suite des exercices sur la résolution de problèmes

L3 SHS – Pré CRPE - MathématiquesRésolution de problèmes (2)Problème 9Sophie a dépensé tout l’argent qu’elle avait en poche lors d’une séance de shopping dans trois magasins. Danschaque magasin elle a dépensé 10 euros de plus que la moitié de ce qu’elle avait en y rentrant.Combien Sophie avait-elle d’argent avant sa séance de shopping ?Problème 10On dispose d’un rectangle de 80m de périmètre. Si on augmente sa largeur de 2 m et si on diminue sa longueur de6m alors l’aire de ce nouveau rectangle ne change pas .Quelles sont les dimensions du rectangle initial ?Problème 11Une boîte contient 100 billes. Les unes sont rouges et les autres sont bleues. Si on ajoute dans la boîte 30 billesbleues et 20 billes rouges, alors le nombre de billes bleues est le double du nombre de billes rouges. Combien yavait-il initialement de billes de chaque couleur ?Problème 12Avec les pièces carrées d’un jeu, j’ai formé un grand carré et il reste 14 pièces. Pour former un carré plus grand, ilm’a manqué 11 pièces. Combien ai-je de pièces carrées ?Problème 13Voici la règle du jeu :Quand on gagne, on reçoit 3 euros.Quand on perd, on donne 1, 2 euros.Amélie a joué 25 fois à ce jeu et elle a perdu 0,6 euro au total.Combien de fois a-t-elle gagné ?Problème 14Trouver un nombre de deux chiffres sachant que si on met un 7 à droite de ce nombre, il augmente alors de 529.Problème 9Soit S 3 la somme en euro possédée par Sophie avant d’entrer dans le dernier magasin. La somme dépensée dans1ce magasin est2 S 3 + 10. La somme possédée par Sophie à l’issue de son achat dans ce magasin est donc :S 3 - ( 1 2 S 3 + 10) = S 3 - 1 2 S 3 - 10 = 1 2 S 3 - 10 .Comme il ne reste plus d’argent à Sophie lorsqu’elle sort de ce magasin alors 1 2 S 3 - 10 = 0, d’où S 3 = 20.Lorsqu’elle sort du deuxième magasin, Sophie possède 20 euros.Soit S 2 la somme en euro possédée par Sophie avant d’entrer dans le deuxième magasin.En faisant le même raisonnement que précédemment, lorsqu’elle sort de ce magasin, la somme qu’elle possèdeen euro est 1 2 S 2 - 10 et cette somme est égale à 20 euros. 1 2 S 2 - 10 = 20On en déduit que S2 = 60.Lorsqu’elle sort du premier magasin, Sophie possède 60 euros.Soit S 1 la somme en euro possédée par Sophie avant d’entrer dans le premier magasin.Muriel Fénichel – Corinne RosambertAvril 2011

En faisant le même raisonnement que précédemment, lorsqu’elle sort de ce magasin, la somme qu’elle possèdeen euro est 1 2 S 1 - 10 et cette somme est égale à 60 euros. 1 2 S 1 - 10 = 60On en déduit que S1 = 140.Sophie avait donc 140 euros avant sa séance d’achat.Problème 10Soit a la longueur du rectangle et soit b sa largeur. Le demi périmètre de ce rectangle est a+b et vaut 40 m.Si on augmente sa largeur de 2 m, cette dernière devient b+2 et si on diminue sa longueur de 6 m, cette dernièredevient a- 6. L’aire de ce nouveau rectangle est (b+2) x (a-6). Elle est égale à l’aire du premier rectangle soit àa x b.Développons l’expression (b+2) x (a-6) :(b+2) x (a-6) = ab + 2a – 6b -12On a donc ab = ab + 2a – 6b -12 soit 2a – 6b = 12 qui est équivalente à l’égalité a – 3b = 6On doit donc résoudre le systèmeLes dimensions du rectangle sont donc 31,5 m et 8,5 m.Problème 11Méthode algébriqueSoit x le nombre de billes rouges et soit y le nombre de billes bleues. x + y = 100.En ajoutant 20 billes rouges, la boîte contient (x + 20) billes rouges.En ajoutant 30 billes bleues, la boîte contient (y + 30) billes bleues.Dans ce cas il y a deux fois plus de billes bleues que de billes rouges soit (y + 30) = 2 (x + 20), soit y -2x = 10.On doit alors résoudre le système de deux équations à deux inconnues :Le contenu initial de la boîte est 30 billes rouges et 70 billes bleues.Autre méthodeOn a ajouté 50 billes dans la boîte. Il y en a donc 150. Comme le nombre de billes bleues est le double de billesrouges, il y a 1/3 de billes rouges et 2/3 de billes bleues, soit 50 billes rouges et 100 billes bleues. On en déduitqu’au début, il y avait dans la boîte (50 – 20 = 30) billes rouges et (100 – 30 = 70) billes bleues.Muriel Fénichel – Corinne RosambertAvril 2011

Problème 12Soit g le nombre de fois où Amélie a gagné et soit p le nombre de fois où Amélie a perdu.Elle a joué 25 fois donc g + p = 25.Elle a perdu 0,6 euro au total, ce qui se traduit par : 3g -1,2p = -0,6, ce qui peut encore s’écrire : g – 0,4p = - 0,2,en divisant les deux membres de l’égalité par 3. On doit alors résoudre le système de deux équations à deuxinconnues :Amélie a donc gagné 7 fois et perdu 18 fois.Muriel Fénichel – Corinne RosambertAvril 2011