Licence M.A.S.S. Cours d'Alg`ebre S4 - samos-matisse

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Licence M.A.S.S. deuxième année: Algèbre S4 18 Propriété. Soit (E,< .,. >) un espace préhilbertien et soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie tel que (e 1 ,···,e p ) base orthonormale de F. Alors pour tout a ∈ E, p F (a) = ∑ p k=1 < a,e k > e k et p F ⊥(a) = a− ∑ p k=1 < a,e k > e k . Proof. On sait tout d’abord que comme p F (a) ∈ F alors p F (a) = ∑ p i=1 a ie i . Pour que p F (a) soit bien le projeté orthogonal de a sur F, alors a−p F (a) ∈ F ⊥ , ce qui est équivalent au fait que < a−p F (a),e i >= 0 pour tout i = 1,···,p. En conséquence comme la base (e 1 ,···,e p) est orthonormale, < a,i > −a i < e i ,e i >= 0 pour tout i = 1,···,p, donc a i =< a,e i > et ainsi p F (a) = ∑ p i=1 < a,e i > e i . Exercice. SoitE = IR n muniduproduitscalairecanonique, X = (x 1 ,···,x n ) ∈ E etY = (y 1 ,···,y n ) ∈ E. Déterminer a 0 ∈ IRtelquea 0 = inf { ∑ n ∑ n (y i −a) 2 },puis(a 1 ,b 1 ) ∈ IR 2 telsque(a 1 ,b 1 ) = inf a∈IR (a,b)∈IR 2{ (y i −(a·x i +b)) 2 }. i=1 Propriété. Soit (E,< .,. >) un espace préhilbertien et soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Alors l’application x ∈ E ↦→ p F (x) ∈ F est une application linéaire et vérifie ‖p F (x)‖ ≤ ‖x‖: elle est donc continue. Proof. Du fait de l’écriture de la projection orthogonale de p F dans une base orthonormale de F, on en déduit que p F est une application linéaire (du fait de linéarité du produit scalaire). DE plus, on a ‖x‖ 2 = ‖p F (x)‖ 2 +‖p F ⊥(x)‖ 2 d’après Pythagore, d’où ‖p F (x)‖ ≤ ‖x‖. i=1 3 Une application en analyse: les séries de Fourier 3.1 Introduction L’origine des séries de Fourier se trouve à la fin du XVIIIème siècle et au début du XIXème siècle avec la résolution de problèmes de physique: les oscillations d’une corde (étudié notamment par Bernoulli) et la conductiondelachaleur(étudiénotammentparFourier). Danslesdeuxcas, despolynômestrigonométriques permettent de trouver des solutions à ces équations. En termes mathématiques, les séries de Fourier donnent un exemple intéressant d’approximation convergente d’une fonction suffisamment régulière sur un compact par une suite de polynômes trigonométriques. Nous nous intéresserons plutôt ici à une vision algébrique des séries de Fourier, permettant d’obtenir une base orthonormale dans un espace de dimension infinie. Ici nous nous placerons de le cadre des fonctions à valeurs réelles, mais il est possible de tout écrire à l’aide d’exponentielles complexes pour des fonctions à valeurs complexes. 3.2 Coefficients de Fourier Définition. Soit f ∈ C 0pm ([−π,π]), ensemble des fonctions réelles continues par morceaux sur [−π,π]. On peut définir: • Les coefficients de Fourier réels de f: a n (f) := 1 π pour n ∈ IN. • Le polynôme trigonométrique d’ordre n associé à f: S (n) f (x) := a 0(f) 2 Exercice. Calculer les coefficients de Fourier de f telle que f(x) = x sur [−π,π]. Propriété. Pour f ∈ C 0pm ([−π,π]), • si f est paire, on a b n (f) = 0 et a n (f) = 2 π • si f est impaire, on a a n (f) = 0 et b n (f) = 2 π ∫ π 0 ∫ π ∫ π −πf(t)cos(nt)dt et b n (f) := 1 π f(t)cos(nt)dt. 0 f(t)sin(nt)dt. + ∫ π −π f(t)sin(nt)dt n∑ (a k (f)cos(kx)+b k (f)sin(kx)). k=1
Licence M.A.S.S. deuxième année: Algèbre S4 19 Proof. La preuve est immédiate. Par exemple, si f est paire avec le changement de variable t ′ = −t, ∫ a n(f) := 1 π ∫ f(t)cos(nt)dt = 1 0 ∫ f(t)cos(nt)dt+ 1 π f(t)cos(nt)dt π π π −π −π −π ∫ = − 1 0 ∫ f(−t ′ )cos(−nt ′ )dt ′ + 1 π ∫ f(t)cos(nt)dt = 1 π ∫ f(t ′ )cos(nt ′ )dt ′ + 1 π f(t)cos(nt)dt π π π π π −π 0 −π ∫ π = 2 f(t)cos(nt)dt. π 0 ∫ Proposition. Si f ∈ C 0 ([−π,π]) et < f 1 ,f 2 >= 1 π 2π −π f 1(t)f 2 (t)dt, alors S (n) f est la projection orthogonale de f sur P n , le sous-espace vectoriel de C 0 ([−π,π]) engendré par (e k ) 0≤k≤2n , où e = (e k ) k∈IN est telle que e 0 = 1 et pour k ∈ IN ∗ , e 2k = √ 2 cos(kx) et e 2k−1 = √ 2 sin(kx), et ainsi ∀P ∈ P n , ‖f −S (n) f ‖ ≤ ‖f −P‖. Proof. On montre d’abord que la famille e = (e k ) k∈IN est une famille orthonormale pour le produit scalaire (pour ce faire, on utilise des formules trigonométriques comme 2cos(p)cos(q) = cos(p+q)cos(p−q) ou bien 2sin 2 x = 1−cos(2x)). Ensuite, on utilise la formule de la projection sur une base orthonormale: p n(f) = ∑ 2n j=0 < f,e j > e j . Enfin, par définition de la projection orthogonale, ∀P ∈ P n, ‖f −S (n) f ‖ ≤ ‖f −P‖. Exercice. Calculer les coefficients de Fourier de S (n) f . Proposition. Si f ∈ C 0pm ([−π,π]), alors les séries ∑ |a k (f)| 2 et ∑ |b k (f)| 2 sont convergentes. Proof. ∑ On a ‖S (n) ‖ f 2 2n = j=0 < f,e j > 2 = a 2 0 (f)/4 + 1/2∑ n j=1 a2 n (f) + b2 n (f). ∑ Mais pour ∑ tout n ∈ N, grâce à Pythagore, ‖p n(f)‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 < ∞ car f continue par morceaux sur [−π,π]. Donc les séries a 2 n (f) et b 2 n (f) convergent. Proposition (Théorème de Riemann-Lebesgue). Si f ∈ C 0pm ([−π,π]), alors a n (f) −→ n→+∞ 0 et b n(f) −→ n→+∞ 0. Proof. Comme f est continue par morceaux, alors ∑ a 2 n(f)+b 2 n(f) < ∞ d’où le résultat. Théorème (Théorème de Bessel). Si f ∈ C 0 ([−π,π]) alors: 1 4 |a 0(f)| 2 + 1 2 +∞∑ k=1 (|a k (f)| 2 +|b k (f)| 2 ) = 1 2π ∫ π −π |f(t)| 2 dt. Proof. Il est clair d’après la proposition précédente que ‖p n(f)‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 et que ceci est vrai également quand n → ∞. Pour montrer l’égalité, il nous faut utiliser un résultat annexe, l’approximation uniforme de toute fonction continue par un polynôme trigonométrique (on connaît mieux un tel résultat pour les polynômes; c’est le Théorème de Stone-Weierstrass). Donc pour tout f continuesur [−π,π], il existe une suite (Q n(f)) n telle quepourlim n→∞‖f−Q n(f)‖ ∞ = lim n→∞sup x∈[−π,π] |f−Q n(f)| = 0. Donc pour ε > 0, il existe N 0 ∈ IN, tel que pour tout n ≥ N 0 , ‖f − Q n(f)‖ ∞ ≤ ε. Mais ‖g‖ ∞ ≥ ‖g‖ (avec la norme associée au produit scalaire). Or ‖f − p n(f)‖ ≤ ‖f − Q n(f)‖ car p n(f) est la projection orthogonale de f sur P n et Q n(f) ∈ P n. On en déduit donc que ‖f − p n(f)‖ ≤ ε: il y a bien convergence de p n(f) vers f pour la norme associée au produit scalaire (convergence quadratique). Exercice. Appliquer ce résultat à la fonction f telle que f(x) = x sur [−π,π]. En déduire la valeur de ∑ ∞ k=1 1 k 2 . Théorème (Théorème de Parceval). Si f, g ∈ C 0 ([−π,π]) alors: 1 4 a 0(f)a 0 (g)+ 1 2 +∞∑ k=1 (a k (f)a k (g)+b k (f)b k (g)) = 1 2π ∫ π −π f(t)g(t)dt =< f,g > . Proof. On utilise le fait que xy = 1 2 (x2 +y 2 −(x−y) 2 ). On applique le Théorème de Bessel ci-dessus pour les fonctions f, g et f −g et comme on a une convergence absolue on peut sommer les séries.
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