1 Alg`ebre linéaire

(d) tr(zA) = ztr(A) où z est un scalaire(e) tr(A ⊗ B) = tr(A) tr(B) .(f) Si A est un opérateur dans C n alors pour toute base orthonormale |ψ i 〉de C ntr(A) = ∑ 〈ψ i | A |ψ i 〉 .i7. Lemme 1.2.1 Si ∀ρ tr(Aρ) = tr(ρ) alors A = I.8. Si U est un opérateur unitaire alors tr(A) = tr ( UAU †)9. Si U est un opérateur unitaire alors |tr(AU)| |tr(A)|.10. tr(A |ψ〉〈ψ|) = tr(〈ψ| A |ψ〉).11. Le commutateur est ainsi défini : [A, B] = AB − BA12. L’anti-commutateur est ainsi défini : {A, B} = AB + BA13. (a) [A, B] † = [B † , A † ](b) [A, B] T = [−B, A]14. Si A et B sont hermitiens, alors i[A, B] l’est aussi.15. Théorème 1.3 Si A et B sont des opérateurs Hermitiens, alors [A, B] =0 ⇐⇒ ∃ une base |i〉 orthonormale telle que A = ∑ i a i |i〉〈i| et B = ∑ i b i |i〉〈i|,où |i〉 est un vecteur propre d’A et de B.16. Pour toutes les matrices de Pauli σ 2 i = I17. Théorème 1.4 (Décomposition polaire) Soit A un opérateur linéaire, alors∃ un opérateur unitaire U et 2 opérateurs positifs uniques J et K tels queA = UJ = KU. De plus J = √ A † A et K = √ AA † .18. Théorème 1.5 (Décomposition Singulaire) Soit A une matrice carréequelconque, alors ∃ 2 opérateurs unitaires U et V ainsi qu’une Matrice diagonaleD à entrées non-négatives tels queA = UDV.Les éléments de D s’appellent valeurs singulières de A.4