1 Exercice sur les intégrales 2 Exercice 10 3 ... - xavierdupre.fr

Donc{√2g 1 =2 f 1 +g 2 = −√22 f 1 +√22 f 2√22 f 2⇒ V ect (g 1 ,g 2 ) ⊂ V ect (f 1 ,f 2 ) = E4) On cherche à montrer que la famille (g 1 ,g 2 ) est libre.On cherche (a,b) ∈ R 2 tel que ag 1 + bg 2 = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ R a sin ( x + π 4)+ b cos(x +π4)= 0Par conséquent :pour x = − π 4a sin ( x + π 4)+ b cos(x +π4)= b = 0pour x = π 4a sin ( x + π 4)+ b cos(x +π4)= a = 0La famille (g 1 ,g 2 ) est donc libre, dim [V ect (g 1 ,g 2 )] = 2Or puisque V ect (g 1 ,g 2 ) ⊂ E et que dim E = 2 V ect (g 1 ,g 2 ) = V ect (f 1 ,f 2 )P =( √22√ − 22√2√222)=√22( 1 1−1 1)= P5) Pour calculer P −1 on résoud le système :{L1 ⇐⇒ x + y = aL 2 ⇐⇒ −x + y = bP −1 =Donc :( √22{) −1 12f 1 =f 2 =( 1 −11 1√22 g 1 −√22 g 1 +L 1 + L 2 ⇒ y = a + b2L 1 − L 2 ⇒ x = a − b2)=√2√2 g 222 g 2√22( 1 −11 1)10