Licence M.A.S.S. Cours d'Alg`ebre S4 - samos-matisse

Licence M.A.S.S. deuxième année: Algèbre S4 20
3.3 Convergence des séries de Fourier
Définition. Pour f ∈ C 0pm ([−π,π]),
• La série de Fourier associée à f est S f (x) := a 0(f)
∞∑
+ (a k (f)cos(kx)+b k (f)sin(kx)) (Attention!
2
k=1
cette série n’existe pas forcément... même si f est continue, mais on peut montrer qu’elle existe presque
partout).
• Une fonction f sur [−π,π] est dite développable en série de Fourier si f(x) = S f (x) pour tout x ∈
[−π,π].
Théorème (Théorème de Dirichlet). Si f ∈ C 1pm ([−π,π]) (donc de classe C 1 par morceaux sur [−π,π])
alors:
1. La série S f (x) de Fourier de f converge sur [−π,π].
2. ∀x ∈ IR, on a S f (x) = f(x+ )+f(x − )
, où f(x − ) (resp. f(x + )) désigne la limite à gauche (resp. à
2
droite) de f en x.
Proof. Trop difficile à montrer en quelques lignes!
Exercice.
Appliquer ce résultat à la fonction f telle que f(x) = x sur [−π,π]. En déduire la valeur de ∑ ∞
k=1 sink
k .
Théorème. Si f ∈ C 1pm ([−π,π]) et continue sur [−π,π] alors:
1. Les séries ∑ |a k (f)| et ∑ |b k (f)| sont convergentes.
2. La série S f (x) de Fourier de f converge normalement (donc uniformément) vers f sur [−π,π], c’està-dire
que pour tout x ∈ [−π,π],
f(x) = a 0(f)
2
+
∞∑
(a k (f)cos(kx)+b k (f)sin(kx)).
k=1
Proof. a/ On a |a n(f ′ )| = |a n(f)|/n et |b n(f ′ )| = |b n(f)|/n. Ainsi, ∑ N
k=1 (|a k(f)| + |b k (f)|) = ∑ N
k=1 (|a k(f)| + |b k (f)|)/k.
∑ (∑ N
Mais d’après Cauchy-Schwartz,
k=1 (|a N
k(f)| + |b k (f)|)/k ≤ 1/k2) 1/2( ∑ ) N
k=1 2
k=1 |a k(f)| 2 + |b k (f)| 2 1/2 ∑ ∑ ) . Ainsi en
utilisant le Théorème de Bessel et le fait que 1/k 2 ∞
converge, on a bien montré que
k=1 (|a k(f)|+|b k (f)|) converge.
b/ C’est juste un cas particulier du Théorème de Dirichlet lorsque f est continue (et alors f(x) = (f(x + )+f(x − ))/2).
Exercice.
Appliquer ce résultat à la fonction f telle que f(x) = max(0,sinx) sur [−π,π].
Conséquence.
Si on appelle E l’ensemble des fonctions continues et de classe C 1 par morceaux sur [−π,π], alors la famille
e = (e k ) k∈IN telle que e 0 = 1 et pour k ∈ IN ∗ , e 2k = √ 2 cos(kx) et e 2k−1 = √ 2 sin(kx) est une base
orthonormale de E. On a bien alors f = ∑ k∈IN < f,e k > e k .
Toute cette étude est également aisément transposable à un intervalle [a,b] (au lieu de [−π,π]) en remplaçant
cos(kx) et sin(kx) par cos( 2π 2π
b−a
kx) et sin(
b−a kx)
Remarque.
La convergence des séries de Fourier est restée longtemps mystérieuse. Kolmogorov (mathématicien
russe) avait montré en 1925 que l’on peut construire une fonction intégrable dont la série de Fourier diverge
presque partout. Il a fallu attendre Carlesson (mathématicien suédois) en 1966 pour que soit montrée la
convergence (presque partout) des séries de Fourier pour des fonctions continues (et plus généralement pour
des fonctions de carrés intégrables).