Licence M.A.S.S. Cours d'Alg`ebre S4 - samos-matisse

Licence M.A.S.S. deuxième année: Algèbre S4 6
• On dit que M est une matrice diagonale lorsque m ij = 0 dès que i ≠ j.
• On dit que M est une matrice triangulaire supérieure ( resp. inférieure) lorsque m ij = 0 pour i < j (resp.
j < i).
• La trace de la matrice M est la somme des termes diagonaux, soit Trace(M) = m 11 +···+m nn.
Exemple.
Donner des exemples de matrices symétriques, diagonales et triangulaires supérieures, et calculer leurs traces.
Définition. On définit les opérations algébriques suivantes sur les matrices :
• Multiplication par une constante : pour A = (a ij) ∈ M n,p(C ⏐ ) et λ ∈ C ⏐ , alors λ.A = (λ.a ij) ∈ M n,p(C ⏐ ).
• Addition : pour A = (a ij) et B = (b ij) deux matrices de M ⏐ n,p(C), on définit A+B = (a ij +b ij), matrice de
M ⏐ n,p(C).
( p∑
)
ik b kj
k=1a
• Multiplication : pour A = (a ij) ∈ M n,p(C ⏐ ) et B = (b ij) ∈ M n,p(C ⏐ ), on définit A.B =
Exemple.
de M n,q(C ⏐ ).
, matrice
Donner deux exemples de matrices d’ordre (2,3), puis d’ordre (2,2) et enfin d’ordre (3,1) et effectuer leurs
additions et multiplications lorsque cela est possible.
Remarque.
Attention, même si les matrices A et B sont carrées, on n’a pas en général, A.B = B.A.
Propriété.
• Pour A,B,C ∈ M n,p(C ⏐ ), alors A+B = B +A et A+B +C = A+(B +C) = (A+B)+C.
• Pour A ∈ M n,p(C ⏐ ), B ∈ M p,q(C ⏐ ) et C ∈ M q,r(C ⏐ ), alors A.B.C = (A.B).C = A.(B.C).
• On a t (A+B) = t A+ t B et t (A.B) = t B. t A.
Cas des matrices carrées
Définition. • On appelle matrice identité d’ordre n la matrice diagonale I n telle que :
⎛ ⎞
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
I n = ⎜
⎝
.
⎟
. ···
⎠ .
.
0 0 ··· 1
• Soit M ∈ M n(C ⏐ ). S’il existe une matrice N telle que M.N = N.M = I n, on dit que M est inversible et
N = M −1 est sa matrice inverse.
Exemple.
Déterminer, si elles existent, les matrices inverses de A =
(
1 2
−1 1
)
, B =
(
2 0
0 2
)
et C =
(
−1 2
2 −4
Propriété. Si A ∈ M n(C ⏐ ) et B ∈ M n(C ⏐ ) sont inversibles alors A.B et B.A sont inversibles et (A.B) −1 = B −1 .A −1 .
1.4.2 Matrices complexes et applications linéaires
Définition. Soit u ∈ L(E,F), où E et F sont deux e.v. de dimensions finies et de bases respectives e = (e 1,..,e p) et
n∑
f = (f 1,..,f n). On appelle matrice de u dans les bases (e,f) la matrice Mat(u,e,f) = (m ij) telle que u(e j) =
pour tout j ∈ {1,2,..,p}, ce que l’on peut encore noter :
i=1
)
.
m ijf i
Mat(u,e,f) =
u(e 1) u(e 2) ··· u(e p)
⎛
⎞
m 11 m 12 ··· m 1p
m 21 m 22 ··· m 2p
⎜
⎝
.
⎟
. ···
⎠
.
m n1 m n2 ··· m np
f 1
f 2
.
f n