Licence M.A.S.S. Cours d'Alg`ebre S4 - samos-matisse

Licence M.A.S.S. deuxième année: Algèbre S4 12
{
A = (aij) matrice d’ordre (n,p).
S 0 ⇐⇒ A.X = 0 avec
X vecteur colonne des x i.
L’ensemble solution de S 0 est donc un sous-espace vectoriel S 0 = {X,A.X = 0}. Si u application linéaire de
IR p dans IR n de matrice A dans une base quelconque, alors S 0 = ker(u) =⇒ dimS 0 = p−rg(A) et rg(A) = r
est déterminé par l’ordre d’une plus grande matrice carrée A r extraite de A de déterminant non nul.
Les équations et variables utilisées dans A r sont appelées principales (les autres sont appelées non-principales
et S 0 s’exprime en écrivant les r variables principales en fonction des p−r variables non-principales.
2. Systèmes avec second membre
⎧
a ⎪⎨ 11x 1 + a 12x 2 + ··· + a 1px p = b 1
a 21x 1 + a 22x 2 + ··· + a 2px p = b 2
Soit le système S :
⎪⎩
: : : : : : :
a n1x 1 + a n2x 2 + ··· + a npx p = b n
C’est un système de n équations et p inconnues. On a:
{ A = (aij) matrice d’ordre (n,p).
S ⇐⇒ A.X = B avec X vecteur colonne des x i.
B vecteur colonne des b i
(a) Si n = p et det(A) ≠ 0: Système de Cramer.
Le système S admet une unique solution S = X 0, où X 0 = A −1 .B est un vecteur de IR p .
(b) Si rg(A) = r < p alors ou S = ∅, ou S s’écrit à l’aide des p−r variables non-principales.
Exemple.
{ x + y = 0
Résoudre les systèmes (S 1) : −x + y = 3
{ x + y + z =
x + y = −2
0
(S 3) : −x + y + z = 3 .
x + y − z = −2
, (S 2) :
{
x + y + z = 0
−x + y + z = 3
Résolution de systèmes homogènes de suites numériques récurrentes linéaires
1. Systèmes homogènes
⎧
u n+1 = a 11u n + a 12v n + ··· + a 1pz n
⎪⎨ v n+1 = a 21u n + a 22v n + ··· + a 2pz n
Soit le système (S H) :
⎪⎩ .
.
.
.
.
.
.
z n+1 = a p1u n + a p2v n + ··· + a ppz n
C’est un système de p équations et p inconnues. On a:
et
(S H) ⇐⇒ Equation matricielle X n+1 = A.X n avec
{
A = (aij) matrice d’ordre (p,p).
X n = t (u n,v n,···,z n).
Proposition. L’ensemble solution de (S H) est un sous-espace vectoriel H = {A n .X 0,X 0 ∈ IR p } de dimension
p.
Conséquence.
Si A est diagonalisable (ou si l’on sait calculer A n ), alors on connaît les expressions de u n, v n,..., z n en fonction
de n et de u 0, v 0 et z 0.
Exemple.
Déterminer l’expression générale des suites (u n) n∈IN et (v n) n∈IN définies par :
{
un+1 = 3u n +v n
v n+1 = −2u n −v n
avec u 0 = 1, v 0 = 0.
2. Cas des suites récurrentes linéaires
On suppose que (u n) est une suite réelle suivant l’équation de récurrence u n+p+a p−1u n+p−1+···+a 0.u n = 0,