1 Exercice sur les intégrales 2 Exercice 10 3 ... - xavierdupre.fr

5 Correction de l'exercice 61) si M admet une valeur propre nulle alors ∃X ≠ 0 tel que MX = 0 donc M n'est pas inversible.Réciproquement, si M n'est pas inversible alors ∃X ≠ 0 tel que MX = 0 donc 0 est valeur propre de M.⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a 11 ... a 1n x 1y 12) soit X ∈ C n X ≠ 0 AX = ⎝ ... ... ... ⎠ ⎝ ... ⎠ = Y = ⎝ ... ⎠a n1 ... a nn x n y n∃i ∈ {1,...,n} tel que |x i | = max {|x 1 | ,..., |x n |} donc ∀j ∈ {1,...,n} |x i | |x j |Avec ces notations, y i = n ∑Or on sait que |a ii | >k=1∑( 1inj≠iFinalement 0 < |a ii | |x i | −a ik x k = a ii x i + ∑ a ik x kk≠i) |a ij| donc |a ii | |x i | > ∑∑( 1inj≠i( ) 1inj≠i|a ij | |x i | } {{ }vrai car |x i |>0 (X≠0)|a )ij| |x j | a ii x i +∣∑∑( 1inj≠i) |a ij| |x j |∣ ∣∣∣∣∣∣ a ( )ijx j = |y i | donc |y i | > 0 d'où y i ≠ 01inj≠iOn en déduit que Y ≠ 0 puisque qu'une de ses coordonnées est non nulle, donc AX ≠ 0Ce raisonnement est vrai quelque X, donc ∀X ∈ C n X ≠ 0 AX ≠ 0 donc A est inversible .6 Exercice 7∑1) Soit un polynôme P ∈ C [X] P (x) = n c i X i soit (r i ) 1in l'ensemble de ses racines, montrer que :i=0n∏i=1r i = (−1) n c 0c nn∏2) Soit B ∈ M n (Z) soit (λ i ) 1in∈ C n l'ensemble de ses valeurs propres, montrer que λ i = det Bi=13) On pose A = I n + αB avec α > 2, on suppose que A n = I n , montrer que ∀i ∈ {1, . . . ,n} |λ i | < 17 Correction de l'exercice 7∏1) Comme P ∈ C [X] P est scindé donc P = n(X − r i ) en développant cela donne :i=12