? Exprimer Wmax f enfonction de T 1 , T 2 , a, n, C V . Dans ce cas le moteur est réversible ? Donner le valeur numérique de Wmax.ff) Que pensez-vous de la puissance réelle du moteur dans chacun de ces cas limites ?5. La puissance du moteur.a) Déterminer le travail fourni par le moteur, W f , au cours d’un cycle, en fonction de Wmax, f ∆t et τ. Endéduire l’expression de la puissance P du moteur.b) Représenter graphiquement la puissance P du moteur ainsi que le travail fourni, W f , en fonction de ∆t.c) Critiquer la puissance trouvée pour ∆t tendant vers zéro. Déterminer une expression de la valeur supérieurede la puissance du moteur, notée P max .9