1 Alg`ebre linéaire

∑ i2. L’entropie quantique relative est ainsi définie :S(ρ‖σ) tr(ρ log ρ) − tr(ρ log σ) .3. Théorème 4.10 (inégalité de Klein) L’entropie quantique relative est nonnégative: S(ρ‖σ) 0, avec égalité ⇐⇒ ρ = σ.4. S(ρ A , ρ B ) −tr ( ρ AB log(ρ AB ) ) .5. S(ρ A |ρ B ) S(ρ A , ρ B ) − S(ρ B ).6.S(ρ A : ρ B ) S(ρ A ) + S(ρ B ) − S(ρ A , ρ B )= S(ρ A ) − S(ρ A |ρ B )= S(ρ B ) − S(ρ A |ρ B ).7. Soit {P i } un ensemble complet de projecteurs orthogonaux. Alors l’entropiede l’état ρ ′ = ∑ i P iρP i ne peut être inférieur à celle de l’état ρ : S(ρ ′ ) S(ρ)avec égalité ⇐⇒ ρ = ρ ′ .8. S(ρ, σ) S(ρ) + S(σ) .9. S(ρ, σ) |S(ρ) − S(σ)|— (Araki-Lieb).10. Concavité de l’entropy, si ∑ i p i = 1, alors( ) ∑S p i ρ i ∑ p i S(ρ i ).ii11. Si ∑ i p i = 1, alorsSp i ρ i)p i S(ρ i ) + H(p i ).( ∑i12. Théorème 4.11 (sous-additivité forte) Pour tout trio d’états quantiquesρ A , ρ B et ρ C , les inégalités suivantes sont valides :(a) S(ρ A ) + S(ρ B ) S(ρ A , ρ C ) + S(ρ B , ρ C )(b) S(ρ A , ρ B , ρ C ) + S(ρ B ) S(ρ A , ρ B ) + S(ρ B , ρ C )16