Licence M.A.S.S. Cours d'Alg`ebre S4 - samos-matisse

Licence M.A.S.S. deuxième année: Algèbre S4 28
Définition. Soit E un espace vectoriel de dimension n et Φ une forme quadratique sur E. On appelle
signature de Φ le couple signature(Φ) = (p,q) ∈ IN 2 tel que p (respectivement q) est le nombre de valeurs
propres de M e (Φ) strictement positives (respectivement négatives).
Propriété. Si signature(Φ) = (p,q) est tel que p+q < n alors Φ est dégénérée.
Exemple.
Reprendre l’exemple des formes bilinéaires symétriques de IR 3 , ψ 1 (x,y) = x 1 · y 1 + x 2 · y 2 + x 3 · y 3 et
ψ 2 (x,y) = x 2 ·y 2 −3x 1 ·y 2 .
Propriété. Il existe un autre procédé pour réduire une forme quadratique dans un espace euclidien directement
à partir de son expression sous la forme Φ(x) = ∑ 1≤i≤j≤n α ij x i x j : le procédé d’orthogonalisation de
Gauss. Celui-ci consiste à rassembler tous les termes se rapportant à x 1 , puis d’écrire
α 11 x 2 1 +
n∑ (
α 1j x 1 x j = α 11 x1 +
j=2
On recommence ensuite avec x 2 et ainsi de suite...
6.4 Application aux coniques
n∑
j=2
α 1j
) 2 ( ∑
n α 1j
) 2.
x j − x j
2α 11 2α 11
Soit (0,⃗i,⃗j) un repère orthonormé du plan. Soit (a,b,c,d,e,f) ∈ IR 6 . On appelle conique C un l’ensemble
des points M(x,y) tels que :
On associe à C la forme quadratique :
j=2
a·x 2 +2b·x·y +c·y 2 +d·x+e·y +f = 0.
Φ(x⃗i+y⃗j) = a·x 2 +2b·x·y +c·y 2 .
Après avoir réduit la forme quadratique (on détermine ses valeurs propres λ 1 et λ 2 ) par un changement de
variable lié à un changement de base orthonormale, puis avec un changement de repère, si λ 1 ≠ 0 et λ 2 ≠ 0,
on en arrive à :
(M(x ′ ,y ′ ) ∈ C) ⇐⇒ λ 1 ·(x ′ ) 2 +λ 2 ·(y ′ ) 2 +k = 0, avec k ∈ IR,
où x ′ et y ′ sont des fonctions affines de x et y. Alors :
1. si signature(Φ) = (2,0) ou signature(Φ) = (0,2), C peut être une ellipse (k < 0), un point (k = 0) ou
∅ (k > 0).
2. si signature(Φ) = (0,2), C peut être une ellipse (k > 0), un point (k = 0) ou ∅ (k < 0).
3. si signature(Φ) = (1,1), C peut être une hyperbole (k ≠ 0) ou deux droites (k = 0).
4. si signature(Φ) = (1,0), ou signature(Φ) = (0,1), on reprend la réduction de la forme quadratique et
on montre que C peut être une parabole, deux droites parallèles, une droite ou ∅.
6.5 Application à l’optimisation des fonctions à plusieurs variables