1 Exercice sur les intégrales 2 Exercice 10 3 ... - xavierdupre.fr

1) a) soit P le polynôme caractéristique de u. P ∈ C [X] , ce polynôme est donc scindé, il possède aumoins une racine complexe, on en déduit que u possède au moins une valeur propre,D'où ∃x ∈ E ∃λ ∈ C x ≠ 0 et u (x) = λxb) Par dénition u |F ∈ L (F,E), u |F : F → E mais puisque u (F ) ⊂ F u |F (F ) ⊂ FDonc u |F ∈ L (F ) .On applique le résultat précédent en remplaçant u par u |F et E par F :∃x ∈ F ∃λ ∈ C x ≠ 0 et u (x) = λxRappel : e est l'endormorphisme identité : ∀x ∈ E e (x) = x quelque soit la base choisie pour E, lamatrice associée à e dans cette base est la matrice identité.2) d'après 1) a), l'endormorphisme u possède au moins une valeur propre λ.Par conséquent : ker (u − λe) ≠ {0}Soit x ∈ ker (u − λe)par dénition u (x) = λxOr u et v commutent : u (v (x)) = v (u (x)) = λv (x) par conséquent, v (x) est un vecteur propre de uassocié à la valeur propre λ d'où v (x) ∈ ker (u − λe)On en déduit que v (ker (u − λe)) ⊂ ker (u − λe) donc ker (u − λe) est stable par v .3) ker (u − λe) est stable par v donc d'après 1) b), v |ker(u−λe) admet un vecteur propre : ∃x ∈ ker (u − λe) telque x ≠ 0 et v (x) = µx où µ ∈ CComme x ∈ ker (u − λe) , on a également u (x) = λx, x est un vecteur propre commun à u et v .10 Exercice∞On cherche à résoudre l'équation (1) ⇔ y ′′ − y ′ − 2y = 0 ⇔ y ′′ = y ′ + 2y( ) ( ) ( )y′yPour cela on dénit Y = Yy′ ′′1 2=y ′ M =1 0Avec ces notations, on vérie que Y ′ = MYPour résoudre ce système, on cherche à diagonaliser M :( )1 − λ 2det (M − λI) = det= λ (−1 + λ) − 2 = λ 2 − λ − 21 −λ} {{ }= (λ + 1) (λ − 2)polynôme caractéristique de (1)4