Corrigé des exercices autour du calcul sur les nombres ... - IUFM

L3 SHS – Pré CRPE - MathématiquesCalcul sur les nombres : corrigé des exercicesCalcul sur les nombres (entiers relatifs et rationnels)Exercice 1a. 1-(2+3-4) = 0 b. (2x5)- (3x4) = -2(1-2) + (3-4) = -2 2 x (5-3) x 4 = 161-(2+3)-4 = -8 (2x5-3) x 4 = 28Exercice 22a – (b + 4c) = -22 – (4-10) = -22-(-6) = -22+6 = - 16(a + b) -2c = (-11+4) +5 = -7 + 5 = -2a - 2bc = -11+20 = 9(a – b) 5c = (-11-4) x 5 x (-2,5) = -15 x 5 x (-2,5) = 187,5Exercice 3La distance entre le rez-de-chaussée et le 4 ème sous-sol est 4.Lorsque l’ascenseur tombe en panne, il a parcouru une distance égale à 2 3 x 4 = 8 3depuis le rez-de-chaussée.83 = 6 3 + 2 3 = 2 + 2 3 .L’ascenseur aura parcouru une distance supérieure à celle qui sépare deux étages mais inférieure à celle quisépare trois étages. Il est donc arrêté entre les niveaux -2 et -3.Exercice 4a. L’opposé de 7 est – 7. Le carré de l’opposé de 7 est (- 7)² = 49. L’inverse de 49 est 149 .b. Le carré de 7 est 49. Son inverse est 1 49 . L’opposé est - 1 49 .c. L’opposé de 7 est – 7. L’inverse de – 7 est – 1 7Exercice 5Soit a, b, c, d, e et f les six nombres recherchés :. Le carré de ce nombre est149 .fe 18c 6 d0,4 a -3 b-3 x a = 6 ⇔ a = - 6 3 = -20,4 x a = c ⇔ 4 10x a = c. Comme a = -2,8c = -10 = - 0,86xd = 18 ⇔ d = 18 6 = 3Comme d = 3, - 3 x b = 3, on en déduit que b = - 1Comme c = -0,8 on en déduit que e = -0,8 x 6 = - 4,8Comme e = - 4,8 on en déduit quef = - 4,8 x 18 = - 86,4Muriel Fénichel – Corinne RosambertMars 20111

Exercice 6a. 1 + y = 3 ⇔ y = 3 − 1 = 12 4 4 2 4b.1 5 5 10c. − xu = ⇔ u = − 2x = −2 3 3 3d.3 5 5 3 5 6 1− + t = − ⇔ t = − + = − + =4 8 8 4 8 8 83 2− xr = −9 ⇔ r = − x − 9 = 62 3Exercice 7a.35 +1+432 +4234 23 4 23 34= 1+ = 1+ x = 1+ =11 4 11 11 114111−2 −b. Calculons d’abord A= 3 , puis B = 4 .112 +1+431 21 71−2 −A= 3 3 2 4 8= = x = B = 4 7 3 21= 4 =1 9 3 9 27x =1 4 4 4 162 +1+4 43 3Calculons le produit AxB.AxB = 8 27 x 2116 = 32 3x7 7 7x = =3 4 23 2 3 x2 18Exercice 8Première procédure1 1 1 5 6Les ouvriers et les employés représentent la fraction 1-( + ) de l’effectif total soit 1-( + ) = 1- 60 12 60 60 60= 1- 101 = 109 de l’effectif total.25 2Les ouvriers représentent les de ce reste et les employés représentent donc les de ce reste, soit27272 9 1 x de l’effectif total, c’est –à-dire de l’effectif total. Comme il y a 20 employés, l’entreprise compte 15 fois27 10 15plus de personnes soit 15x20 = 300.Procédure algébrique :Soit x l’effectif total de l’entreprise. L’effectif total est égal à la somme des effectifs de chaque catégorie depersonnel :xL’effectif des cadres est égal à . 60L’effectif des techniciens est égal à 12x .x xLe reste (x - - ) comprend les ouvriers et les employés.60 1225 25 x xL’effectif des ouvriers correspond à du reste soit à (x - - ) et il reste 20 employés.2727 60 12x x 25 x x x 5 x 25 x 5 xOn a donc x = + + (x - - ) + 20 ⇔ x = + + (x - - ) +2060 12 27 60 12 60 60 27 60 60)En multipliant les deux membres de l’égalité par 60 et 27 soit par 1620, on obtient l’égalité suivante :Muriel Fénichel – Corinne RosambertMars 20112

1620x = 27x +135x + 25 (60x – x – 5x) + 32400 ⇔ 1620x = 27x +135x + 1500x – 25x – 125x + 32 400⇔ 1620x – 27x -135x -1500x +25x +125x = 32 400 ⇔ 108x= 32400 ⇔ x = 300L’entreprise compte 300 personnes.Calcul sur les puissancesExercice 9Il y a 10 choix possible pour le premier vers. Pour chacun de ces dix choix possibles pour le premier vers, il y a dixchoix possibles pour le deuxième vers, soit 10x10 choix possibles pour les deux premiers vers.En continuant le raisonnement, on trouve alors 10x10x10x…x10 (produit de 14 termes égaux à 10) choix possiblespour lire un poème. Ce nombre s’écrit 10 14 et vaut 100 000 000 000 000 soit cent mille milliards.Le titre de l’ouvrage est « Cent mille milliards de poèmes ».Exercice 10a. A l’issue de l’étape a) le rectangle est composé de 2x3 feuilles de pâte.b. A l’issue de l’étape b) le rectangle est composé de 2x3x3 feuilles de pâte.c. A la fin de la première répétition des deux étapes précédentes, on obtient un rectangle composé de (2x3X3) 3 x3 feuilles. En réitérant une nouvelle fois ces deux étapes, on obtient un rectangle composé de(2x3x3x3x3)x 3x 3 feuilles soit de 2 x 3 6 feuilles. Comme 2 x 3 6 = 1458, un mille feuilles a bien plus que millefeuilles.Exercice 112x106x102721= 1 3 x 10 27 – 21 =1313 x 106Exercice 12a. Vénus : 105 x 10 6 = 1,05 x 10 8 Saturne : 1 425 x 10 6 = 1,425 x 10 9Mars : 2 250 x 10 5 = 2,25 x 10 8 Terre : 15 x 10 7 = 1,5 x 10 8Jupiter : 78 x 10 7 = 7,8 x 10 8 Pluton : 5 900 x 10 6 =5,9 x 10 9b. Pour ranger ces nombres dans l’ordre croissant, on commence par les plus petits en regardant le plus petitexposant de la puissance de 10 : ici 8. Il suffit alors de ranger par ordre croissant les nombres décimaux désignantle premier facteur du produit :1,05 < 1,5 < 2,25

1 1x 3 3b. = = ;3 3x 3 32 2 2x 7 14= = = ;7 7 7x 7 75=10Exercice 145x 10 50=10x 10 105 2=10=22a. Affirmation fausse :b. Affirmation fausse : ( ) 2−2 2² 20,04 = 2²x10 = = = 0,210² 108 1610 = 10 d’où1610 = 10c. Affirmation vraie : 1 x 200 = 1 x 2x10² = 1 x10x 2 = 5 2 = 25x 2 = 25x2 = 502 2 2d. Affirmation fausse : ( 3 - 2 )² = ( 3 ) ² − 2x 3x 2 + ( 2 ) ² = 3 + 2 − 2 6 = 5 − 2 6e. Affirmation vraie : ( 3 − 2 ) x ( 3 + 2 ) = ( 3 ) ² − ( 2 ) ² = 3 − 2 = 18f. Affirmation fausse :4180 − 80 = 3²x2²x5 − 2 x5 = 3x2x 5 − 2²x 5 = 2x 5 = 20Exercice 15La mesure de la longueur du côté est est 15 10 = 15x15x15x15x15x15x15x15x15x 15 =15 x15 x 15x15x 15x15x 15x15x 15 x15= 15²x 15²x 15²x 15²x 15 ²= 15 x15x15x15x15 = 15 5 .Muriel Fénichel – Corinne RosambertMars 20114

Synthèse autour des règles de calcul sur les nombresLes conventions• Dans une suite de calculs sans parenthèses, les multiplications et les divisions s’effectuent avant lesadditions et les soustractions : 4x3 + 16 = 12 + 16 = 28• Dans une suite de calculs avec parenthèses, on doit effectuer d’abord les calculs situés entre lesparenthèses. 4 x (3 + 16) = 4x19 = 76Les règles générales• Lorsqu’une parenthèse est précédée du signe +, on peut supprimer les parenthèses.7 + (28 – 4) = 7+28 – 4 = 35 – 4 = 31• Lorsqu’une parenthèse est précédée du signe «–», on peut la supprimer après avoir changé chaque signeécrit dans la parenthèse.7 – (28 – 4) = 7 – 28 + 4 = – 21 + 4 = – 17Les écritures algébriques de ces règles :a + (b + c) = a + b + ca + (b – c) = a + b – ca – (b + c) = a – b – ca – (b – c) = a – b + cUtiliser les propriétés des opérations pour calculerLa distributivité de la multiplication sur l’addition et sur la soustraction est une propriété liant ces deux opérationsqui est très utilisée en calcul mental et en calcul algébrique.Soient trois nombres réels a, b et c : a x (b + c) = a x b + a x ca x (b – c) = a x b – a x c(a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x dou encore en supprimant le signe x, ce qui sera utile ensuite dans lorsque les calculs porteront sur des expressionsfaisant apparaître l’inconnue par le lettre x :a (b + c) = ab + aca (b – c ) = ab – ac(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bdL’égalité est une relation symétrique, en conséquence les égalités ci-dessus s’utilisent soit pour développer uneexpression soit pour factoriser une expression.Cas particuliers : les identités remarquables.On désigne sous le nom de « produits remarquables » ou « d’identités remarquables » le développement de troisexpressions : carré d’une somme de deux termes (a + b) 2 , carré d’une différence de deux termes (a – b) 2 , produitd’une somme de deux termes par la différence des deux mêmes termes (a + b)(a - b).(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2- (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2- (a + b)(a – b) = a 2 - b 2Règles de calcul dans les nombres entiers relatifsLe produit de deux nombres négatifs est positif.Le produit de deux nombres négatifs est positif.Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.Muriel Fénichel – Corinne RosambertMars 20115

Règles de calcul dans les nombres rationnels représentés sous forme de fractionMultiplicationSimplificationOn multiplie les numérateurs entre eux et lesa c a.c acdénominateurs entre eux : . = =b d b.d bdUne fraction est simplifiable si le numérateuret le dénominateur ont un diviseur encommun.Ex :Ex :2 5 2 × 5 10× = =3 4 3 × 4 1210 2 × 5 5= =12 2 × 6 6Egalité defractionsAddition –SoustractionSoit a et b ayant un diviseur commun n alorsa n.c c= =b n . d d.Une fraction est dite irréductible si lenumérateur et le dénominateur sont premiersentre eux.Deux fractions correspondent au mêmenombre rationnel lorsqu’elles sont égales àune même fraction irréductible.On ne change pas la valeur d’une fraction enmultipliant ou en divisant le numérateur et ledénominateur par un même nombre non nul.Les fractions doivent avoir le mêmedénominateur. Lorsqu’elles ont mêmedénominateur, on additionne (soustrait) lesnumérateurs et on garde le dénominateur :a c a + c+ =b b ba c a.d b.c a.d + b.c+ = + =b d b.d b.d b d10 n’est pas irréductible mais6512est irréductible10 15 10 5Ex : = car = et12 18 12 615 3 × 5 5= =18 3 × 6 6Ex :2 5 7+ =3 3 32 5 2 × 4 3 × 5 8 15 23+ = + = + =3 4 3 × 4 3 × 4 12 12 12DivisionDiviser par une fraction consiste à multiplierpar l’inverse de cette fraction :ab a=c bdd a=c bdcEx :2 5 2 4 8: = × =3 4 3 5 15Inverse et opposé d’un nombre réelL’opposé d’un nombre a est le nombre b tel que a + b = 0. Il est noté –a. L’opposé d’un nombre a est donc obtenuen multipliant ce nombre par -1.L’inverse d’un nombre a non nul est le nombre b tel que axb = 1. Il est noté a1 .Muriel Fénichel – Corinne RosambertMars 20116

Règles de calcul sur les puissances des nombres entiers naturelsPour n entier naturel supérieur à 1, la puissance n de a est a n = axaxa ……xa etn 1a =n.aExemple : 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 etPar convention, a 0 =1 ; a 1 = a et- 1 1a = (a ≠ 0)a3 1 12 = =2x2x2 8n foisProduit de deux puissances d’un même nombre :an× am= an+mExemple :3582 × 2 = 2 .Quotient de deux puissances d’un même nombre :Exemple :65256= 52 4=5nPuissance d’une puissance : ( ) m nxm5= 2Exemple : ( 3 ) 152aProduit (quotient) de deux facteurs ayant la même puissance := a3 33 3 2Exemple : 2 × 5 = (2 × 5) = 10 ;533=25aa3nm= a n-m . Si m = n alors a n-m = a 0 = 1.a )n nn× b = ( a × b ;abnn= (ab)n;Règles de calcul sur les racines carréesLa racine carrée d’un nombre réel positif a, notée a , est égale au nombre réel positif qui, au carré, est égal à a.a = b signifie que a = b².2a =Remarque : ( ) aProduit et quotient de deux racines carrées :a a b a axb= x = x b =b b b b ba b = a × b× ;a a = ;b bMuriel Fénichel – Corinne RosambertMars 20117