1 Exercice sur les intÃ©grales 2 Exercice 10 3 ... - xavierdupre.fr

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$DÃ©composition d'une fraction rationnelle en ... - xavierdupre.fr$

12 Exercice 41) On intègre par partie :u n = ∫ [2π0f (t) sin (nt) dt = −u n = 1 n [f (0) − f (2π)] + 1 n]f (t) cos (nt) 2π+ ∫ 2πn0f ′ (t)0∫ 2π0f ′ (t) cos (nt) dtcos (nt)dtn2) La fonction f est C 1 sur l'intervalle fermé [0,2π] , sa dérivée est continue sur [0,2π], elle est donc bornée :∃M 0 tel que ∀t ∈ [0,2π] |f ′ (t)| MComme ∀t ∈ [0,2π] |cos (nt)| 1D'où ∀t ∈ [0,2π] |f ′ (t) cos (nt)| MEt ∣ ∫ 2π0f ′ (t) cos (nt) dt∣ ∫ 2π0|f ′ (t) cos (nt)| dt 2πMComme u n = 1 n [f (0) − f (2π)] + 1 n∫ 2π0f ′ (t) cos (nt) dtD'oùDonc|u n | 1 [|f (0)| + |f (2π)| + 2πM]nlim u n = 0n→+∞13 Correction du devoir d'algèbre13.1 Exercice 1⎛a) M = ⎝−2 0 11 1 00 2 1⎞⎠b) On applique le pivot de Gauss à la matrice M⎛⎞−2 0 11 ◦ étape : L 2 ←− L 2 + 1 2 L 1 on obtient la matrice ⎝10 1 ⎠20 2 1⎛⎞−2 0 12 ◦ étape : L 3 ←− L 3 − 2L 2 on obtient la matrice ⎝10 1 ⎠20 0 0Donc rang (M) = 2 et dim ker f = 18
On remarque que f (e 1 ) + 2f (e 3 ) = f (e 2 ) donc f (e 1 + 2e 3 − e 2 ) = 0On en déduit que vect (e 1 + 2e 3 − e 2 ) ⊂ ker f comme dim ker f = 1, ker f = vect (e 1 + 2e 3 − e 2 )c) d'après b) rang (f) = 2 (f (e 1 ) ,f (e 2 )) est une famille libre, I⋗f = vect (f (e 1 ) ,f (e 2 ))I⋗f = vect (−2e 1 + e 2 ,e 2 + 2e 3 )⎛d) P = ⎝1 0 1−1 0 10 −1 −1⎞⎠N = P −1 MPOn inverse P en résolvant le système :⎧⎨⎩L 1 ⇐⇒ x + 0 + z = aL 2 ⇐⇒ −x + 0 + z = bL 3 ⇐⇒ 0 − y − z = cOn remplace dans L 1 ⇒ x = a − b2On remplace dans L 3 ⇒ y = −c − a + b2⎛D'où P −1 = 1 ⎝21 −1 0−1 −1 21 1 0L 1 + L 2 ⇒ z = a + b2⎞⎠ Par calcul, on trouve P −1 MP = N = 1 ⎝2⎛−2 −1 −56 3 −12 −1 −1⎞⎠13.2 Exercice 21) On cherche (a,b) ∈ R 2 tels que af 1 + bf 2 = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ R a sin x + b cos x = 0Par conséquent :pour x = 0 a sin x + b cos x = b = 0pour x = 1 a sin x + b cos x = a = 0La famille (f 1 ,f 2 ) est donc libre .2) (f 1 ,f 2 ) est libre, et puisque E = V ect (f 1 ,f 2 ), elle est génératrice de E. (f 1 ,f 2 ) est une base de E .D'où dim E = 23) g 1 (x) = sin ( x + π )4 = sin x cosπ4 + cos x sin π √ √4 = 22 f 1 (x) + 22 f 2 (x)g 2 (x) = cos ( x + π )4 = cos x cosπ4 − sin x sin π √ √4 = − 22 f 1 (x) + 22 f 2 (x)9
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